數學小課題研究：指向拓展性學習

江蘇省南通市海門區第一實驗小學 杜 英

數學小課題研究是指學生圍繞同一個主題構建學習共同體，統整學習方式，在學習、理解、分享、反思、成長中提升知識技能、研究方法、思維方式的活動。它具有低起點、 日常化、期周短、好操作、易評價等典型特征。筆者以數學小課題研究為媒介，通過數學思考、數學閱讀、調查實踐，提升學生核心素養，拓寬數學學習的新領域。

一、小課題研究，從數學思維走向綜合素養

史寧中教授曾說過：“一個好的數學教育，應當更多地傾向于培養學生數學思維的習慣，會在錯綜復雜的事物中把握本質，進而抽象能力強；會在雜亂無章的事物中理清頭緒，進而推理能力強；會在雜亂無章的事物中發現規律，進而建模能力強。”蘇教版數學五年級下冊的“和與積的奇偶性”屬于“數與代數”板塊的內容，它是“因數和倍數”單元后的“探索規律”的專題活動。

基于學生對這一知識已經有了一些了解，并掌握了相關的探究方法這一學情，筆者設計了符合學生最近發展區的研究單（見圖1），以此引導學生進行自主探究。

圖1

學生根據學習需要，形成研究小組進行探索。在組內交流的基礎上，再進行全班交流。

師：我們先來交流任意選兩個不是0的自然數相加，和是奇數還是偶數。

生1：我們小組認為，任意選兩個不是0的自然數相加，和可能是奇數也可能是偶數，我們用的是列舉法：2+2=4，4+4=8，8+8=16，通過列舉發現兩個偶數相加，和是偶數；2+3=5，3+6=9，10+11=21，一個偶數和一個奇數相加，和是奇數；1+1=2，3+3=6，5+5=10，兩個奇數相加，和是偶數。

生2：我們小組的觀點和他們組的觀點相同，只不過我們是通過列表來思考的。（圖略）

生3：我們是畫圖來進行研究的，通過畫圖很清楚地看到：偶數+偶數=偶數，奇數+奇數=偶數，奇數+偶數=奇數。（圖略）

生4：奇數是不能被2整除的數，所以奇數可以看成“偶數+1”。大家看我們組的研究過程。（圖略）

師：剛才，同學們從簡單的問題入手，從不同的角度去探索，做得很好。讓我們一起回顧一下剛才的探索過程，我們通過了什么方法，發現了怎樣的規律？

生5：我們通過列舉法、列表法、畫圖法、推理法，都發現了偶數+偶數=偶數，奇數+奇數=偶數，奇數+偶數=奇數。

師：你很會總結。剛才我們探索的是2個自然數相加和的情況，那任意選若干個不是0的自然數相加，什么時候和是奇數，什么時候和是偶數呢？哪組同學來匯報。

生6：我們組通過列舉來研究的，大家看我們的研究過程。（圖略）

生7：我們組運用剛才發現的規律來解釋多個數相加的情況，請看我們的研究過程。（圖略）

師：看來若干個不是0的自然數相加，和的奇偶性是由加數中奇數的個數決定的。加數中奇數的個數是奇數，和就是奇數，奇數的個數是偶數，和就是偶數。這樣，復雜的問題就變得簡單了。

根據弗賴登塔爾的教育理論，教師的主要任務是引導和幫助學生自己去發現所學的數學知識。教師應從學生的實際出發，順學而教，給學生提供研究素材，精心設計活動單，認真組織學生合作探究。在喚醒了學生的知識經驗后，學生經歷了深度思考、自主探索、合作交流、建模描述，對和的奇偶性規律有了深刻的認識。學生有的從多個算式舉例說明，有的從列表角度來論證，有的借助數形結合解釋，有的通過推理來思考，相互驗證、相互啟迪，有深度、有溫度。在積極參與中，學生不僅學會了探索規律的方法，還把握到了規律的本質內涵，從感性走向理性，從歸納走向明理，不斷提升了數學學習能力。和的奇偶性的成功探究為后續學習“積的奇偶性”埋下伏筆。

學生們繼續在自己獨立探究的基礎上進行小組合作交流，經歷了發現規律、驗證規律、形成結論的整個學習過程，得出：奇數×奇數=奇數，奇數×偶數=偶數，偶數×偶數=偶數；乘數中只要有一個偶數，積就是偶數。

基于學生擁有“和的奇偶性”的數學活動經驗，在研究“積的奇偶性”這一內容時，教師就可以放手讓學生自己研究。教師啟發學生回顧參與探索“和的奇偶性”規律的過程，充分調動他們的學習主動性，給予他們充足的時間體驗、探索規律。學生們運用抽象、推理、建模等數學思想驅動數學學習，自身的思維將會更廣闊、更深刻。

