基于HSS的三相VSC頻率耦合導納建模與諧波特性分析

朱婷， 胡海濤， 陶海東

(西南交通大學 電氣工程學院，四川 成都 611756)

0 引 言

近年來，隨著分布式發電系統、儲能及微電網的廣泛應用，電力電子變流器在電網中的數量大幅提升[0-3]。由于電力電子設備的非線性特性，并網時可能會引起從幾赫茲到千赫茲以上的寬頻帶振蕩事件，同時會向電網注入大量諧波，導致電能質量下降[4-6]。另外，隨著變流器數目的不斷增加，不同變流器間或變流器與電網間的諧波交互作用愈加復雜，從而對電網的穩定運行提出了新的挑戰[7]。

在電力電子變流器中，交流側阻抗通過開關調制與直流側阻抗產生頻率耦合，因此諧波交互現象主要出現在變流器中[8-9]。建立能夠分析諧波交互問題的電力電子變流器模型，是目前的研究熱點。表1給出了變流器不同建模方法的比較。小信號平均法是線性時不變(linear time-invariant，LTI)的單輸入單輸出(single-input single-output, SISO)模型[10]，只能用于低頻區域控制器設計及穩定性分析；基于諧波線性化的描述函數法提高了在高頻區域的建模精確度，但依舊是SISO模型，不能分析多個串聯或并聯變流器在高頻段的交互作用[11-12]；諧波狀態空間(harmonic state-space，HSS)模型是一種基于周期軌跡線性化和線性時間周期(linear time-period，LTP)理論的多輸入多輸出(multiple-input multiple-output,MIMO)模型，它既適用于分析單變流器，也適用于分析多變流器系統。

表1 不同建模方法的比較

其中：低頻(f≤2f0)、中頻(2f0

早在1991年Werely基于LTP理論，在線性時間周期信號中加入指數調制周期信號(exponentially modulated periodic signals，EMPS)，并結合諧波平衡原理，首次提出HSS模型的概念[13]。Geoffrey N.Love利用HSS法對Buck-Boost電力電子變流器建立了線性化模型，指出可以用HSS模型對動態小信號進行建模及穩定性分析[14]。王雄飛教授團隊利用HSS模型對變流器進行諧波分析，指出電力電子元件的開關過程不僅會帶來特征諧波，還會帶來無限數量的邊帶諧波[15]。岳小龍博士驗證了Buck變換器的MIMO特性，即輸入信號與輸出響應的關系，不僅是從擾動頻率到擾動頻率，還包含從擾動頻率到耦合頻率的情況[8]。但由于交流變換器開關調制的占空比不再是一個恒定的常數，因此調制過程的建模比直流變換器復雜很多。為考慮交流調制過程及開關元件產生的邊頻影響，王躍教授團隊對MMC變流器建立HSS模型，揭示了變流器內部諧波交互的機理[16]；已有學者分別建立了電壓型控制變換器的多頻模型和HSS模型[18]。然而，上述文獻大多僅考慮電流內環進行建模，對既含電壓外環又含電流內環的雙閉環結構研究較少。

本文利用基于LTP理論的HSS建模方法對含復雜雙閉環控制的三相兩電平電壓源型變流器進行建模和分析。創新之處在于對三相電壓源型變流器(voltage source converter，VSC)建立了完整且通用的HSS模型，并明確給出頻率耦合導納矩陣的計算方法，分析和討論耦合導納在不同頻段對變流器輸出諧波的影響。首先簡要介紹了LTP理論及HSS建模步驟，并對三相VSC建立了HSS模型；其次對比分析所推導的HSS模型與傳統LTI模型在諧波交互現象中的區別，揭示諧波的頻率耦合現象；最后，將諧波傳遞函數(harmonic transfer function，HTF)矩陣的穩態響應與Simulink仿真以及RT-LAB實時仿真結果進行比較，驗證模型的準確性。

1 HSS建模概述

本節將介紹HSS方法的一般建模原理，為后續三相VSC系統的HSS模型建立奠定理論基礎。在LTI模型中，電路被簡化為線性時不變系統，狀態空間模型中的系數為不隨時間變化的常量。然而，在LTP模型中系數A(t)、B(t)、C(t)、D(t)為周期時變量，即

(1)

任何周期信號x(t)都可以由傅里葉級數表示為

(2)

式中：ω1為基波角頻率；Xk為k次傅里葉系數。

為探究系統的動態特性，向Laplace變換的核函數e-st引入周期擴展，可以得到EMPS，即

(3)

式中的每個分量都以基頻的整數倍進行指數調制。定義Z為z(t)的各次傅里葉系數組成的向量，Z=[Z-h…Z-2,Z-1,Z0,Z1,Z2…Zh]T；H(t)為諧波指數向量，H(t)=[e-jhω1…e-jω11ejω1…ejhω1]。則式(3)可以表示為

z(t)=estH(t)Z。

(4)

