讓直角三角形旋轉起來

李大雙

摘 要：數學是思維的體操，對于學生良好思維品質的培養具有不可替代性。題組教學作為數學教學基本形式被廣泛運用并發揮著獨特作用，它讓概念更清晰，讓認知更全面，讓策略更優化，讓結構更完整，讓反思更有效。

關鍵詞：題組教學;數學思維;培養

中圖分類號：G623.5?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1673-8918（2022）02-0064-04

一、 引言

畢業總復習正在如火如荼的進行中，為了確保復習的效果，學生課前對所復習的知識點以及相關習題進行必要的梳理和練習是非常有必要的。如《圖形與變換》復習課，主要是幫學生對整個小學階段所學過的圖形平移、旋轉、放大和縮小進行歸納和整理。在我看來這部分的知識相對于紛繁多變的分數實際問題、深奧難懂的解決問題的策略，無疑是小巫見大巫，我決定讓學生自己看看練練，不準備在這塊教學上花大氣力，于是我將作業紙一并發給學生，讓孩子們回家完成。

雖說是舊知，但作業情況不容樂觀。作業紙上有一道題是這樣的：將圖1中的直角三角形繞C點旋轉90度。

這道我故意設卡的題目未能達到我想要的效果，80%的孩子只畫了一種旋轉圖，黃宇杰的作業更是錯得讓我瞠目結舌。讓我感到一絲安慰的倒是那幾個空著沒做的孩子，他們給我的解釋是：“李老師，你題目出錯了，不好做！”“是不好做，還是你們考慮問題欠周全？”我期待著一語喚醒夢中人。

黃宇杰畫出的是一個圓錐的平面透視圖（如圖1），而且畫得有模有樣。“你這是畫的什么呀？”我沒好聲沒好氣地問?！爸苯侨切涡D一周不是圓錐嗎？”黃宇杰到現在還沒有意識到自己的錯誤所在。于是我用紅筆將“繞C點”三個字圈了起來，“哦！”黃宇杰頓悟似的叫了起來，“我看錯了！”說完拿著作業紙回到了座位上。

難道僅僅是因為粗心大意看錯了題目，沒有別的原因？于是我決定，對本題得“小題大做”一把。課上，我用大屏幕出示了本題，并對本題做了下面的講解（表1）：

在不知不覺中一節課過去了，回憶教學的每一個環節，我覺得它不是簡單的數學知識的再現，更包含著對學生良好數學品質的培養，也讓我深刻體會到題組教學對孩子思維品質培養的重要意義。

二、 題組教學的作用

數學是一門思維嚴謹、邏輯性很強的學科，是一門追求精確性的科學，它要求學生嚴謹求實，思維縝密。思維縝密性是指在分析思考和解決實際問題的過程中能全面考慮各種可能情況，既考慮一般，又顧及特殊，推理過程嚴謹有據，是數學思維的重要品質之一。但實際教學過程中，我們發現具有縝密思維的孩子占比不高，很多學生在分析解決實際問題時存在著概念不清、審題不細、思路不明、考慮不全等缺點，從而導致顧此失彼、丟三落四、漏洞百出、答案有誤。針對這一現狀，個人認為教學中可以根據學生的認知規律，合理有效地選擇“題組”，采用“題組教學法”，逐步培養學生的嚴謹學風和縝密思維習慣。

所謂“題組”，就是將內容聯系密切、題目形式相似、思維方法相近、解法基本相同或有聯系的題目串聯在一起構成一組題。它具有鮮明的對比性、層次性、遷移性和實效性，對鞏固所學知識、糾正思維偏差、增強解題能力、形成知識網絡、發展思維能力等都發揮著獨特的作用。

（一）題組，讓概念更清晰

數學概念是人腦對現實對象的數量關系和空間形式的本質特征的一種反映形式。一般來說，數學概念是運用定義的形式來揭露其本質特征，以定理、法則、公式的方式表現出來，數學概念是構成它們的基礎。正確理解并靈活運用數學概念，是掌握數學基礎知識和運算技能、發展邏輯論證和空間想象能力的前提。小學數學中包含著大量的數學概念，有些概念是由若干個詞或詞組組成的，表述精確，結構嚴謹。教學時，首先要讓學生建立起正確的概念。

