應變率相關的橡膠本構模型研究

魏家威，石霄鵬，馮振宇

（1. 中國民航大學安全科學與工程學院, 天津 300300；2. 民航航空器適航審定技術重點實驗室, 天津 300300）

橡膠作為一種有機高分子材料，在大變形下能迅速有力地恢復變形，在生產和生活中得到廣泛應用。橡膠的力學行為非常復雜，其本構關系是非線性的，簡單依賴單軸拉伸（simple tension，ST）實驗并不能準確描述材料包括壓縮和剪切在內的所有力學行為。在橡膠材料的基礎力學性能實驗中，單軸拉伸實驗與等雙軸壓縮實驗等效，平面拉伸（planar tension，PT）實驗與純剪切實驗等效，等雙軸拉伸（equibiaxial tension，ET）實驗與單軸壓縮實驗等效[1]。研究發現，同時采取單軸拉伸、平面拉伸和等雙軸拉伸3 種實驗方法獲得的數據能更準確地描述橡膠的力學行為[1–3]。

建立超彈性本構模型對于橡膠材料研究具有重要的意義。橡膠類材料的超彈性本構模型可分為兩類：唯象模型和分子統計理論模型。常見的唯象模型有Mooney-Rivlin（M-R）模型[4–5]、Yeoh 模型[6]、Ogden 模型[7–8]等；常見的分子統計理論模型有Arruda-Boyce（A-B）模型[9]等。

針對Treloar[10]關于硫化橡膠的單軸拉伸、平面拉伸和等雙軸拉伸實驗下的經典準靜態實驗數據，Boyce 等[11]、Steinmann 等[12]、Marckmann 等[13]對比了多種經典超彈性本構模型的擬合能力，研究表明，只有很少部分本構模型能夠較好地擬合不同加載條件下（單軸拉伸、平面拉伸和等雙軸拉伸）橡膠的實驗數據。近年來，許多新的本構模型[14–18]被用于描述橡膠材料的完整超彈性行為，然而，這些新模型的擬合能力尚缺乏對比研究。

橡膠類材料還具有比較明顯的應變率相關性[19–21]。鑒于橡膠力學行為的復雜性，通常將與應變率無關的非線性彈性行為和與應變率相關的彈性行為解耦并分別描述，即分別采用超彈性本構模型和黏彈性本構模型表征其與應變率無關的非線性彈性行為和與應變率相關的彈性行為。周相榮等[22]提出了一種基于Yeoh 函數的黏超彈性本構模型，用來描述橡膠材料在中高應變率下的響應。林玉亮等[23]建立了考慮應變率效應的Ogden 模型，描述了硅橡膠在高應變率壓縮下的力學行為。楊建興等[24]基于三參數的M-R 模型，構建了高應變率相關的硅橡膠黏超彈性本構模型。然而，由于橡膠類材料的動態實驗數據較少，且實驗數據通常僅限于一種加載狀態，因此，目前還沒有一種通用的應變率相關的本構模型。

本研究基于Treloar[10]關于硫化橡膠的單軸拉伸、平面拉伸和等雙軸拉伸實驗下的經典準靜態實驗數據，對比分析M-R 模型、修正的M-R 模型、Yeoh 模型、修正的Yeoh 模型、Ogden 模型和A-B 模型的擬合能力，選取其中一種形式簡單且擬合能力較好的模型，以此為基礎建立應變率相關的黏超彈性本構模型，以期為橡膠材料的本構模型選擇提供參考。

1 準靜態下橡膠超彈性本構模型

1.1 M-R 模型

Mooney[4]和Rivlin 等[5]建立了M-R 類數學模型，其應變能密度函數形式為

應變能密度函數中的模型參數確定了超彈性模型的力學響應。為了在超彈性分析中獲得正確的結果，需要評估被測材料的模型參數。這些參數通常是根據實驗的應力-應變數據通過曲線擬合得出的。來自多種變形狀態下的數據組合比單一變形下的數據更好，可以得到更準確的超彈材料參數。因此，本研究采用3 種實驗方法（單軸拉伸、平面拉伸和等雙軸拉伸）獲得的組合數據，對橡膠材料的本構模型參數進行擬合。

將式(2)中的應變能公式代入式(3)中，可得M-R 模型在3 種基本變形模式下載荷作用方向上的工程應力與伸長比關系

1.2 Yeoh 模型

若忽略式(1)中(I2–3)項的影響，且取i=3，則可以得到Yeoh 模型。Yeoh 模型的應變能密度函數形式為

1.3 Ogden 模型

Ogden 模型的應變能密度函數形式為

1.4 A-B 模型

A-B 模型的應變能密度函數形式為

2 準靜態下本構模型參數確定及驗證

2.1 本構模型參數擬合

為了得到橡膠材料超彈性本構模型的精確參數，利用MATLAB 軟件，同時對單軸拉伸、平面拉伸和等雙軸拉伸3 種實驗數據進行擬合。采用最小二乘法擬合實測應力-應變數據點與本構模型計算得到的應力-應變關系。具體方法為：尋找一組合適的模型參數，使計算應力與實測應力的絕對值誤差S最小。絕對誤差S的表達式為

