基于樣本信息聚集原理的小子樣疲勞特性分析

劉 坤，張 拓，劉 昶，石萬凱，何愛民，孫義忠

(1.重慶大學 機械傳動國家重點實驗室，重慶 400044；2.南京高速齒輪制造有限公司，南京 211100)

長期以來，工程上評價構件和零部件疲勞強度主要依據(jù)S-N曲線，由于疲勞試驗周期長，成本較高，根據(jù)傳統(tǒng)的實驗方法(成組法實驗)可能存在一定的試驗困難，部分學者借助仿真軟件，建立有限元模型對零部件進行疲勞分析[1-3]，胡建軍等[4]通過威布爾分布擬合出隨機疲勞載荷譜，對齒輪彎曲疲勞進行了研究，并得到了齒輪彎曲強度的S-N曲線。此外，基于小樣本數(shù)據(jù)的統(tǒng)計與擬合方法也得到了廣泛關注[5-9]，由于疲勞試驗中得到的循環(huán)壽命離散性較大，這就對小樣本疲勞試驗數(shù)據(jù)的統(tǒng)計以及擬合方法要求更高。

傅惠民等[10-11]根據(jù)壽命破壞和剩余強度破壞率相等原理，提出一種極小子樣加速壽命試驗設計和可靠性分析方法，還提出了疲勞壽命服從對數(shù)正態(tài)分布的小樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析異方差回歸的分析方法。謝里陽等[12]基于不同應力下試樣疲勞壽命對應的概率分位點不一致，提出了樣本信息聚集原理的小樣本數(shù)據(jù)P-S-N曲線擬合方法。白恩軍等[13]提出了服從威布爾分布的小樣本疲勞壽命試驗數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析與P-S-N曲線擬合方法。劉建忠等[14]運用貝葉斯理論提出了小樣本實驗數(shù)據(jù)確定疲勞壽命的可靠方法。但上述方法的數(shù)學計算方式比較煩瑣且精度及可靠性方面存在較大的改進空間，不能較好地滿足實際工程應用需求。

筆者基于不同應力水平下試樣疲勞壽命對應的概率分位點的一致性，采用數(shù)據(jù)共享與融合方法，把不同應力下的疲勞壽命分別等效到基準應力水平上，將等效壽命與基準應力水平下的循環(huán)壽命混合，根據(jù)混合后疲勞壽命與基準應力水平下疲勞壽命均值的相對誤差求得各級應力水平下循環(huán)壽命的均值。同時以不同應力水平為基準，對擬合得到的S-N曲線進行了討論。結合試驗數(shù)據(jù)表明，以低應力下為基準結合改進后的方法擬合出的S-N曲線效果更好。

1 小樣本下的信息聚集

1.1 疲勞壽命概率分位點一致性原理

在工程實際中，由于材料在微觀組織結構分布和力學性能方面均具有不均勻性，以及加工質量對試件的影響，即使在相同的疲勞試驗條件下，各試件采集到的疲勞壽命值具有較大的分散性[15],則應力與壽命之間不是單純的一一對應關系，而是在不同應力水平下具有與壽命母體相同的概率分位點。根據(jù)Miner法則定義，構建的疲勞壽命與應力之間具有線性關系，可以看作如圖1所示的一組具有存活率的應力壽命曲線簇。

圖1 疲勞壽命概率分位點一致性原理圖Fig. 1 Schematic diagram of consistency of fatigue life probability quantile

如圖1所示，M和N點分別為可靠度為50%時S-N曲線在應力水平σj和σk處兩點，兩者的存活率表達式如式(1)所示。

(1)

根據(jù)壽命概率分位點一致原理，任意一條S-N曲線為同一存活率下不同應力下對應的不同循環(huán)壽命，M和N點的存活率相同，有p(N

(2)

式中：nj,r為第j級應力水平下的疲勞壽命；nk,i為第k級應力水平下的疲勞壽命；σj和σk分別為j級和k級應力水平下疲勞壽命的標準差。

1.2 樣本信息聚集原理

信息聚集原理就是把各個小樣本數(shù)據(jù)通過等效關系聚集成一個大樣本，根據(jù)概率分位點一致性原理，把各級應力上的疲勞壽命向某一級應力進行等效，在該應力級上就可獲得較多的疲勞壽命數(shù)據(jù)。根據(jù)式(1)，將第k級應力水平下的疲勞壽命等效到第j級應力下，結果如式(3)所示。具體等效過程如圖2所示。

(3)

圖2 等效壽命轉換原理圖Fig. 2 Schematic diagram of equivalent life conversion

該方法可以實現(xiàn)不同應力水平下疲勞壽命數(shù)據(jù)之間的相互轉化，將小樣本數(shù)據(jù)等效轉換融合為“當量大樣本”數(shù)據(jù)，形成樣本聚集和信息融合效應[12]。對小樣本數(shù)據(jù)進行壽命分布參數(shù)估計時，既提高了樣本數(shù)據(jù)的使用效率，也提高了分布參數(shù)的估計精度。