例如在教學《認識倒數》時，可以安排這樣一個題組幫助學生強化對“倒數”概念中“核心詞”的理解：

從下面的算式中選擇一個，說說你對倒數的理解：

（1）0.9+0.1=1? （2）2×0.5=1

（3）0.4×5×0.5=1

通過對（1）和（3）兩個算式的否定，強化了“倒數”概念中“乘積是1”和“兩個數”的理解?？此坪唵蔚娜李}也可以加深對概念內涵的理解，即0為什么沒有倒數;也可以拓展對概念外延的把握，即“1/a”或“1÷a”都可以代表a的倒數。再次面對“結果為1的兩個數互為倒數”這樣的判斷題，學生便不再會猶豫不決，產生錯誤。

（二）題組，讓認知更全面

由于小學生生理、心理以及知識發展水平的局限，在數學思維活動水平上表現出層次不高而且很不穩定的特點，不少學生解題時，只關注題中給出的現成的已知條件，常常產生“條件不足”無法解答的錯覺。教學中，教師如果能及時有效地指導學生挖掘題中隱含條件，明確解題思路，選擇恰當的解答方法，將會對學生數學概念的形成、解題技能的掌握、數學思維的發展起到至關重要的作用。

例如：六（1）班和四（1）班按3∶2共同承擔了120平方米的保潔區打掃任務。請計算出六（1）班、四（1）班各打掃多少平方米。

通過例題的講解和練一練的解答，學生對于按比例分配實際問題的結構有了較為清晰的認識：已知“總量”和“比”，求“各部分量”。解答時，可以轉化成分數乘法實際問題解答，也可以先用除法求每份數，再用乘法求各部分量。于是，學生形成思維定勢認為必須要找到“總量”和“比”，當某一條件被“隱藏”，部分學生就無從下手。

這時，可以設計一組習題讓學生做到有意識地去挖掘題中隱含條件。

例如：

1. 一個直角三角形兩個銳角的比是1∶2。兩個銳角分別是多少度？

2. 一個等腰三角形頂角和一個底角度數的比為1∶2。這個三角形三個角各是多少度？

3. 一個等腰三角形兩個角度數的比為1∶2。這個三角形三個角各是多少度？

學生讀題、思考：和例題相比第一題最大的不同在哪里？

你能找到這兩個銳角的和嗎？

小結：要動用自己已有的知識經驗挖掘題中隱含的條件。

思考：（1）第二題呢？它被隱藏的條件你能找出來嗎？

（2）第二題和第三題又有什么不同的地方？

這個題組的設計不僅可以讓學生明白挖掘、尋找題中隱含條件的原因，更重要的是讓學生明白各個知識點相互依存、互為補充的道理。在教學中，教師對學情要有充分的了解，要盡量預見學生思維中的“盲點”“易混點”，有意提出問題讓學生思考、辨析，避免應用時出錯，或者故意設置一些思維障礙，讓學生“吃點虧”，從反面提醒和引導學生，有時比教師單純地正面強調更效果更好，給學生留下的印象也更深刻。

（三）題組，讓策略更優化

《義務教育數學課程標準》提出：“重視學生已有的經驗，使學生體驗從實際背景中抽象出數學問題、構建數學模型、尋求結果、解決問題的過程?！眴栴}解決需要有效的策略，學生策略性知識的生成與發展源自教師精心的設計與指導。作為教師要把培養學生的策略意識作為問題解決教學中最為關鍵的一個環節，把引導學生解決數學問題的過程，轉化成學生發現問題、分析問題、尋求策略并最終解決問題的一個自主探究過程。

在《組合圖形面積》教學中可以設計這樣一個練習，和教材第23頁第6題（圖2）組成一個題組，在解決好策略多樣化的基礎上，實現策略最優化。

計算圖2中圖形的面積：

“分割合并法”“增補扣除法”是我們解答組合圖形面積計算最常用的兩種方法。盡管圖2是一個標準的直角梯形，但在解答時，仍有一半左右的學生采用長方形與三角形合并的方法，沒有選擇梯形面積公式直接計算。由此可見，將“轉化”策略運用在組合圖形面積計算中對于很多學生來說是個“盲點”，需要教師的引導與點撥。

本題組教學如下：

求圖2的面積你有幾種方法？怎么計算更方便？

小結：直接看成梯形，用梯形面積公式計算更方便。

出示習題6：仔細觀察圖2和圖3，它們的面積相等嗎？說一說你是怎么想的。

小結：面積相等，長方形完全相同，兩個三角形等底等高面積也相等，所以兩個組合圖形面積相等，計算組合圖形的面積可以轉化成計算梯形的面積。

你還能將它轉化成其他基本圖形嗎？

通過大家的討論又得到了以下方法：

三角形和長方形等底等高，可以轉化成求三個底600米、高100米三角形的面積和;

三角形和長方形等底等高，可以轉化成求長600米、寬150米長方形的面積;

