多足機(jī)器人單腿運(yùn)動(dòng)學(xué)分析*

周 偉

（長(zhǎng)安大學(xué)工程機(jī)械學(xué)院，陜西 西安 710064）

0 前言

伴隨著科學(xué)技術(shù)的日新月異和人類(lèi)探索領(lǐng)域的不斷擴(kuò)大，人類(lèi)對(duì)于機(jī)器人的研究和利用也在不斷增多。在北京冬奧會(huì)上就出現(xiàn)了送餐機(jī)器人、防疫機(jī)器人和火炬?zhèn)鬟f機(jī)器人等服務(wù)型機(jī)器人，在工業(yè)制造[1]、搶險(xiǎn)救災(zāi)[2]和農(nóng)業(yè)生產(chǎn)[3]等領(lǐng)域也可以看到各種機(jī)器人的身影?？梢哉f(shuō)，機(jī)器人已經(jīng)真真切切地走進(jìn)了人們的生活[4]。

當(dāng)前，機(jī)器人的行走方式主要有以下三種：靠輪子滾動(dòng)的輪式機(jī)器人，利用履帶行走的履帶式機(jī)器人和以仿生學(xué)為基礎(chǔ)的多足步行機(jī)器人。其中輪式機(jī)器人在一般平坦路面上具有行駛效率高和速度快等優(yōu)點(diǎn)，但其越障能力較差，轉(zhuǎn)彎效率較低，不適合復(fù)雜地形的行走[5]。履帶式機(jī)器人與地面有更大的接觸面，從而增大摩擦，適合復(fù)雜路面的行走，但其運(yùn)動(dòng)速度慢，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，能耗高[6]。而多足步行機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)足跡是由許多離散點(diǎn)組成，因此其不但對(duì)崎嶇地形有很強(qiáng)的適應(yīng)性，而且因?yàn)槠渫炔繐碛休^多自由度，運(yùn)動(dòng)更加靈活方便，從而有較好的越障與避障的能力[7-8]。基于上述比較，本研究將對(duì)一款可用于多足機(jī)器人的通用三自由度的機(jī)械腿進(jìn)行研究，機(jī)械腿三維結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 機(jī)械腿三維結(jié)構(gòu)

本論文的其余部分組織如下，第一節(jié)，先對(duì)機(jī)械腿進(jìn)行模型簡(jiǎn)化，建立D-H模型，求出正運(yùn)動(dòng)學(xué)的解；第二節(jié)，通過(guò)幾何法和代數(shù)法結(jié)合，求出逆運(yùn)動(dòng)學(xué)的解；第三節(jié)，通過(guò)Matlab Robotic Toolbox對(duì)推導(dǎo)的運(yùn)動(dòng)學(xué)進(jìn)行仿真驗(yàn)證；第四節(jié)，運(yùn)用蒙特卡洛數(shù)值分析法對(duì)足端工作空間進(jìn)行仿真分析；第五節(jié)，對(duì)全文進(jìn)行總結(jié)。

1 正運(yùn)動(dòng)學(xué)求解

機(jī)械腿的正運(yùn)動(dòng)學(xué)求解：已知連桿幾何參數(shù)及各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角，求足端位置[9]。首先對(duì)機(jī)械腿進(jìn)行模型簡(jiǎn)化，再采用D-H建模法[10]對(duì)該機(jī)械腿建立各連桿坐標(biāo)系，如圖2所示。然后確定D-H參數(shù)，如表1所示。

表1 機(jī)械腿D-H參數(shù)

圖2 機(jī)械腿的連桿坐標(biāo)系

根據(jù)連桿坐標(biāo)系間的變換矩陣，可得腿部連桿坐標(biāo)系間的變換通式

將表1中的數(shù)據(jù)代入（1）中，可得到連桿L1、L2和L3對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)變換矩陣。并且足端位置相對(duì)于第3個(gè)關(guān)節(jié)坐標(biāo)系的坐標(biāo)為3p=[L30 0 1]T，所以可求得正運(yùn)動(dòng)解如下：

2 逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解

對(duì)于機(jī)械腿的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解，即已知連桿幾何參數(shù)及足端位置坐標(biāo)，求達(dá)到該位置的各關(guān)節(jié)角度值[9]。這里采用幾何法和代數(shù)法進(jìn)行聯(lián)合求解，首先對(duì)于θ3，由圖3（a）可知：

圖3 腿部連桿模型

又因?yàn)檫B桿L1與連桿L2和連桿L3組成的平面垂直，所以有l(wèi)OA⊥l ，即：

在ΔABC中，由余弦定理可求得：

3 基于Matlab Robotic Toolbox的運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真驗(yàn)證

