在轉換中化難為簡

陳濤

摘 要：數學思想方法是數學在發展的過程中所積累下來的精髓，和數學知識一起構成了數學教學的整個系統，而數形結合思想作為數學思想方法的重要組成，在學生的數學學習過程中占據著十分重要的地位。在高中數學函數教學中，由于學生學習興趣不高、教學內容過于抽象等原因，存在著教學質量不佳的情況，因此，為了改善高中數學教學質量，教師要加強教學中對數形結合思想方法的挖掘，引導學生實現數量關系和幾何圖形之間的有效轉化，幫助學生深入探尋數學的本質，提高學生的數學思維能力。

關鍵詞：高中數學;化難為簡;數形結合;函數教學

中圖分類號：G633.6?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1673-8918（2022）02-0056-04

函數是高中數學教學的主要部分，對學生數學知識框架的確立具有十分重大的影響，而盡管從初中數學教學起就一直在引導學生學習函數的知識和方法，但是函數知識的抽象性和晦澀難懂的特點，導致學生無法真正了解函數的表達意義，從而導致了高中數學函數課堂效率不理想的現狀。對此，通過在函數教學中加強對數形結合思想方法的滲透，可以將抽象的函數知識轉變為學生容易接受的直觀形象，使學生可以使用形象思維來認識問題，達到化難為簡的作用，有助于提升教學的質量。

一、 高中數形結合教學現狀

（一）在高中數學中，數形結合的運用不夠全面

在高中數學的課堂教育中，教師對于數形結合的運用以及理解認知都不夠全面，這也就會影響課堂的教學成果，據了解目前很多教師對于高中數學的數形結合知識了解得還不夠透徹。如果再遇到課堂數學解題的過程中，教師沒有理解數形結合這一方法的本質，那么可能會導致學生在了解數形結合的初步階段就遇到阻礙，不能夠完全對幾何與代數的轉換角度進行合理的分析，繼而學生的思維也會受到限制。

（二）高中學生無法完全掌握數形結合的方法

每一個學生受到的教育以及成長環境不同，對于知識的理解程度也不同，這使得學生對數形結合的理解會產生差異，許多學生沒有完全掌握數形結合的解題方法，無法從思想上認識到數形結合的重要性，這也使得學生沒有辦法靈活地運用數形結合來思考數學問題以及解決問題。那么，數學難題中的一些隱藏信息就無法被挖掘出來，這會嚴重地影響到學生的自主學習的能力。

二、 數形結合思想的原則分析

（一）等價性原則

和枯燥的數學理論知識相比較，數形結合法也在一定程度上降低了理解知識的難度，并且圖像和圖形的變換過程還可以吸引學生的注意力，讓他們更有興趣去探索數學知識。在整個過程中，學生的思維被有效地調動了起來，而且教師可以用其他的方法，比如說運用一些生活中常見的物體來展現這些圖形，幫助學生分析直線位置變化的情況以及直線與圓之間的位置關系。這種方式不僅可以吸引學生的注意力，而且將理論和實踐相結合，學生也會更快地掌握知識內容，整個課堂也會變得非?；钴S，可以進一步激發學生學習數學知識的興趣。

數形結合的本質是實現數量關系與幾何圖像之間的轉化，從而換一種思路來思考或者解決問題。因此，要想實現數形結合的目的，就必須要遵循等價性的原則，也就是確保轉化出的圖像或者數量必須具有一致性，不影響問題的解決。

比如，針對“x15=4sinx有幾個實根”這個問題，學生在解決的過程中可以首先對問題進行轉化，得到y=x15和y=4sinx這兩個函數，并且，通過直接觀察就可以得到，這兩個函數都是奇函數，所以在畫圖的過程中只需要考慮右半軸的圖像繪制即可。而要想得到正確的結論，就需要學生繪制出標準的圖像，完整地找到兩個函數圖像之間的交點，不然就會導致錯誤的發生。

