數學學習在“轉換”中邁向深度

史息良 劉玉琴 王留芳

在培養(yǎng)學生數學核心素養(yǎng)的觀照下，我們的教學不應只是簡單地按照教材編排，把靜躺在書本上的知識點一成不變地傳遞到學生的頭腦里儲存起來，讓學生成為接受知識的“容器”。而是要以教材為載體，在教學知識的同時，更關注知識的深層次問題（比如知識性子、思想、方法、作用等），把外在于學生的、和學生沒有關系的知識，在教學中轉化為學生主動活動的對象，從而與學生建立起意義關聯(lián)，并通過學生個體的主動學習轉變成學生成長養(yǎng)分，發(fā)展數學思維，促進他們數學核心素養(yǎng)的提升。因此，在教學中，教師要會準確地把握教學節(jié)奏，對教學內容進行適時的“轉換”，讓學生的數學學習逐步邁向“深度”，讓教學更富含“育人”的課程意義。

一、在“法”與“理”的轉換中邁向抽象

張景中院士認為“運算是具體的推理，推理是抽象的計算。”運算的本質是一種數學思維能力或者推理思想，但是運算如果不講算理，只講算法，或者學生不懂算理，只會算法，學生就只會照葫蘆畫瓢，模仿著計算。那么這種運算就不是推理，也不是真正的數學，而只是淺層次的算術。如果學生慢慢學會用抽象和推理的思想方法理解算理，學會說理，就慢慢學會了思考。正因此，計算教學的價值取向，不僅僅是為了運算的正確與熟練，更重要的是讓學生體會領悟運算中的原理、推理的思想方法、邏輯關系、規(guī)定算法的合理性以及計算的應用。

如，教學“兩、三位數除以兩位數”時，學生開始學習“整十數、幾百幾十除以整十數的口算”，并以“60÷20=？”為例題引入。學生通常會有兩種方法口算出結果。第一種是想乘法算除法：因為20×3=60，所以60÷20=3，這運用了乘除法之間的互逆關系來運算的。第二種是利用表內除法：因為6÷2=3，所以60÷20=3。但當問起“計算60÷20，為什么可以想6÷2”，學生都不能回答出真正的所以然。其實第二種算法是根據十進位值制計數原則，掌握以分“計數單位”的方式將其轉化成表內除法的計算方法，思路更簡捷、明了，是教材提倡的主要算法。因此，多“花費”一點時間，選擇適合學生理解和接受的認知方式和途徑，在教學中“插入”一段“認理”環(huán)節(jié)，對學生的數學抽象能力和推理能力的培養(yǎng)是十分有價值的。

第一步：具體感知。

呈現如下數學情境：每20副陸戰(zhàn)棋打一包，60副要打幾包？（并配圖1）

學生會出現兩種算式：

（1）60÷20=3，即60副陸戰(zhàn)棋，每20副打一包，可以打3包，數學理解就是60個1（即是60），每20個1（即是20）圈作一份，可以圈成這樣的3份。

（2）6÷2=3，學生這樣解釋：6扎陸戰(zhàn)棋，每2扎打成1包，可以打3包。這里的1扎就是10副，數學理解就是：6個十，每2個十圈作一份，可以平均分成3份。

經過再次比較，引領學生感悟到在圖1情境中，60÷20=3，是以“一”為計數單位來思考進行計算，而6÷2=3是以“十”為計數單位來思考進行計算。

第二步：逐步抽象。

將上面圖1先動畫演變成圖2，再呈現圖3。

學生交流后明晰：1個圓可以表示1，也可以把1個圓想象成10，6個圓就表示60。接著呈現圖4：

第三步：抽象建模。

學生做出了進一步推理：600÷200，6000÷2000，……，最終理解分別以“一”“十”“百”“千”……為單位分，都是6個單位，每2個單位一份，分成3份，都可以想6÷2=3。

從上面的教學過程來看，學生的學習由特例對象到一類對象，思考經歷特殊到一般化的推理過程，以算理為基礎，逐步歸納抽象為法則，將法則和算理貫通，由具體形象思維逐步走向抽象思維。

二、在“對”與“錯”的轉換中邁向深刻

美國著名發(fā)展心理學家蓋耶有句名言：“誰不考慮嘗試錯誤，不允許學生犯錯誤，就將錯過最富有成效的學習時刻?！苯虒W名師華應龍自稱“化錯人”，他認為：“化錯，才是真正的學習。”學習正是一種通過反復思考招致錯誤的緣由、逐漸消除錯誤的過程。

特別是在新教師的課堂中，他們往往只注意強調展示學生解題正確的一面。又因為他們對學情的不了解，總是會忽視學困生會發(fā)生具有共性錯誤的地方。

如，在“三位數除以整十數”的教學中，教師總是喜歡只請好學生上黑板演示豎式計算的過程，而忽視了豎式書寫過程中的“對位”問題以及“漏寫”問題，如下面這些情況：

課堂上如果能在展示“正確”的同時，有意暴露學生的這些錯誤及其思考過程，組織學生經歷找錯、糾（說）錯、改錯的過程，學生將會對計算法則的掌握更牢固，理解更深刻。這其實也是教師課堂教學的“底線思維”，將“補差轉差”工作真正落實到課堂上的一種十分有效的方法。

