新型球面并聯機構運動學分析及尺度綜合

摘要針對球面并聯機構應用于機器人仿生領域時出現的耦合度高、控制不便、靈活性不足等問題，提出了一種具有半解耦特性的新型3 分支球面并聯機構。基于螺旋理論對機構進行了自由度分析，通過矢量法求解了機構運動學正反解并分析了機構的解耦特性。該機構具有繞 X 軸、Y 軸、Z 軸轉動的3 個自由度，其中，繞 Z軸的轉動僅由1 個分支控制，其余兩分支共同控制機構做繞 X 軸、 Y 軸的運動。基于微分變換法得到雅可比矩陣并討論了奇異位形。以奇異位形和桿件干涉為約束條件，采用邊界搜索法確定了機構的工作空間。基于機構的解耦特性提出了一種具有解耦系數的全域均值靈巧度，以工作空間和全域均值靈巧度為優化目標，采用粒子群優化算法（PSO）對機構結構參數進行了尺度綜合。機構優化后，工作空間增大且在該空間內運動性能良好。研究為球面并聯機構的樣機設計和其他半解耦機構的尺度綜合提供了理論依據。

關鍵詞球面并聯機構螺旋理論雅可比矩陣尺度綜合

Kinematics Analysis and Scale Synthesis of a Novel Spherical Parallel Mechanism

Chang Zhen Wang Chengbo Wang Gaofeng Gao Jianshe

（School of Mechanical and Power Engineering，Zhengzhou University，Zhengzhou 450001，China）

Abstract In order to solve problems of high coupling degree，inconvenient control and insufficient flexi-bility when spherical parallel mechanism is applied in the field of robot bionics，a novel three-branch spherical parallel mechanism with semi-decoupled characteristics is proposed. Based on the screw theory，the degree of freedom （ DOF ） of the mechanism is analyzed. The forward and inverse kinematics solutions of the mechanism are solved by the vector method and the decoupling characteristics of the mechanism are analyzed . The mecha-nism has a 3-DOF to rotate around the X axis，Y axis，Z axis，and the rotation around the Z axis is controlled byonly one branch，while the other two branches jointly control the mechanism to move around the X axis，Y axis. Jacobian matrix is obtained based on differential transformation method and singular configuration is discussed .The workspace of the mechanism is determined by the boundary search method with singular configuration and bar interference as constraints. Based on the decoupling characteristics of the mechanism，a global mean dexteri-ty with decoupling coefficient is proposed. Taking the workspace and global mean dexterity as the optimization goals，the particle swarm optimization algorithm （ PSO ） is used to synthesize the structure parameters of the mechanism. After the optimization，the workspace is enlarged and the motion performance in this space is good， which provides a theoretical basis for the prototype design of the spherical parallel mechanism and the scale syn-thesis of other semi-decoupling mechanisms.

Key words Spherical parallel mechanism Screw theory Jacobian matrix Scale synthesis

0引言

球面并聯機構是一類特殊的空間并聯機構，機構運動時，構件上的所有點到一個固定點的距離不變，即構件保持在固定球面上運動，具有結構緊湊、不易干涉、工作空間相對較大、靈活可靠等優點。球面并聯機構在機器人仿生領域具有廣闊的應用前景，如被用作機器人的肩關節[1]、腕關節[2]、髖關節[3]與靈活眼[4]等。