（二）雙向性原則

高中的數學知識在一定程度上存在著內在的關聯性。在教學過程中知識點之間的聯系不會被刻意放大，所以在高中學生的腦海里，這些知識點都是被打亂的，學生很難通過自己的能力去探索數學知識的內在聯系。這就需要通過數形結合法將數學知識進行有效的銜接，讓學生的腦海里可以形成一個完整的知識體系。高中數學知識具有復雜性和抽象性，學習起來比較困難，很多學生都會因為無法理解高中數學知識，產生心理落差。在這個時候教師更應該引導學生通過數形結合法去理解這些數學難題，讓他們對數學知識的理解從簡單到難形成一個合理的過渡。

數形結合思想的使用給學生的數學學習提供了很多的便利，成為學生十分喜愛的一種問題解決方式。但是在實際的教學中，我們可以發現很多學生對數形結合的理解還不夠透徹，認為數形結合就是用畫圖像的方式來解決問題，這種思想將“形”的價值體現了出來，卻忽視了數形結合中“數”的價值和“結合”的內涵，從而導致了學生對數形結合思想應用不夠理想的情況。數學家華羅庚曾經說過，數形結合百般好，隔離分家萬事休，因此，在運用數形結合來解決問題的過程中，學生必須認識到數量關系和圖像之間的轉換是雙向的，體現了數學的和諧之美。

以如下問題為例：假設目標函數當中的兩個變量x和y滿足數量關系{x|2y-5x≤0;x-y-2≤0;x≥0}，那么目標函數z=4x+6y+1的最大值是多少？要想使用數形結合的思想來解決這個問題，首先就需要學生對題目當中的目標函數進行處理，轉變成為我們熟悉的“y=”的形式，之后再根據轉化得到的結論來進行畫圖，根據函數最值的理論知識來快速地解決問題。這樣，在這道問題中，學生一方面可以感受幾何圖像直觀的優勢，另一方面也可以體會到精確運算的簡潔之美，這正是數形結合的魅力所在。

（三）簡單性原則

數形結合可以更加直觀地反映數學思想，高中數學教學過程中靈活地運用數形結合法具有重要意義。它可以讓學生更加快速地掌握數學知識，進而提高學生的綜合能力和素養，在解題的過程中，學生運用數形結合法可以拓展數學思維，尤其是在學習幾何知識點時。通過運用數形結合可以快速有效地分析出數學題目，找出其中的關鍵點，并且進一步解出答案，在一定程度上降低了學生學習數學知識的難度。數形結合解題方法是高中時期大大小小考試的高頻考點?，F如今，全國數學高考大綱紛紛指向學生數學思維邏輯的培養。從新課程標準對思維能力的要求來看，數形結合思想能幫助學生樹立現代思維意識。為充分轉化高中生僵化的思維邏輯及解題思路，我們教師必須要教會學生運用數形結合。

其實最能夠體現數形結合方法的就是函數方程。很多學生在解決函數問題的過程中會產生厭煩的情緒，這是因為學生首先想到的是自己將要進行大量的數學運算，而數形結合思想在高中數學教學中的直接應用目的就是幫助學生更加便捷地解決問題，使學生可以擺脫過多的運算步驟，用簡單直接的方法去解決問題，提高學生思考問題的效率，展示數學的簡潔之美。

比如，針對函數問題：y=ax-x-a（a>0并且a≠1），y有兩個零點，那么a的取值范圍是？如果學生首先想要使用運算的方式去解決問題，那么很容易走進“死胡同”，找不到解題的思路，但是如果想到了數形結合思想，則可以對題目當中的函數進行處理，轉化出g（x）=ax（a>0并且a≠1）和 h（x）=x+a這兩個新的函數，接下來只需要通過分類的方式畫出兩個函數在同一坐標系當中的圖像，就可以很快地得出結論。

