《幾何畫板》與一次函數教學整合的思考與探究

溫玉紅

2020年度河北省教育技術研究課題《《幾何畫板》如何高效地為數學教學服務——信息技術與初中數學教學整合的新思考》，課題編號：hbdj2020031，研究成果。

摘要：不少數學專家都有這樣的共識——“數學家用以發現新思想的方法之一是進行實驗”。而數學教學中不太做實驗，學生經常被動地“聽”數學，缺乏對內容的“操作”，造成學習的難點。《幾何畫板》使數學實驗成為可能，幫助學生觀察、猜想、歸納，自己發現建構數學知識。本文以《幾何畫板》與一次函數整合來開展數學實驗，從而充分實現《幾何畫板》為初中數學教學服務的目的。

關鍵詞：《幾何畫板》 一次函數 數學實驗 數形結合

一、教學背景分析

函數是初中階段學生理解最難的一部分，也是學生開始學習變化關系的最重要的基礎，如何讓學生掌握好函數，變得十分重要，傳統的教學模式只能通過老師手繪的函數圖像來簡單地認識函數的性質。我們的老師往往是通過列表、描點、連線畫出圖象，然后總結性質，這種方式會讓學生顯得枯燥無味，同時，函數的動態也沒有體現出來，學生不能夠很好的通過圖象來理解函數的性質。

·地位與作用： 一次函數是學生所接觸的第一個函數，研究方法具有一般性和代表性。為以后學習其他函數奠定基礎。

·教學難點：由一次函數的圖像歸納得出一次函數的性質 。

·信息技術的需求：在短時間內畫出大量的函數圖像？走進數學實驗室，借助幾何畫板軟件進行數學實驗。

二、教學目標設計

對于一次函數的性質主要是研究一次函數中b的變化對一次函數圖象的影響以及探究k的正負對函數增減性（圖象的變化趨勢）的影響。對于這兩個性質的探究，讓學生經歷“先特殊化、簡單化，再一般化、復雜化”的過程，通過對圖象的研究和分析函數自身的性質，深刻領會函數解析式與函數圖象之間的聯系，滲透的是數形結合的思想。

三、教學過程設計（開展數學實驗）

1.創設情境? 設疑引新

數學是從問題開始的。每一節數學課成功與否的關鍵就是問題情境的創設對學生是否有吸引力。

引入：小剛和爸爸比賽跑步，小剛速度為每秒1.5米，爸爸速度為每秒2米。小剛在爸爸前面2米，兩人同時出發。

要求：分別寫出兩人距爸爸出發點的距離y與出發時間x的關系式？

問：爸爸能否追上小剛？

2.實驗探究? 發現新知

采用任務驅動式教學方法，探究 形式的一次函數圖像性質。

學生探究：利用幾何畫板軟件繪制函數圖像，并完成下面表格。要求：分組匯報研究結果。

函數 圖像位置 圖像過哪個定點 隨 增大 值怎樣變化？

結論

分組匯報成果（填表）

學生分組實驗：學生利用幾何畫板當中的“定義坐標系”和“繪制新函數”命令輕松地完成函數圖像的繪制。一組圖像如圖1，二組圖像如圖2。

學生觀察討論：最終得出下列表格。

函數 圖像位置 圖像過哪個定點 隨 增大 值怎樣變化？

一、三象限 原點 增大

一、三象限 原點 增大

一、三象限 原點 增大

一、三象限 原點 增大

一、三象限 原點 增大

結論 圖像在一、三象限，過原點，隨 值增大， 值增大。

函數 圖像位置 圖像過哪個定點 隨 增大 值怎樣變化？

二、四象限 原點 減小

二、四象限 原點 減小

二、四象限 原點 減小

二、四象限 原點 減小

二、四象限 原點 減小

結論 圖像在二、四象限，過原點，隨 值增大， 值減小。

師生共同小結形如 的函數圖像性質：

函數 圖像位置 圖像過哪個定點 隨 增大 值怎樣變化？

一、三象限 原點 增大

二、四象限 原點 減小

學生進一步探究： 函數圖像性質

學生所畫圖像如下圖：

學生總結：比較圖3和圖4，得出 的一組函數中， 相同， 不同時，圖像特點： 相同，圖像傾斜程度相同，是一組平行的直線。

學生畫圖：利用《幾何畫板》輕松地畫出如下圖像（圖5）

學生觀察：得知圖5中函數的共同特點是 不同， 相同，最終得出結論： 不同的直線相交于 軸上一點，坐標為

3.歸納驗證? 完善新知

問：那對于 中任意 和 都有上面的性質嗎？

教師引導學生： ，? 要有任意性，可以怎么選取呢？

學生討論后得出一種思路：在坐標系中任選兩點 ， ， ， 的值分別為這兩個點的縱坐標值。畫出圖像如圖6所示。

問題1：改變k值，b不變觀察圖像變化規律？是否符合前面學生總結的結論？

學生探案：拖動左側圖6中的k點改變k值，b不變，追蹤函數軌跡，形成右側圖7所示圖像

根據圖7學生完成下表

問題2：改變b值，k不變觀察圖像變化規律？是否符合前面學生總結的結論？

學生探究：拖動左側圖6中的b點改變b值，k不變，追蹤函數軌跡，形成右側圖8所示圖像

三、四

分析：因為點P按A→B→C→M的順序在邊長為1的正方形邊上運動，所以應分類

討論

（1）點P在AB邊上運動時，移動點P，觀察△AMP面積的變化（如下圖）

（2）點P在BC邊上運動時，移動點P，觀察△AMP面積的變化。（學生課后進一步探究）

（3）點P在邊CD上運動時，移動點P，觀察△AMP面積的變化。（學生課后進一步探究）

通過此題的探索再次展示了《幾何畫板》開展數學實驗的優勢：可以在“動中取靜，靜中求動”。

四、課后反思

在研究一次函數圖像性質時，我們遵循了從特殊到一般的方法，讓學生自己探究發現規律，而不是代替學生，強行灌輸學生新知識，讓學生用《幾何畫板》去做實驗，真正感受科學來自于實驗，結論是正確的，經得起檢驗的。在探究過程中培養了學生動手能力，團結合作能力，分析問題解決問題能力。讓學生真正體會到數學的學習不是記憶前人總結出來的現成結論，而是像數學家們一樣去發現結論，總結結論的過程。真正做學習的主人。體驗學習的快樂！

參考文獻：

北京師范大學現代教育技術研究所《信息技術與數學教學整合的教學模式研究》 作者：林君芬、余勝泉