近年來，國內外不少學者展開了關于球面并聯機構理論、性能與應用方面的研究，并已將球面并聯機構應用到人體仿生領域。Tao 等[5]基于增大工作空間和減少桿件干涉提出了一種系統設計方法，對3-RRR 球面并聯機構進行了優化。程剛等[6]設計了3SPS+1PS 并聯機構，優化了機構的工作空間，并將其應用到人體髖關節。楊亞敬等[7]參照人體股骨結構，設計了基于偏置輸出的3-RRR+（ S-P ）仿生髖關節，從人體髖關節工作空間出發對機構進行了優化。孫鵬等[8]提出了一種以球面5R 并聯機構為原型的仿人肩關節，基于旋量理論和指數積公式給出了少自由度非對稱型球面機構的運動學分析方法，分析了工作空間評價指標與結構參數之間的關系并進行了優化。車林仙等[9]則以球面5R 并聯機構的優質傳遞工作空間面積為目標建立機構尺度參數優化模型，使優質工作空間面積達到最大。劉秀瑩等[10]考慮到由于球面并聯機構轉動副軸線交于一點不利于裝配的問題，提出了一種用于擬合踝關節運動的雙球心廣義球面并聯機構，基于擬合模型的工作空間，采用遺傳算法優化了運動學參數。侯雨雷等[11]針對球面并聯機構提出了一種功耗比評價指標，并分別以3PSS/S 并聯機構和3-RRR 并聯機構為研究對象進行理論功耗比計算與實驗分析，驗證了功耗比性能指標的合理性。上述文獻中研究的球面并聯機構多為對稱式并聯機構，而對稱式球面并聯機構在傾斜角度下的轉角相對受限。Wu G L 等[12-13]針對非對稱式球面并聯機構進行了力/位移傳遞性能和剛度分析，討論了非對稱式球面并聯機構的性能優劣。

國內外學者的研究工作為球面并聯機構的運動學分析及工作空間優化提供了可行的思路和方法，但上述文獻中研究的球面并聯機構普遍存在耦合度高、控制難度大、靈活性不足等問題。本文中提出了一種具有半解耦特性的3 自由度非對稱式球面并聯機構。其中，沿 X 軸、Y軸方向的轉動與 Z 軸方向的轉動分別由不同運動分支控制;這保證了機構在 X 軸、Y軸方向轉動時，Z 軸方向的轉動不受影響并且運動角度較大。機構的第2 分支、第3 分支采用共軸線設計，能夠提高機構運動時的穩定性和剛度。針對該機構的半解耦特點，提出了一種帶耦合系數的全域靈巧度指標，基于螺旋理論分析其自由度，通過矢量法對機構進行運動學正反解分析并驗證了機構的解耦特性，基于微分變換法得到機構的雅可比矩陣。在運動學分析的基礎上，提出了帶耦合系數的全域靈巧度指標，以工作空間和靈巧度指標為目標，采用 PSO 算法對結構參數進行了優化，優化后機構的工作空間增大且運動性能良好。

1機構描述與運動學分析

1.1 機構描述

圖1 （ a ）所示為本文中所提出的新型球面并聯機構，由機架（定平臺）、動平臺以及連接動平臺與定平臺的3 個 RRR 串聯分支組成。機構的3 個驅動電機均固定在定平臺上，減小了動平臺的運動慣量，提高了機構運動時的穩定性。機構每個分支中連接定平臺的轉動副為該分支的驅動副。其中，第1 分支相鄰轉動副軸線之間的夾角分別為30°和90°，第2 分支、第3 分支轉動副之間夾角均為60°。該機構各個轉動副的軸線都交于一點 O ，點 O 與動平臺的轉動中心重合，將該點設為定平臺坐標系和動平臺坐標系的原點。定平臺坐標系的 X 軸垂直紙面向外，Z 軸豎直向下，Y軸由右手定則確定。以機構能量消耗最小為目標考慮動平臺的初始位置，當動平臺保持豎直向下時，能量消耗最小，取此位置為機構的初始位置，動平臺坐標系在初始位置下與定平臺坐標系重合，如圖1（b）所示。

1.2 自由度分析

為分析該機構的運動性能，采用螺旋理論計算該球面并聯機構的自由度。分別對機構的3 個分支進行分析，由于3 個分支的轉動副軸線都過定平臺坐標系原點，故第 i 分支的運動螺旋系可表示為

式中，ai 、bi 、ci 分別為與各分支轉動副的位置和方向有關的量。

由此可得第 i 個分支的反螺旋系為

該反螺旋系包含3 個約束力螺旋，3個反螺旋都經過平臺中心點 O ，并分別限制動平臺沿3 個坐標軸方向的移動。由此可得，該機構具有3 個分別繞坐標軸 X、Y、Z 的轉動自由度。