2.2 模型擬合優度

采用擬合優度系數R2評價各模型的擬合優度，R2可通過計算總偏差平方和Stot以及殘差平方和Serr得到

3 數據處理及分析

3.1 M-R 模型及修正的M-R 模型

首先使用M-R 模型對Treloar[10]的實驗數據進行擬合，擬合結果如圖1 所示。圖1 顯示，M-R 模型在同時擬合3 種變形實驗數據時，只在小變形范圍內的擬合效果較好；在大變形處，擬合效果較差。另外，隨著伸長比的增加，M-R 模型的擬合結果呈近似線性變化趨勢，沒能很好地反映單軸拉伸、平面拉伸和等雙軸拉伸的實驗數據走向。

圖1 基于M-R 模型擬合的工程應力-伸長比的結果Fig. 1 Fitting results of the principle stress versus the principle stretch using M-R model

上述問題可以通過增加高階項來解決。Tschoegl[25]對式(1)保留不同的高階項，得到了如下6 種修正的M-R 超彈性本構模型

理論上，應變能函數所取的項數越多，模型越可能準確地描述材料的真實力學行為，但是此時需要確定的參數也越多，模型也越復雜，不便于工程應用。因此，選用含3 個參數的修正M-R 模型形式（即式(14)、式(15)、式(16)）進行數據擬合。式(14)、式(15)、式(16)擬合的優度系數R2分別為0.8227、0.9704、0.8064。根據R2的數值大小并兼顧模型的簡潔性，最終選用式(15)作為應變能密度函數。以下所提到的修正后的M-R（modified M-R）模型均為該模型。

修正后的M-R 模型在3 種基本變形模式下載荷作用方向上的工程應力與伸長比關系為

M-R 模型和修正后的M-R 模型的擬合結果對比如圖2 所示，修正的M-R 模型的擬合參數標于圖中。由于添加了高階項，修正后的M-R 模型在大變形處也能較好地反映材料的真實響應，大幅提高了實驗數據的擬合精度。

圖2 M-R 模型和修正后的M-R 模型擬合結果對比Fig. 2 Comparison of fitting results between M-R model and the modified M-R model

3.2 Yeoh 模型及修正的Yeoh 模型

使用Yeoh 模型對Treloar[10]橡膠實驗數據進行擬合，結果如圖3 所示。圖3 顯示，Yeoh 模型對3 種實驗數據進行擬合時，單軸拉伸和平面拉伸實驗數據的擬合效果較好，等雙軸拉伸實驗數據的擬合存在一定偏差。此外，由于忽略I2的影響，隨著伸長比的增加，基于Yeoh 模型的數據擬合呈現“偏軟”的缺點。

圖3 基于Yeoh 模型擬合的工程應力-伸長比的結果Fig. 3 Fitting results of the principle stress versus the principle stretch using Yeoh model

Yeoh 模型和修正的Yeoh 模型對Treloar[10]橡膠實驗數據的擬合結果如圖4 所示，修正的Yeoh 模型的擬合參數也標于圖中。可見，修正后的Yeoh 模型很好地克服了原模型隨著伸長比增加而“偏軟”的缺點，等雙軸拉伸數據的擬合效果有明顯改善，單軸拉伸和平面拉伸數據的擬合精度進一步提高。

圖4 Yeoh 模型和修正后的Yeoh 模型擬合結果對比Fig. 4 Comparison of fitting results between Yeoh model and the modified Yeoh model

3.3 不同模型對比

圖5 給出了Ogden 模型（N=2, 3）和A-B 模型對Treloar 實驗數據的擬合情況，擬合參數均標于圖中。

圖5 不同模型擬合Treloar3 種實驗數據的結果Fig. 5 Fitting results of different models of Treloar’s three kinds of experimental data

M-R 模型、修正的M-R 模型、Yoeh 模型、修正的Yoeh 模型、Ogden 模型（N=2，3）以及A-B 模型的擬合優度系數R2列于表1 中。從表1 可以看出，所有模型的擬合優度系數均在0.97 以上，說明各模型的擬合效果良好。

表1 不同超彈性模型對 ST、PT 和 ET 實驗數據的擬合效果比較Table 1 Comparison of fitting results of different hyperelastic models on ST, PT and ET experimental data

為進一步研究修正后的M-R 模型和修正后的Yoeh 模型的擬合能力，將它們與Ogden 模型和A-B模型的擬合結果按照實驗類型進行對比，結果如圖6 所示。對于單軸拉伸數據，5 種模型的擬合效果均良好，擬合結果與實驗數據之間的誤差較小；對于平面拉伸數據，修正的Yeoh 模型和Ogden 模型（N=3）的表現優異，基本上與實驗數據重合，而其余3 種模型的擬合結果出現了一定偏差；對于等雙軸拉伸數據，除Ogden 模型（N=2）以外，其余模型均可以反映實驗數據的真實變化趨勢。通過與Ogden 模型、A-B模型的對比，驗證了修正的M-R 模型、修正的Yeoh 模型的擬合能力較為理想。