將式(4)得到的EMPS代入式(1)，整理變換即可得到：

(5)

矩陣AT如式(6)所示，下標“T”表示Toeplitz矩陣，子矩陣Ah表示僅保留系數矩陣的前h次傅里葉系數所構成的矩陣。式中的Q為H(t)求導后的系數矩陣，Q=diag(-jhω1I…-jω1IZMjω1I…jhω1I)，I和ZM為與矩陣Ah階數相同的單位矩陣和零矩陣。其中狀態變量X=[X-h…X-2,X-1,X0,X1,X2…Xh]T，變量U和Y具有相同形式。

(6)

通過推導式(5)可以得到諧波傳遞函數(HTF)：

H(s)=CT[sI-(AT-Q)]-1BT+DT。

(7)

LTP模型的H(s)是一個雙邊無限矩陣，矩陣中各元素表示將輸入信號的各次諧波映射至輸出信號各頻次諧波的傳遞函數。如圖1所示，在傳統LTI模型中僅有相同頻率輸入/輸出變量的傳遞關系，不同頻次諧波間不存在耦合關系；而LTP模型的時變特性會導致輸入頻率與基頻的整數倍諧波間發生頻率耦合現象，即fout=fin±nf0。

圖1 兩種傳遞關系的對比

如式(8)所示，LTP系統的HTF矩陣結構可以很好的說明耦合現象。以考慮的諧波次數h=2為例，當輸入信號為U0時，由于HTF矩陣中含有非主對角線元素H±1、H±2，因此輸出信號中不僅含有與輸入頻率相同的Y0，還存在耦合頻率分量Y±1、Y±2。

(8)

其中Y±1、Y±2分別為輸出信號中頻率為fin±f0和fin±2f0的傅里葉系數。

當系統達到穩態時，滿足條件sX=0。由式(5)可解得任意諧波輸入情況下系統的穩態解為

X=-(AT-Q)-1BTU。

(9)

綜上，由于HSS模型是在頻域中推導建立的，因此模型中所有變量都以頻域信息表示，可以通過傅里葉反變換轉換至時域[15]，即

x(t)=P(t)X。

(10)

式中：

2 三相VSC的HSS建模方法

三相并網變流器的框圖如圖2所示，HSS建模主要包括主電路和控制器兩部分。

圖2 三相VSC系統框圖

主電路交流側電感(LfA、LfB、LfC)串聯電阻(RfA、RfB、RfC)通過三相橋連接到直流側。直流側由電容(Cd)并聯電阻(Rd)構成電壓源型變流器。其次，控制器采用雙閉環結構，包括電壓外環控制和電流內環控制。

2.1 主電路建模

圖3為主電路簡化框圖，根據交直流電路關系，由基爾霍夫電壓電流定律，可以得到主電路的小信號線性化模型，如下

圖3 主電路簡化框圖

(11)

(12)

式中：vsA、vsB、vsC為交流側三相電壓；isA、isB、isC為交流側三相電流；vabA、vabB、vabC為開關橋的單相輸入電壓；vdc和idc分別為直流側的電壓和電流；Cd和Rd分別為直流側電容和負載電阻；(Δ)表示小信號擾動量。

三相開關橋在任意時刻，同一個橋臂的上下兩個開關只能有一個導通，定義開關函數狀態為

(13)

式中：“1”表示上橋臂導通，下橋臂關斷；“0”表示下橋臂導通，上橋臂關斷。

為了在建模過程中包含開關網絡的瞬態特性，需要在給定的運行狀態下對開關網絡進行線性化，微擾線性化后開關橋的數學模型如下：

(14)

Δidc(t)=isA0(t)ΔswA(t)+ΔisA(t)swA0(t)+

isB0(t)ΔswB(t)+ΔisB(t)swB0(t)+

isC0(t)ΔswC(t)+ΔisC(t)swC0(t)。

(15)

微擾線性化法的本質是在穩態運行工作點處對模型進行一階冪級數展開[19]。式中的下標“0”表示系統的穩態值，可通過計算或者從仿真結果中得到。

因此，選擇主電路輸入變量及狀態變量依次為ut(t)=[ΔvsA(t),ΔvsB(t),ΔvsC(t),ΔswA(t),ΔswB(t),ΔswC(t)]T，xt(t)=[ΔisA(t),ΔisB(t),ΔisC(t),Δvdc(t)]T，推導得到三相VSC主電路的狀態空間模型：

(16)