1.3 機構運動學反解

以機構動平臺繞（α、β、γ） 3個方向的轉動為已知量，采用 Z - Y - X 型滾動角、俯仰角、偏航角（ Row 、Pitch 、Yaw ， RPY ）（α、β、γ） 表示動平臺相對定平臺的轉動運動，求解機構3 個驅動電機的轉角（θ1 、θ2 、θ3 ）。

B（A）T 即動平臺相對于定平臺的 RPY 變換矩陣，為

式中， sθ、 cθ分別代表 sin θ、 cos θ，θ=α、β、γ。下同。

式（3）可改寫為

機構3 個分支的驅動軸軸線矢量、主動桿和從動桿之間的轉動副軸線矢量、從動桿與動平臺之間的轉動副軸線矢量可以分別用 ui 、vi 和 wi 表示。

3個驅動副的軸線矢量可以表示為

式中，i、j、k 分別為向量的3 個方向分量。

3個驅動軸的軸線矢量均在全局坐標系中的 XY 平面上。φ i 為第 i 分支驅動軸的軸線矢量與第1 分支驅動軸軸線矢量的夾角。

由 D-H 坐標法可得出3個分支主動桿和從動桿之間的轉動副軸線矢量 vi 為

由3 個分支的從動桿與動平臺的關節結構可知，第 1分支的末端軸線矢量與動平臺坐標系 X 軸矢量平行，第2 分支、第3 分支末端軸線矢量與動坐標系 Z 軸矢量平行。由此，在動坐標系下，各分支從動桿與動平臺旋轉副的軸線矢量 wi 為

根據該球面并聯機構的結構特點，可以得到

聯立可得

至此，根據球面并聯機構動平臺相對于定平臺的 RPY 轉角（α、β、γ） ，得到了機構3 個驅動電機的轉動角度（θ1 、θ2 、θ3 ）。

1.4 運動學正解

給出機構3 個驅動電機的轉動角度（θ1 、θ2 、θ3 ），求解機構動平臺3 個方向的轉角（α、β、γ）。

令 t1= tan （θ1 /2） ， t2= tan （θ2/2） ， t3= tan （θ3/2），由運動學反解式（9）可得

再根據 RPY 變換矩陣的性質，可建立約束方程為

聯立式（10） 、式（11）得

其中，（α、β、γ） 與變換矩陣B（A）T 的關系為

給定θ 1、θ2 、θ3 的值，利用 Matlab 軟件求解方程組（12） ，得到變換矩陣第1 列和第3 列的值，將其代入到式（13）中，即得出機構的正解 （α、β、γ）。由機構的運動學分析可以得出，機構的第1 分支與第 2分支、第3 分支存在解耦關系，第2 分支與第3 分支耦合。

2奇異位形分析

由球面并聯機構的結構特點得出式（8），對其進行微分得

由于矢量 w1、w2和 w3均交于動平臺坐標系原點，因此，可將其視作繞同一軸進行旋轉，設繞該軸旋轉的角速度為ω，由向量的叉乘關系可得

對驅動桿與從動桿之間的軸線矢量 vi 進行微分得

聯立式（14） 、式（15） 、式（16）得

式中，θ?i 為第 i 個驅動電機的角速度。

式（17）可改寫為

式中，θ? = [ θ? 1 θ?2 θ?3]T ;Jω= []T。

對變換矩陣 B（A）T進行求導得

式中，[ ω] 矩陣為角速度矢量ω的反對稱矩陣形式，即

式（20）進行矩陣變換可得

結合式（4）和式（21） ，可推導出等效角速度矢量ω 與（ α? β? γ? ） 的關系式。

式中，

與式（18）聯立，可得機構驅動軸角速度矢量與動平臺相對定平臺的轉速矢量的關系為

因此，可得機構的運動學逆向雅可比矩陣為 Jk = Jω Jq 。顯然，當| Jω| =0 或| Jq |= 0時，機構發生奇異;| Jω| =∞時，也會產生奇異。| Jω| =0 時，可知 Jω出現線性相關，此時機構會得到一個額外自由度，導致動平臺運動不確定。| Jq |= 0時，可得到-cβ= 0，計算得β= π/2或β= 3π/2。| Jω| =∞時，（ui × vi ）·wi =0，表明3 個軸線矢量處于同一平面，也就是機構至少有1 個分支出現完全伸直或完全折疊的情況，此時，機構動平臺出現自由度缺失的情況，無法對驅動輸入做出相應響應。