圖6 不同實驗類型下不同模型的擬合結果對比Fig. 6 Comparison of the fitting results of different models for different experiment types

4 考慮應變率的情況

4.1 M-R 黏超彈性本構模型

式中： θ0、 β為模型參數，由實驗確定； ε˙0為特征應變率，為方便計算，取為0.001 s?1。

最終得到一個唯象黏超彈性模型，其一維流變學形式如圖7 所示，即超彈性的彈簧（對應于圖中的下部分）和Maxwell體（對應于圖中的上部分）并聯，超彈性彈簧與Maxwell體分別對應橡膠的非線性彈性響應和黏彈性響應，其中超彈性模型使用修正的M-R 模型。本研究采用修正的M-R 模型（式(15)）描述的黏超彈性本構關系進行參數分析。

圖7 黏超彈性模型示意圖Fig. 7 Schematic diagram of visco-hyperelastic model

4.2 數據處理及分析

圖8 是采用4.1 節建立的M-R 黏超彈性本構模型擬合硅橡膠的單軸拉伸實驗數據[29]的結果。圖8顯示，擬合結果與實驗數據符合較好，對于1400 s?1高應變率下的單軸拉伸實驗數據，建立的M-R 黏超彈性本構模型也能較好地反映出實驗數據的變化趨勢。說明本研究提出的基于應變率相關的Maxwell體和超彈性彈簧（采用修正M-R 模型描述其本構關系）并聯得到的唯象黏超彈性模型能很好地描述硅橡膠材料在大應變率跨度內單軸拉伸時的力學變形特征。

圖8 M-R 黏超彈性本構模型擬合硅橡膠單軸拉伸實驗數據[29]的結果Fig. 8 Fitting results of M-R visco-hyperelastic constitutive model for the uni-axial tensile experimental data of silicone rubber[29]

圖9 是采用4.1 節建立的M-R 黏超彈性本構模型擬合硫化橡膠的單軸壓縮實驗數據[28]的結果。圖9 顯示，對于硫化橡膠的動態壓縮數據（包括準靜態壓縮和高應變率壓縮實驗數據），本研究建立的黏超彈性模型大體上都能很好地進行擬合。在590 s?1中應變率情況下，模型的擬合效果較差，不能很好地反映中應變率壓縮下實驗數據的變化趨勢。

圖9 M-R 黏超彈性本構模型擬合硫化橡膠單軸壓縮實驗數據[28]的結果Fig. 9 Fitting results of M-R visco-hyperelastic constitutive model for the uni-axial compression experimental data of vulcanized rubber[28]

表2 給出了黏超彈性本構模型對單軸拉伸和單軸壓縮試驗數據的擬合參數和擬合優度系數R2。可見，黏超彈性本構模型對兩種實驗數據的擬合優度系數均在0.95 以上，說明該模型的擬合效果良好。

表2 單軸拉伸和單軸壓縮實驗的擬合參數值Table 2 Fitting parameter values of the uni-axial tensile and the uni-axial compression experiment

綜上所述，本研究建立的黏超彈性本構模型可以很好地擬合中低應變率下的單軸拉伸數據，對于高應變率下的單軸拉伸數據擬合效果略差，但仍可反映高應變率下的變化趨勢；另外，該模型可以很好地擬合低應變率和高應變率下的單軸壓縮數據，但對于中應變率下單軸壓縮數據的擬合效果不理想。

5 結論及展望

(1) M-R 模型對于橡膠的小變形行為擬合較好，但是無法很好地預測單軸拉伸、平面拉伸和等雙軸拉伸的實驗數據走向。Yeoh 模型對于橡膠的大變形行為擬合較好，但是由于忽略I2的影響，導致隨伸長比的增加Yeoh 模型呈現“偏軟”的缺點。修正后的M-R 模型和修正后的Yeoh 模型明顯改進了原模型的缺點，擬合精度進一步提高。

(2) 修正后的M-R 模型、修正后的Yeoh 模型、Ogden 模型和A-B 模型對Treloar 的3 種實驗數據的擬合優度均在0.97 以上。與Ogden 模型和A-B 模型的對比結果顯示，修正后的M-R 模型和修正后的Yeoh 模型的擬合能力較為理想。

(3) 考慮到橡膠材料力學行為的應變率相關性，需建立橡膠的黏超彈性本構模型。基于修正的M-R模型和Maxwell 模型建立的黏超彈性橡膠本構模型對單軸拉伸和單軸壓縮實驗數據的擬合優度均在0.95 以上，表明該黏超彈性橡膠本構模型能較好地表征橡膠在大應變率范圍內單軸拉伸和單軸壓縮情形下力學行為的非線性和應變率相關特性。