首先通過仿真獲取開關函數(swA0(t)、swB0(t)、swC0(t))，交流側電流(isA0(t)、isB0(t)、isC0(t))和直流電壓(vdc0(t))的時域穩態值；再經過傅里葉變換轉換至頻域。然后根據第一節介紹的HSS建模方法，將A、B矩陣重新組織成如式(6)所示的Toeplitz矩陣形式At、Bt，得到主電路部分的HSS模型

(17)

式中：狀態向量Xt=[ΔIsA,ΔIsB,ΔIsC,ΔVdc]T；輸入信號Ut=[ΔVsA,ΔVsB,ΔVsC,ΔSWA,ΔSWB,ΔSWC]T。系數進而可以推導主電路的HTF矩陣

Ht=-(At-Q)-1Bt。

(18)

2.2 控制器建模

圖4 控制器框圖

(19)

(20)

(21)

ΔSW=Tdq-abc[ΔVd+ΔIqω0L-

(22)

式中Tdq-abc為dq軸變換至abc軸的坐標變換矩陣，有

Tdq-abc=

(23)

正余弦函數cosθ和sinθ被重新組織成Toeplitz矩陣的形式，整理可得出控制器部分的HSS模型如下：

(24)

Yc=CcXc+DcUc。

(25)

式中：控制器狀態變量Xc=[ΔX1d,ΔX3d,ΔX3q]T；輸出變量Yc=[ΔSWA,ΔSWB,ΔSWC]T；輸入變量Uc=[ΔVdc,ΔIsA,ΔIsB,ΔIsC,ΔVsA,ΔVsB,ΔVsC]T；同理可得控制器的HTF矩陣

Hc=-Cc(Ac-N)-1Bc+Dc。

(26)

2.3 三相VSC系統的諧波傳遞函數矩陣

系統的整體結構框圖如圖5所示。

圖5 系統結構框圖

圖示中Hc、Ht分別代表控制器和主電路的HTF矩陣，矩陣階數由諧波次數h決定。圖中每個黑色的小方塊都代表一個具有Toeplitz形式的(2h+1)階方陣。根據圖5的輸入輸出結構，結合主電路和控制器兩部分的HTF矩陣，推導三相VSC系統的諧波傳遞函數矩陣為

(27)

HVSC即三相VSC系統的諧波傳遞函數矩陣。為方便討論，改寫為

(28)

式中Yac_A、Yac_B、Yac_C分別為交流側A、B、C三相的輸出導納矩陣。由于三相對稱，本文重點對交流側A相輸出導納矩陣Yac_A進行分析。

3 仿真分析

通過實現上述模型，得到三相VSC系統的諧波傳遞函數矩陣HVSC，系統參數如表2所示。

表2 三相VSC系統參數

首先，繪制交流側A相諧波輸出導納矩陣Yac_A中各分量的Bode圖，與LTI模型進行對比。其次，討論了h的取值對HSS模型準確性的影響。最后建立仿真模型，給出HSS模型和Simulink仿真模型的時域波形對比結果，驗證HSS模型的準確性。

3.1 頻率耦合導納分析

在MIMO模型中，HTF矩陣的頻率響應特性通常由三維Bode圖表示，x軸表示輸入頻率(fin)，y軸表示輸出頻率(fout)，z軸為相應的響應增益。圖6所示為交流側A相輸出導納諧波矩陣Yac_A的三維Bode圖。由圖可知，輸出響應中不僅含有輸入頻率的諧波分量，還包含與基頻f0的整數倍耦合產生的諧波分量。本文僅對基頻的正整數倍耦合產生的諧波分量進行分析，即fout=fin+nf0，圖6也驗證了三相VSC系統的MIMO特性。

圖6 矩陣Yac_A三維波特圖(h=9)

圖中Yac0(s)是Yac_A矩陣中的主對角線元素，即LTI分量；其余的為非主對角線元素，即耦合分量。Yac0表示當n=0，即輸出頻率等于輸入頻率(fout=fin)的幅值曲線，Yac4則表示輸入輸出頻率滿足fout=fin+4f0時的幅值曲線。由圖可知，耦合分量Yac2、Yac6、Yac7、Yac8在一些對應的輸入頻率時，會出現較大的數值，從而導致輸出信號中包含許多高頻耦合分量。此時，Yac_A矩陣為非對角占優矩陣。這種現象說明了將耦合頻率分量考慮至建模過程中的必要性。

3.2 HSS模型與LTI模型的比較

本文所建立的HSS模型，可以任意設定所含諧波次數h的大小。當h值越大，模型中包含的耦合分量越多，階數越高，模型就越準確。HSS模型中交流側A相輸出諧波導納矩陣為

Yac_A(s)=

(29)

Yac_A是一個具有Toeplitz矩陣形式的2h+1階方陣，如式(29)所示(h=2)。矩陣中主對角線元素Yac0為LTI分量，非主對角線元素Yac1、Yac_1、Yac2、Yac_2為耦合頻率分量。