三角形和長方形等底等高，可以轉化成上底600米、下底1200米、高100米梯形的面積;

……

“心有多大，舞臺就有多大！”要想真正發展學生解決問題的能力，就一定要多途徑加強學生策略意識的培養，讓數學策略的種子，植入學生的心田，存活、生長不斷壯大！

（四）題組，讓結構更完整

建構主義認為學生學習不是對知識的簡單接受，而是在一定的教學情景下主動建構來完成。通過題組練習把學生的認知結構與教材的知識結構有機的結合起來，有利于學生形成良好的知識結構。而數學學習活動，就是新的學習內容與學生原有認知結構中的內容相互作用，從而實現認知結構的改組或重建的過程。

圖4是長方體正方體體積教學中很具有代表性的一道習題。這兩問題本身就是一個題組，其共同點都是求體積;不同點第一問求花壇的體積條件具備可以直接計算，第二問求泥土的體積就是求花壇的容積，這里面的長、寬、高，需要通過觀察學具、畫圖、想象畫面等直觀的方式去發現。

對于“考慮厚度”的物體，能正確找到里面長、寬、高之后，不妨對本題進行“二次創作”，形成了有5道題目組成的大題組。

☆小華家沿著墻新砌了一個長2.6米、寬1.3米、高0.5米的長方體花壇，花壇用磚砌成，厚度 0.3 米（圖5）。

花壇里大約有多少立方米的泥土？

☆學校新砌了一個長3.3米、寬1.8米、高0.5米的長方體花壇，花壇用磚砌成，厚度0.3米（如圖6，在墻角）。

花壇里大約有多少立方米的泥土？

☆有一個無蓋的金魚缸，長66厘米，寬46厘米，高53厘米，玻璃厚度3厘米，這個金魚缸最多能盛水多少毫升？

☆有一個長方體米箱（有蓋），長80厘米、寬70厘米、高60厘米，它是用厚度5厘米的木板做成的，這個米箱的容積是多少？

這五道題的出現，讓“厚度忽略不計”成為過去，“容積”在孩子的腦中真正成為“容積”。回看這五道題將容積計算（考慮厚度）的類型都涵蓋其中，遇到類似問題，只要對號入座，處理好相關數據，進行相應的計算，同時也拉近了數學和生活的距離，讓學生充分體會到了數學來源于生活、最終服務于生活的道理。

（五）題組，讓反思更有效

反思性學習，是通過對學習活動過程的反思來進行學習。反思，不僅僅是“回憶”或者“回顧”，它還需要把新知識納入原有知識體系中，對知識進行重構，是有效學習中不可缺少的重要環節。

“糾錯”是反思性學習的基本形式。在教學過程中，作為教師要逐步培養學生從不同角度認真檢查的習慣，尤其是“倒過來想”的意識，讓學生認真分析錯誤原因，并根據錯題倒推回去，尋找與其對應的題目和原題組合在一起變成由兩道或多道題組成的題組，利用“題組式”訂正，從而達到舉一反三、觸類旁通、標本兼治的效果。

例如一道經典例題，“王大爺家養了24只白兔，灰兔只數是白兔的2/3，又是黑兔只數的1/2，黑兔有幾只？”這是簡單的分數實際問題，但仍有一部分學生列出了這樣的算式：“24×2/3×1/2=8（只）”，如果不是紅叉叉的提醒，他們一直堅信自己做的是對的。對于這樣的錯題，在找出錯點、訂正完之后，可以進行追問：

問題一：如果“24×2/3×1/2=8（只）”這個算式正確，原題該做怎樣的微調？

問題二：如果把“灰兔只數是白兔的2/3”微調成“白兔只數是灰兔的2/3”，其他條件不變，這題怎么解答？你有什么發現？

問題三：如果把“灰兔只數是白兔的2/3，又是黑兔只數1/2”微調成““白兔只數是灰兔的2/3，灰兔只數是黑兔的1/2”，題目又該如何解答？

這個追問的主角可以是教師也可以是學習能力相對較強的學生。把所有追問之后得到的題目進行歸納整理，呈現在學生面前的就不是一道題，而是一組題，是一個大的題組。這種“題組”式訂正方法，優化數學認知結構，關注學生知識的生長點、整合點，幫助學生掌握或辨析異同題型，從而提煉和遷移方法，讓深度學習真正發生。

三、 結語

學生縝密性思維的培養是一個長期的、系統的工程，不可能一蹴而就，立竿見影?！邦}組教學法”的合理運用一定會成為學生思維縝密性培養的催化劑和加速器，讓提升學生數學思維品質不再是一句空話，而是實實在在可見可觸的一種行為。