三、 數形結合思想在高中函數教學中的應用途徑

（一）在函數新知初探中應用數形結合思想

數形結合法在高中數學教學過程中一步步地體現出它的優勢，但是在實際的運用過程中，仍然存在一些問題。比如說，教師對于數形結合法的理解不夠透徹，這導致了學生無法正確地理解它的使用方法。因此教師需要全面理解數形結合法，并且找出其中問題的存在，對教學的內容進行相應的調整，使得數形結合法發揮出真正的作用?；A決定上層建筑，學生在剛開始學習函數知識時如果形成了良好的數形結合意識，則可以為后續解決更多的問題奠定扎實的基礎，極大地提升學生在整個高中時期的數學學習效果。

比如，在教學“集合的含義與表示”這一節內容時，學生對知識的掌握將會直接影響到學生對函數定義的理解，對后續的教學至關重要。因此，教師絕不能滿足于學生對集合概念的機械式記憶，而是要讓學生從多個角度進行探索，充分地消化吸收集合的概念。首先，在學生簡單了解了集合的定義之后，筆者向學生提出了一個問題：現在有兩個集合，集合A={1，2，3}，集合B={1，2，3，4，5}，那么你們猜一猜下面的哪張圖可以用來表示這兩個集合之間的關系？然后在黑板上給學生畫出了兩張圖像，一張圖像是集合B包裹著集合A，另一張是集合A包裹著集合B。學生很快說出第一張圖像是正確的。這樣，就引申出了韋恩圖的概念。之后，筆者接著讓學生思考：為什么會發明出韋恩圖這種表達方式呢？從而引導學生去思考數形結合的意義，使學生了解數形結合在解決問題上的優越性，在層層遞進的探索中獲得一次成功的數形結合體驗，為學生后續在函數學習中深入使用數形結合思想奠定好基礎。

（二）在尋求解題方法中應用數形結合思想

解決問題是在高中數學函數教學中應用數形結合思想的主要路徑，對于鞏固學生的數形結合意識大有幫助。數量關系和幾何圖形是數學研究的兩個主要對象，幾乎所有的函數問題都和數形結合有著一定的聯系。因此，在引導學生探索函數問題解決方法的過程中，教師一定要將數形結合作為一種重要的思路，對學生進行適當的引導，加深學生對數形結合的印象，取得更好的問題解決策略。

比如，在復習“三角函數”知識的過程中，筆者在練習課上給學生展示了一道問題：求出函數y=sinx+2cosx-2的值域。這個問題看起來很簡單，但是其中蘊含著的數學知識點卻十分豐富，可以作為鍛煉學生解題能力的經典題型。在學生了解題目的內容和要求之后，我首先讓學生使用自己喜歡的方法去解決問題，最后發現班級里一共出現了兩種解題思路，一種是代數的方法，學生通過對函數y進行變形，利用三角函數的有界性性質來解決問題;另一種就是數形結合的方法，學生通過繪制相關的圖像，利用斜率的知識來解決了問題。在展示出了學生的想法之后，筆者和學生一起對兩種思路的特點和適用性進行分析，讓學生對如何使用幾何圖形來促進數量關系的解決產生更加深刻的認識。

（三）在知識歸納總結中應用數形結合思想

知識是數學思想方法的載體，因此，在高中數學函數教學中應用數形結合的思想，更多的是體現在知識性的教學中。在高中數學教學中的函數知識是按照一定的順序被編排在教材上的，但是數形結合思想在函數知識中的體現卻比較的分散，因此，教師還需要從知識歸納的角度來引導學生應用數形結合思想，讓學生形成廣泛應用數形結合思想的意識，從而發揮出數形結合思想的核心作用。