圖7所示為HSS模型交流側導納矩陣Yac_A中各分量的Bode圖。在低頻范圍內，LTI分量Yac0的幅值高于其他耦合分量(Yac2、Yac5、Yac6、Yac7、Yac8、Yac9)，因此可以忽略頻率耦合帶來的影響；但隨著頻率上升，在中高頻范圍內耦合產生的Yac6、Yac7、Yac8分量逐漸大于主對角線分量Yac0，導致其不再占據主導。為比較HSS模型與傳統LTI模型的區別，在Simulink中搭建了三相VSC系統的LTI模型，其中三相變流器的開關橋式電路選擇平均模式。圖8為LTI模型諧波導納矩陣Yac_A中各分量的Bode圖；從圖中可以看出，與HSS模型的不同點在于主對角線分量Yac0在全頻域范圍內始終為主導頻率分量。為能更加直觀的看到，HSS模型中耦合分量對模型的影響程度，繪制了其較LTI分量的相對幅值圖，如圖9所示。由圖可知，在中高頻范圍內，耦合分量Yac6的絕對值大小超過LTI分量的3倍；Yac7、Yac8甚至高于5倍LTI分量。因此在這些頻率范圍內，耦合分量的影響較大。

圖7 HSS模型交流側導納諧波矩陣

圖8 LTI模型交流側導納諧波矩陣

圖9 HSS模型中耦合分量的相對幅值圖

綜上分析可得以下結論：由開關動態產生的部分耦合分量在中高頻率范圍內，數值會上升到與主頻率相近，甚至遠超主頻率，從而取代了LTI分量的主導位置。而傳統LTI模型由于在建模過程中忽略了開關動態，導致耦合項在全頻域范圍內數值很小。但在實際工程應用中，不可能完全忽略開關動態的影響。因此直接忽略耦合項的LTI模型，不能準確描述三相VSC系統中出現的所有諧波分量。而本文提出的HSS模型，在建模過程中可包含所有頻率耦合分量，提高了模型的準確性。

3.3 時域驗證

根據式(29)中的HTF模型，通過式(10)將HSS模型的諧波頻率響應轉換至時域，可以得到三相VSC系統HSS模型中交流側A相電流(iac_A)和直流側電壓(udc)的穩態時域響應。并在Simulink中搭建仿真模型。首先對HSS模型選取不同的模型階數h，討論了h的取值對模型準確性的影響。當h=1時，Toeplitz矩陣中只包含LTI分量，HSS時域波形與傳統LTI模型結果一致。隨著h值增加，HTF矩陣階數越高，能包含更多的頻率耦合項，HSS模型的計算值就越接近仿真值，模型越準確。但h取值過高，會導致模型過于復雜，使得計算速度大幅下降，因此對于h值的選取需折衷考慮。如圖10所示為Simulink仿真、h=20時的HSS模型以及LTI模型的對比結果。由圖可知，HSS模型的計算值與Simulink仿真的時域波形基本吻合，而傳統的LTI模型卻不能準確描述出三相VSC系統的高頻特性。

圖10 時域驗證

為進一步驗證本文提出HSS模型的準確性，在RT-LAB平臺中搭建圖2的三相VSC系統，并利用OP5700仿真機進行實時仿真，仿真參數如表2所示。實時仿真結果如圖11所示，其與計算值保持一致，驗證了HSS模型的準確性。

圖11 RT-LAB實時仿真結果

4 結 論

本文采用基于LTP理論的HSS方法對三相電壓源型變流器建立數學模型，推導出能描述輸入輸出頻率耦合關系的諧波傳遞函數矩陣。對比了LTI模型和HSS模型在分析諧波特性及其耦合機理時的區別。具體結論如下：

1)在低頻范圍內，HSS模型和LTI模型一致，HTF矩陣的非主對角線元素都低于主對角線元素。此時，輸入輸出諧波間的耦合作用影響較小，可以忽略。

2)隨著分析頻率升高，由于開關動態的影響，部分非主對角線元素會取代主對角線元素成為主導，此時若仍忽略非主對角線上耦合分量的影響可能會使得分析結果不準確。而在LTI模型中，由于忽略了開關動態，非主對角線上的耦合分量被衰減得很小，這也是其在高頻特性分析中精確度不足的原因。

因此，較傳統的LTI模型，本文所建HSS模型同時考慮了LTI 分量和所有耦合頻率分量，從而具備更高的模型精確度。提供了一種分析變流器頻率耦合及諧波特性的有效工具，所提模型可應用于分析由頻率耦合生成的不期望諧波所引起的諧波諧振及諧波不穩定現象。基于本文已有的工作，后續將開展的研究是：對電力電子并網系統進行諧波分析及穩定性評估。