具有阻尼和非線性對(duì)數(shù)源項(xiàng)的波方程能量衰減

武福敏,郝江浩

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 山西 太原 030006)

0 引言

本文研究如下波方程的初邊值問題:

(1)

其中:Ω是Rn(n≥1)中的一個(gè)帶有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域，m≥2，p≥2，且

ω≥0，μ>-ωλ1，這里的λ1代表的是算子-Δ在齊次Dirichlet邊界條件下的第一個(gè)特征值。

近年來，非線性阻尼和對(duì)數(shù)源項(xiàng)受到廣泛的關(guān)注[1-2]，尤其是對(duì)數(shù)源項(xiàng)，其在宇宙學(xué)、超對(duì)稱場(chǎng)論、量子力學(xué)和核物理等領(lǐng)域起到很大的作用[3-4]。

文獻(xiàn)[5-9]研究了一類帶有非線性阻尼的波方程解的存在性、穩(wěn)定性以及解在有限時(shí)間內(nèi)爆破。

文獻(xiàn)[10]研究了如下方程：

utt-Δu+u+ut=uln|u|2, (x,t)∈Ω×(0,∞)，

(2)

用勢(shì)阱方法證明了解的存在性。并通過構(gòu)造Lyapunov泛函，證明了能量的指數(shù)衰減。文獻(xiàn)[11-12]證明了帶有對(duì)數(shù)源項(xiàng)的板方程解的全局存在和能量指數(shù)衰減。文獻(xiàn)[13]考慮了如下方程：

utt-Δu-ωΔut+μut=uln|u|, (x,t)∈Ω×(0,∞)，

(3)

證明了弱解的局部存在性、全局存在性、能量衰減以及解的爆破。文獻(xiàn)[14-17]利用伽遼金法和勢(shì)阱法證明了解的局部存在和穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[18-20]證明了帶有非線性對(duì)數(shù)源項(xiàng)的波方程解的穩(wěn)定性以及在有限時(shí)間內(nèi)解的爆破。

受文獻(xiàn)[18-20]的啟發(fā)，在文獻(xiàn)[13]的基礎(chǔ)上，本文研究帶有非線性對(duì)數(shù)源項(xiàng)的波方程，利用伽遼金方法和勢(shì)阱方法給出方程解的局部存在性以及能量衰減結(jié)果。

1 準(zhǔn)備工作和主要結(jié)論

Lp(Ω)表示通常的Sobolev空間， 并且對(duì)于p∈[1,∞)，賦予范數(shù)：

為方便記‖.‖2=‖.‖。存在嵌入常數(shù)C*使得：

關(guān)于p給出如下假設(shè)條件：

定義1 稱u是問題(1)的弱解，如果

利用伽遼金方法以及壓縮映射原理可得問題(1)弱解的存在性。這里省去證明過程。

定義問題(1)的能量泛函如下：

(4)

令

(5)

(6)

定義穩(wěn)定集W、不穩(wěn)定集V和阱深d如下：

定理2 假設(shè)u0∈W，u1∈L2(Ω)，假設(shè)(A)和E(0)

0

2 主要結(jié)論的證明

引理1 能量泛函E(t)是非增的，且滿足：

(7)

證明給問題(1)的第1個(gè)方程左右兩邊同時(shí)乘ut，并對(duì)x在Ω上積分，運(yùn)用分部積分即可得到結(jié)果。引理1證畢。

引理2 假設(shè)有u0∈W，u1∈L2(Ω)和E(0)

證明設(shè)T是u(t)的最大存在時(shí)間，由引理1得：

E(t)≤E(0)

即

下面用反證法證明，假設(shè)存在第一個(gè)時(shí)間點(diǎn)t0∈(0,T)，使得I(u(t0))=0和I(u(t))>0對(duì)于0≤t

這與E(t)

引理3 假設(shè)有u0∈W，u1∈L2(Ω)和E(0)

(8)

其中：

證明由引理2得，u(t)∈W，即I(u)>0。

由E(t)的定義知：

又根據(jù)E(t)與J(u)的關(guān)系以及E(t)≤E(0)

(9)

根據(jù)對(duì)數(shù)Sobolev不等式：

得：

(10)

情形2 當(dāng)p>2時(shí)，由式(5)和式(6)知：

因此有：

同理得：

綜上，得出結(jié)論，引理3證明完畢。

定理2的證明構(gòu)造Lyapunov泛函，

(11)

其中：ε>0是足夠小的待定常數(shù)。通過計(jì)算知，存在兩個(gè)依賴于ε的正常數(shù)β1和β2，使得：

β1E(t)≤L(t)≤β2E(t)，

(12)

即E(t)和L(t)等價(jià)。將L(t)對(duì)t求導(dǎo)，得：

(13)

利用Young不等式知，存在δ>0，有：

(14)

將式(8)和式(14)代入式(13)得：

(15)

因此，由E(t)的定義得：

(16)

由Poincaré不等式得：

(17)

將式(8)和式(17)代入式(16)得：

(18)

由于

(19)

(20)

令

L′(t)≤-MεE(t),t≥0。

由式(12)，則存在常數(shù)C4>0，使得L′(t)≤-C4L(t)。進(jìn)而積分可得，存在正常數(shù)k和C5，使得L(t)≤C5e-kt,t≥0。由引理2得，I(u)>0。則有：

(21)

因此存在正常數(shù)C，使得0

引理4 假設(shè)有u0∈W，u1∈L2(Ω)和E(0)=d，則存在t0∈(0,T)，使得：

(22)

證明用反證法。假設(shè)：

則有‖ut‖=0,t∈[0,T)。因此，E(t)=J(t)≤E(0)=d。這與d的定義矛盾。引理4證畢。

引理5 假設(shè)有u0∈W，u1∈L2(Ω)和E(0)=d，則u(t)∈W。

證明運(yùn)用引理4和反證法即可得到結(jié)論。證明過程與引理2類似，這里省略。引理5證畢。

引理6 假設(shè)有u0∈W，u1∈L2(Ω)和E(0)=d，則有：

其中：

證明證明過程與引理3類似，這里省去。引理6證畢。

定理3的證明由式(7)和式(22)得：

(23)

根據(jù)引理5得，u(t0)∈W，即I(u(t0))>0或‖u(t0)‖=0成立。結(jié)合定理2，有：

0