二、小課題研究，從學科能力走向立德樹人

史寧中教授指出：“通過數學學習，學生應當成長為什么樣的人，這就是數學教育的終極目標：會用數學的眼光觀察世界，會用數學的思維思考世界，會用數學的語言表達世界。”

2021年，中國共產黨迎來了百年華誕。筆者以此為主題，采用數學閱讀分享等方式讓學生感知到我國在社會生活、國家建設等領域的眾多發展成就。緊接著，課后圍繞建黨百年設計了“百年歷程心中有‘數’”的作業，通過網絡、書籍查詢、詢問家長、同伴互助等形式開展了小課題研究（見圖2）。

圖2

學生們從以下幾個實踐環節對本次數學小課題進行研究，具體內容如下。

1．“畫說黨史”

通過網絡調查，學生們找到了中國共產黨發展中的歷史時刻，通過思維導圖的形式，串聯起中國共產黨走過的百年光輝歷程，幫助學生形成系統的知識網絡，以此增進他們對黨和祖國的深厚感情。

2．“童畫數學”

探尋中國共產黨百年征程中的數學信息，如解放戰爭中的大數據分析、經濟發展中的數學信息，以數學手抄報的形式呈現。在創作的過程中，學生們相互學習、相互借鑒，感受到數學的魅力。

3．“數說中國”

以“中國速度我來講 ”為主題，學生們分別從民生、科技、軍事發展這三個角度進行了數學講述。

“大道如虹”以“高速公路發展”為研究點，了解30年間，我國大陸高速公路從0到99%城市大覆蓋，從“一無所有”到“世界第一”；“筑夢北斗”介紹我國北斗全球衛星導航系統的建成史，從2000年“北斗一號”試驗衛星發射到2020年北斗三號全球衛星導航系統正式建成開通；“國之重器”以我國航母、東風系列彈道導彈的研制歷史為例……讓學生們感受只有國家強大、國防強大，中國才有未來！

學生在進行“百年歷程 心中有‘數’”的數學小課題研究時，深刻感受到強大的中國精神、中國力量 。

數學是一門具有嚴謹性、科學性、邏輯性和精確性特點的學科，它需要學生學會觀察、懂得分析、提煉結論，也有助于培養學生求真、求實的科學精神。

三、小課題研究，從單一教學走向學科融合

學科融合的本質是整合，學生圍繞同一個主題進行小課題研究，打破原有的學科界限，通過不同主體的參與、多元的學習方式，整合不同學科知識、不同策略實現學科跨界融合，為學生創設豐富、完整的學習經歷，提升學生的動手操作能力、知識水平和學習能力，從而讓學生擁有健康的身心、健全的人格，以及未來持續不斷成長的學習能力。

以跨學科融合小課題“‘布’同凡響”為例。

本課題研究從學生認知情況出發，帶領學生展開收集信息、調查研究、分析數據、討論體驗等活動，對“布”有了較為全面的了解。讓“布”成為不同學科間的紐帶，建立學校、社會之間的聯系，讓生活與學習融通，讓學習真實地發生。我們創建了本課題的思維導圖（見圖3）。

圖3

班主任教師帶著學生觀看“布衣中國”“藍印花布”“貨布”等視頻，語文教師帶著學生查閱書籍、查詢網絡了解“布”的來歷、演變及價值。家長志愿者們帶著孩子去市場上實地考察，了解到棉麻、毛呢、真絲、羊毛等不同面料，以及它們各自的特點，知道商場里如何分類擺放衣服和如何搭配等。數學教師帶著學生研究布料的材質、質量、價格。通過小課題研究，學生們了解到：同樣大小布料的質量是有輕重的，絲質的較輕，麻織的較重，呢子的更重；布料的密度、織造的方式也決定著布料的質量。學生們還計算出不同布料的價格，促使他們學以致用。美術教師指導學生用廢棄的布料進行再利用、再創作，學生們與“布”零距離接觸，完成“布”一樣的作業。

在跨學科融合的“‘布’同凡響”小課題研究中，各科教師科學引領，學生們自主選擇內容，小組分工合作。學生通過調查統計、閱讀分享、實踐體驗、自信展示，拓寬了視野，通過跨學科整合、自主創生，提升了學科素養。這樣的跨界融合教師是輔助，主創是學生，因此促進了學生能力發展、知識豐富、思維提升……讓每一個學生學有所獲，不斷成長。

數學小課題的研究活動，能讓數學變得更鮮活、更生動，是一種更有層次的拓展性學習。它能夠激發學生的學習積極性，也能讓學生經歷更有意義的學習過程。學生在探究中學習，在學習中思考，積累了豐富的情緒體驗，從中感悟到數學學習方法，獲得良好的思維品質，并在小課題研究中形成了相互影響、相互促進的人際關系，提升了社會交往的能力，提高了數學核心素養，同時也拓寬了數學學習的新領域。