這里使用Matlab Robotic Toolbox[11]建立機(jī)械腿模型，如圖4所示，然后在關(guān)節(jié)變量的取值范圍內(nèi)進(jìn)行驗(yàn)證。研究者在各關(guān)節(jié)角內(nèi)隨機(jī)取值，代入正運(yùn)動(dòng)學(xué)方程式（2）中可求得相對(duì)于關(guān)節(jié)坐標(biāo)系的坐標(biāo)值，再將該坐標(biāo)值代入逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程中，得出各關(guān)節(jié)角度，并與開(kāi)始輸入的角度進(jìn)行比較，便可驗(yàn)證上述運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的正確性。通過(guò)Matlab Robotic Toolbox的仿真實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了本文中運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的正確性。

圖4 Robotic Toolbox 機(jī)械腿模型

4 足端工作空間分析

多足機(jī)器人足端工作空間是指其足端可以抵達(dá)的足跡點(diǎn)形成的空間集合，該空間區(qū)域表示機(jī)器人足端的運(yùn)動(dòng)區(qū)域。該區(qū)域是評(píng)價(jià)多足機(jī)器人運(yùn)動(dòng)性能的一個(gè)關(guān)鍵參考量，是衡量多足機(jī)器人的步距以及避障能力等運(yùn)動(dòng)性能的理論指標(biāo)之一。當(dāng)前，可以利用圖解法、數(shù)值分析法以及解析法來(lái)計(jì)算分析多足機(jī)器人的足端工作空間。其中，圖解法最為直觀(guān)簡(jiǎn)明，但這種方法受限于腿部自由度，分析對(duì)象的關(guān)節(jié)數(shù)過(guò)多時(shí)，則需進(jìn)行分組處理，從而加大了分析難度；解析法牽涉到運(yùn)動(dòng)學(xué)逆矩陣以及非線(xiàn)性方程的求解，其表達(dá)式十分復(fù)雜，不適合現(xiàn)代工程的實(shí)際應(yīng)用[12]；數(shù)值法則是在計(jì)算機(jī)上通過(guò)計(jì)算多足機(jī)器人足端的離散點(diǎn)，從而得出工作空間，本質(zhì)上是任意地取足夠多獨(dú)立的各關(guān)節(jié)變量的組合，然后使用運(yùn)動(dòng)學(xué)方程式來(lái)求解腿部足端的坐標(biāo)值，求出的坐標(biāo)點(diǎn)集合就組成了該機(jī)械腿的工作空間，并且坐標(biāo)點(diǎn)數(shù)量越多，就越能反映多足機(jī)器人腿部的實(shí)際工作空間[13]。本研究運(yùn)用蒙特卡洛數(shù)值分析法[14]對(duì)足端工作空間進(jìn)行仿真分析。

足端工作空間求解步驟如下：

1）設(shè)置好實(shí)驗(yàn)所需采集的點(diǎn)數(shù)，點(diǎn)數(shù)盡量取多些（這里取了10 000個(gè)點(diǎn)）；

2）通過(guò)隨機(jī)函數(shù)在各關(guān)節(jié)區(qū)間內(nèi)取均勻散布的偽隨機(jī)數(shù)值；

3）利用偽隨機(jī)數(shù)來(lái)計(jì)算產(chǎn)生各個(gè)關(guān)節(jié)的隨機(jī)數(shù)組值；

4）將產(chǎn)生的各關(guān)節(jié)變量的值代到運(yùn)動(dòng)學(xué)的正運(yùn)動(dòng)學(xué)方程式中，求出位置分布的點(diǎn)云圖。

最后利用Matlab Robotic Toolbox可以可視化地求出該機(jī)械腿的工作空間，如圖5所示。其中左上圖、右上圖、左下圖和右下圖分別為足端工作空間的三維視圖、XY平面視圖、XZ平面視圖和YZ平面視圖。

圖5 單腿足端工作空間仿真

5 結(jié)論

本研究以多足機(jī)器人具有通用性的三自由度機(jī)械腿為研究對(duì)象，對(duì)其進(jìn)行D-H建模，求解其正運(yùn)動(dòng)學(xué)；并采用幾何法和代數(shù)法聯(lián)合的方式求解其逆運(yùn)動(dòng)學(xué)。然后，通過(guò)Matlab Robotic Toolbox進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)結(jié)果驗(yàn)證。最后，通過(guò)對(duì)機(jī)械腿進(jìn)行足端工作空間分析來(lái)確定足端的活動(dòng)范圍，采用蒙特卡洛數(shù)值分析法來(lái)對(duì)足端工作空間進(jìn)行仿真分析。研究結(jié)果為后續(xù)的多足機(jī)器人運(yùn)動(dòng)控制研究奠定了一定的基礎(chǔ)。