3工作空間與靈巧度分析

3.1 工作空間

球面并聯機構可用于機器人的肩、髖、踝關節的設計與使用，但每個關節的運動范圍并不一致，因此，對特定場景下球面并聯機構的工作空間分析是必要的。本文中以人體髖關節[14]為應用場景，表1 所示為人體髖關節的活動角度，采用邊界搜索法求解機構的可達工作空間，并將分析結果作為后續尺度綜合優化的結果。

由第2 節中的雅可比矩陣分析可得到機構的奇異位形位置，考慮到機構的奇異位置和桿件之間的干涉，本文中以電機的驅動轉角作為機構的約束條件。第 1支鏈的轉角范圍為[-π/2，π/2]，第2 支鏈、第3 支鏈的轉角范圍為[0，π/2]，為使機構尺寸盡可能緊湊，并考慮到后續加工要求，設球面并聯機構3 個分支的初始半徑如表2 所示。

本文中綜合機構的奇異位形約束和桿件干涉約束，選取機構動平臺末端點作為末端執行器的參考點，采用 Matlab 軟件，通過邊界搜索法對該球面并聯機構的可達工作空間進行搜索。求解該機構工作空間的 Matlab 程序流程如圖2 所示。

利用表2 所示球面并聯機構的結構參數，設大腿的長度為450 mm ，繪制工作空間，如圖3 所示。機構繞 X 軸、 Y 軸和 Z 軸的運動范圍分別為[-55°， 70°]、[-30°，45°]和[-40°，40°]。由于桿件干涉的原因，機構的工作空間無法滿足髖關節的運動范圍，需要對機構桿長進行優化來增大工作空間，基于機構的 RPY 轉角構建機構的工作空間指標。工作空間指標為

式中，Δα= α max-α min;Δβ= βmax-βmin;Δγ= γ max-γ min。

3.2 靈巧度分析

Angeles 等[15]提出用最小條件數的倒數作為評價機構的性能指標即靈巧度指標，Gosselin 等[16]為了獲得整個工作空間內的運動性能提出了全局條件數指標，用以衡量并聯機構的運動學精度和控制精度性能。由于該機構具有半解耦特性，Z 軸方向的轉動和 X 軸、Y軸方向的轉動相對獨立，因此，本文中分別考慮了 Z 軸轉動時機構的雅可比矩陣條件數和 X 軸、 Y軸方向轉動時的條件數，從運動維數上賦予兩條件數的耦合系數，結合兩種情況下的條件數綜合出機構運動的具有耦合系數的全域均值靈巧度。具有耦合系數的全域均值靈巧度指標為

式中，ω1 和ω 2分別為耦合分支和解耦分支的耦合度，ω1 +ω 2= 1。kα為耦合分支的全局均值靈巧度，僅考慮耦合分支在工作空間內的運動，靈巧度 kα的形式為

kβ為解耦分支的全局均值靈巧度，基于解耦分支的運動空間，得其形式為

式中，kKCI 為工作空間內特定位置雅可比矩陣的條件數的倒數，即局部靈巧度。顯然，半解耦全局靈巧度的取值范圍為（0， 1）。當靈巧度的取值接近1 時，表示機構的全局運動學性能較好;反之，靈巧度接近 0時，機構的運動學性能較差。因此，該機構的優化目標是具有耦合系數的全域均值靈巧度指標數值盡可能大。

4球面機構結構參數優化

4.1 優化函數的建立

具有耦合系數的全域均值靈巧度指標可以表示整個可達工作空間內的性能優劣，但不能表達出機構的可達工作空間大小。對于并聯機構來說，可達工作空間的大小同樣影響機構的操作性能。實際工程使用中，通常希望機構不僅可達工作空間大，并且工作空間范圍內操作性能好。因此，在對并聯機構進行參數優化時，應綜合考慮全域靈巧度指標和工作空間指標，而且期望兩種指標都應盡可能大，同時，考慮靈巧度指標平均值和工作空間指標大小，構造優化目標函數為