三、在“式”與“事”的轉換中邁向理解

數學是系統(tǒng)化了的普通常識。由于小學生的思維處于具體形象思維到抽象思維的過渡階段，小學數學應是“兒童的數學”，兒童對數學知識的理解、學習與掌握，大多是基于對生活實際問題的理解把握與解決之上的。可以說生活中的“情境故事”是他們數學理解的“支點”與“腳手架”。

如，在教學減法的性質“一個數連續(xù)減去兩個數等于這個數減去后兩個減數的和”，即a-b-c=a-（b+c）時，有老師結合生活中建房時建筑工人“拋磚”的勞動情境幫助學生理解感悟其中道理：從地上的一堆方磚中拿兩塊拋向二樓的工人（有工人在二樓接磚），力氣小點的工人可以把這兩塊磚分兩次一塊一塊向上拋，力氣大點的工人也可以把要拋的兩塊磚合在一起一下子拋向二樓，前者的拋法相當于a-b-c，后者的拋法相當于a-（b+c），但兩種拋法只是方式不一樣，結果是一樣的。后來學生們把這種方法總結為“拋磚法”。

實踐證明，結合這樣的說理，學生對減法的性質的理解非常深刻，計算技能的掌握也非常牢固。其實，翻開小學數學課本，我們會發(fā)現，小學數學就是結合生活情境故事來教學的。

四、在“點”與“面”的轉換中邁向建構

鄭毓信教授指出：“數學教學要幫助學生能超出各個具體內容，建立整體性、結構性的認識?！奔凑J識必須由局部過渡到整體，切實避免“只見樹木不見森林”的毛病，實現知識的統(tǒng)整與數學素養(yǎng)能力的提升，引領學生進行知識的自主建構，走向深度學習。

如，教學完“多邊形的面積”后，教師通常會對多邊形的面積進行全面復習，但好多老師又往往會停留在鞏固各個圖形面積的計算、應用以及通過梳理各個圖形面積計算公式的推導過程，來建立圖形之間的聯(lián)系，形成知識學習網絡圖。

但筆者認為，這還只是相當于回顧梳理了學生的“學習過程”，鞏固了“知識點”，還沒有達到鄭毓信教授所說的“能超越知識學習有更大的收獲”。教師如果能運用信息技術手段動畫演示，引導學生從“變化發(fā)展”的角度，運用觀察和比較、分析和聯(lián)想、歸納和概括等數學思維方法，去發(fā)現各圖形演變之間的聯(lián)系，從而更進一步地深入思考和感悟各圖形面積計算公式之間的內在聯(lián)系和本質的一致性。

五、在“繁”與“簡”的轉換中邁向優(yōu)化

從“結繩計數”，發(fā)展到用“書契”記事，符號、數字示數，不但體現了數學簡約和抽象之美的魅力，更表現了人類最高超的智力成就。而在數學教學中，學生對困難復雜問題的思考也正是經歷從難到易的過程，對問題的回答經歷著從繁到簡的表達過程，在橫向數學化和縱向數學化的過程中達成解決數學問題的優(yōu)化。

如，在學習“簡單的周期”中，學生先經過觀察發(fā)現了盆花排列的特點，并用語言描述“盆花每3盆為一組，每組按藍花、黃花、紅花的順序排列”，接下來回答“按盆花的排列規(guī)律，第19盆花是什么顏色的花？”由于是第一次嘗試解答這樣的問題，對問題的回答出現了多種表達方法：

從學生回答問題不同的表達形式來看，學生的思維進階有著明顯的區(qū)別，處于不同的思維水平。方法一有“按圖索驥”味道，是用數數的方法尋找問題的答案;方法二和方法三是學生用文字或圖形表示不同顏色的花，并用圓圈三盆一圈，已經蘊含了分組的思想方法;方法四是學生根據每組中不同顏色的花的排列位置，用數字來表示，比方法二和三的抽象性更進了一步。但，雖然說方法二、三、四比方法一在思考上有所進階，但沒走出“數數”的低階思維。當然，這里并不是說前面的幾種方法沒有價值意義，它們也是學生積極思考的結果，需要鼓勵和表揚。同時，教師如果處理得當，這些方法，特別是方法二、三、四可以作為方法五的表征依據，找出解決問題的思路，總結歸納出不同表達方式之間的內在一致性：每3盆花為一組，19盆花可以分成6組，第19盆花就排在第7組的第1個，因為每組中三種顏色的盆花排列的順序是一樣的，所以第7組的第1盆花也就是第19盆花，是藍色的，方法五中的余數，就對應每組中藍花所在的位置。

這樣，學生對方法五的理解和認同也就水到渠成，學生也肯定能感受到用除法計算是最好、最優(yōu)、最省事的方法。