比如，在高三階段針對函數知識進行復習的過程中，筆者引導學生進行了一次類似頭腦風暴的活動，讓學生說一說自己印象當中在函數知識學習或者解題過程中會用到數形結合思想的地方。這樣的活動引起了學生的好奇心，學生開始說出自己的經驗，包括解決三角函數時應用到的數形結合思想、韋恩圖、不等式函數中數軸的應用等。將學生的觀點都記錄下來之后，筆者和學生一起對相關知識進行了整理，制作出簡單的思維導圖，讓學生將數形結合思想融入自己的知識系統中去。

（四）在函數知識回顧中應用數形結合思想

反思是提升學生能力的主要途徑。在高中數學函數教學過程中，教師要及時地引導學生對函數的知識進行回顧，加深學生的印象，并且使學生對其中應用到的數形結合思想進行系統的整理，促使學生獲得從感性到理性上的跨越，真正地將數形結合思想的使用轉變為自己的解題能力和學習能力，從而促進學生數學素養的發展。

比如，在讓學生求解“求出函數y=sinx+2cosx-2的值域”這一問題時，筆者在學生解決了題目之后，讓學生進行思考，想一想為什么這道問題可以使用數形結合的方法去解決，從而讓學生站在出題者的角度去考慮問題，明白是因為這種問題的子結構具有特殊性，從而讓學生在遇到類似問題時可以快速地發現使用數形結合解題的思路。這樣，通過讓學生對函數當中的數形結合思想進行回顧，有助于使學生將數形結合思想進行內化，促進學生數學思維水平的提升。

（五）在函數知識教學中建立學生數形結合思路

教師在對學生進行數形結合課堂教學的時候，要有效地結合本中教材的例題，以此來促進學生對數形結合的了解，掌握數形結合的思考方法以及思路延伸。在高中教學中，如“反三角函數”“指數函數”等內容，利用數形結合的方式來引導學生解答問題，明白概念是一個非常有效的方法。但是，教師在施教的過程中，要注重通過教材的引導，讓學生自己建立起一個對數形結合概念的認知，從而培養學生的思維能力和邏輯能力。

比如，在學習“平面解析幾何初步”的時候，教師就可以讓學生通過“數形結合”的方式對題目進行分析和解答，增強學生對結合圖形的判斷力和分析能力。教師可以告訴學生，在學習平面解析幾何初步的時候，可以通過“以形幫數”的方式來分析題目。在面對題目的時候，可以把原有的圖形進行拆分或者合并，然后計算出幾何的部分數據，在得出可以延伸的數據之后，再將之拆分開，逐個計算，逐個分析。并且要在曲線與方程式之間建立起良好的對應和呼應關系，讓整個題目的前后能夠緊密銜接起來，滿足數形結合的要求，實現“以形幫數”。或者教師可以引導學生，通過畫圖或者畫坐標的形式來進行數學題目的空間結構概念推理，讓學生的大腦中形成一種立體概念，能自行地構建一個解題的思路。以此為法，結合課本教材對學生進行數形結合解題思路的培養，能有效建立學生的學習和解題思路，幫助學生在將來的數學課堂學習中攻堅克難。特別是在面對一些異面直線成直角、平面與平面之間成角等問題時，以數形結合的方式進行解答和分析，能大大提高學生的學習效率和解題速度，幫助學生構建起一個完整的數學思維框架。

綜上所述，函數是高中數學教學的重點，在教學過程中，教師絕不能使用灌輸式的教學手段，讓學生死記硬背題型，而是要充分挖掘數形結合思想在函數教學中的應用價值，引導學生從更多的角度來看待函數問題，深化學生對函數問題的解決能力，使學生的數學素養得到發展，從而提升高中數學函數教學的效果。教師在進行高中數學課堂教學的時候，想要有效地提高課堂教學質量和學生的學習效率，就要利用有效的教學手段對學生進行引導和培養，讓學生學會通過技巧性的方法來學習，提升學生的學習興趣和學習能力。而且在教學過程中，教師要嚴格按照教材規定開展教學，并且要緊密地結合課堂實際問題，以培養學生的思維能力為導向教育學生。

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