式中，LKI 為全域均值靈巧度的倒數;λ（λ≥0 ）為權重系數;WKI （0 ≤ WKI ≤1）為工作空間指標大小。

由于機構第2 分支、第3 分支存在耦合而第1 分支相對解耦，因此，設全域均值靈巧度中ω 1= 2/3，ω 2= 1/3，為綜合評估工作空間指標和靈巧度指標，設置權重系數λ =20。

該球面并聯機構因其具有各轉動副軸線匯交于一點的特點，結構較為緊湊。考慮動平臺到兩側機架的距離相等，因此，該機構的設計變量主要為3 個分支驅動桿件的半徑 r1、r2、r3。通過改變3 個連桿半徑的取值，在機構運動過程中，以優化目標函數 W 作為參數優化目標，優化目標為

參數的約束條件為

4.2 優化算法的選擇與求解

采用粒子群（PSO ）算法對目標函數進行求解。粒子群算法是模擬群體智能所建立起來的一種優化算法，通過跟蹤兩個極值在全局范圍內搜索最優解，其中一個極值為單個粒子自我更新的最優解，即個體極值;另一個極值為種群中的最優解，即全局極值。不同于遺傳算法復雜的交叉和變異操作，粒子群算法具有收斂速度快的優點。

表3 所示為粒子群優化算法的參數設置，按照上述參數優化目標和優化算法進行仿真得到的優化曲線如圖4 所示。迭代次數在第6 代左右，目標函數值 W 達到最小，其值為13.2655 ，表明適應度函數已經收斂到最優解，即此時新型球面并聯機構的可達工作空間和全局靈巧度指標達到平衡。

優化后的運動學參數如表4 所示。使用優化后的運動學參數，利用 Matlab 軟件編程繪制出新型球面并聯機構的可達工作空間散點圖，如圖5 所示。優化后的機構繞 X 軸、Y 軸和 Z 軸的運動范圍分別為[-68°80°]、[-45°60°]和[-45°45°]。與第3.1 節中所述髖關節運動角度相比，機構優化后的運動角度范圍略有超出，能夠基本滿足髖關節的運動要求。與初始運動學參數下繪制的工作空間相比，可以看出優化后的工作空間相比之前在 YZ 平面和 XY 平面內面積增加，且內部沒有空洞，表明在工作空間內無球面連桿干涉現象的發生，因此，該新型球面并聯機構適用于仿人髖關節的使用場景。

5結論

提出了一種具有半解耦特性的新型球面并聯機構，該機構具有繞 X 軸、Y 軸、Z 軸的3 個轉動自由度。基于矢量法得到了機構的運動學正反解，通過正反解驗證了機構的半解耦特性，即分支1 控制機構做繞動平臺 Z 軸方向的轉動，其余兩分支控制機構做繞 X 軸、Y軸方向的轉動。該特性一方面提高了機構繞 Z 軸的轉動角度，降低了機構的控制難度，另一方面提高了機構在 X 軸、Y 軸方向轉動時的穩定性。研究為機器人腕關節和攝像機定位裝置的設計與應用提供了參考。

針對機構的解耦特性提出了一種具有耦合系數的靈巧度指標，基于靈巧度指標和工作空間構建優化函數，采用 PSO 算法進行機構的尺度綜合，得到一組基本符合人體髖關節活動范圍的機構參數，即 r1=60 mm 、r2=68 mm 、r3=58 mm 。優化后的機構繞 X 軸、Y 軸和 Z 軸的運動范圍分別為[-68°， 80°]、 [-45°， 60°]和[-45°，45°]。結果表明，優化后機構的工作空間增大且工作空間內機構的運動性能良好。基于機構的解耦特性提出的靈巧度指標為研究解耦并聯機構的運動性能提供了思路。

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收稿日期：2021-06-24修回日期：2021-07-12

基金項目：國家自然科學基金（U1304510）

河南省高等學校重點科研項目（19A460008）

作者簡介：常振（1997—），男，河南商水人，碩士研究生;主要研究方向為機器人機構學。

通信作者：高建設（1977—），男，河南舞陽人，博士研究生，教授;主要研究方向為機器人機構學及多體系統非線性動力學。