2 基于樣本信息聚集方法的改進

謝里陽等[12]提出的樣本信息聚集原理結合攝動搜索尋優(yōu)技術，對于小子樣數(shù)據(jù)而言具有較強的實用性，能夠得到較為理想的疲勞P-S-N曲線，但在精度與可靠性等方面可以進一步改進。由于疲勞壽命數(shù)據(jù)的離散性較大，各級應力下疲勞壽命的均值偏差較大，而該方法中均值作為已知參數(shù)參與樣本信息的聚集，難以確保疲勞S-N曲線的精確性。經(jīng)典的樣本信息聚集方法中，都是默認以高應力水平為基準，沒有討論以哪一級應力水平為基準擬合出的S-N曲線更精確。

1)選擇4級應力水平進行疲勞壽命試驗，選取一基準應力水平下進行大樣本試驗，做10個疲勞試樣，記錄各試樣得到的疲勞壽命nj,r(r=1～10)。其他3級應力水平下進行小樣本試驗，各做5個(或3個)疲勞試驗，并記錄各個試驗的疲勞壽命nk,i(i=1～5)。

(4)

(5)

式中mj與mk分別為第j級與第k級應力水平下的試樣數(shù)。

3)由式(6)中第sj級應力及該應力水平下的循環(huán)壽命試驗數(shù)據(jù)為基準可以估計得到其他應力水平下疲勞壽命的均值，即

μk=μj+ki(sj-sk)。

(6)

(7)

(8)

基于該改進方法，當以高應力水平為基準時，其S-N曲線的擬合方法如下：

因此，根據(jù)搜索可以得到3個不同應力水平下的ki值，代入式(6)可以估計得到第2，3，4級應力水平下循環(huán)壽命均值μ2，μ3，μ4；最后由最小二乘法對每級應力及該應力水平下的疲勞壽命均值進行擬合得到S-N曲線。

(9)

(10)

改進后樣本聚集方法的具體步驟如圖3流程圖所示。

圖3 疲勞特性曲線擬合流程圖Fig. 3 Fatigue characteristic curve fitting flowchart

3 案例分析

為驗證改進后樣本信息聚集方法的有效性和可靠性，利用文獻[16]提供的齒輪彎曲疲勞壽命數(shù)據(jù)(如表1所示)進行擬合分析，并與傳統(tǒng)方法擬合出的結果進行對比。從表1中的數(shù)據(jù)可以看出，同一級應力水平下的疲勞壽命離散性較大，因此，對該實驗數(shù)據(jù)中應力與疲勞壽命分別取對數(shù)進行分析。

表1 各級應力水平下齒輪彎曲疲勞壽命數(shù)據(jù)

續(xù)表1

為了使小樣本數(shù)據(jù)擬合出的S-N曲線與完全樣本下擬合效果更為接近，筆者對不同應力水平為基準擬合出的S-N曲線進行了對比。分別以高應力(第1級應力)水平、低應力(第4級應力)水平以及中間級應力(第3級應力)水平為基準，進行S-N曲線擬合對比分析，驗證提出方法的可行性以及尋求小樣本數(shù)據(jù)下最為合理的擬合方法。

3.1 小樣本數(shù)據(jù)擬合結果分析

根據(jù)表1中的齒輪彎曲疲勞壽命數(shù)據(jù)，在基準應力水平下選取完全疲勞壽命(10個數(shù)據(jù))，其他應力水平下隨機選取5個疲勞壽命數(shù)據(jù)，隨機選取3組數(shù)據(jù)。擬合得到的S-N曲線如圖4～6所示。

圖4為以高應力水平為基準，根據(jù)改進后的樣本信息聚集方法、傳統(tǒng)成組法以及經(jīng)典樣本信息聚集方法，對隨機選取的3組數(shù)據(jù)分別擬合出S-N曲線。從圖中可以看出，相對于經(jīng)典樣本聚集方法，改進后的樣本信息聚集方法擬合出的S-N曲線與傳統(tǒng)成組法更為接近。改進后的方法擬合出的曲線與傳統(tǒng)成組法在斜率上的相對誤差分別為0.410%，4.300%，2.050%，截距上的相對誤差分別為0.017%，0.620%，0.620%。

圖4 以第1級應力水平為基準的S-N曲線擬合Fig. 4 S-N curve fitting based on the first-level stress level

圖5為以低應力水平為基準，對隨機選取的3組數(shù)據(jù)分別擬合出S-N曲線。通過與傳統(tǒng)成組法擬合結果進行對比可以看出改進后的方法擬合效果要優(yōu)于經(jīng)典樣本聚集方法，與傳統(tǒng)成組法擬合出的S-N曲線在斜率上的相對誤差分別為0.410%，1.310%，4.840%，截距上的相對誤差分別為0.078%，0.300%，0.800%。

圖5 以第4級應力水平為基準的S-N曲線擬合Fig. 5 S-N curve fitting based on the fourth-level stress level

圖6為以中間應力水平為基準，對隨機選取的3組數(shù)據(jù)分別擬合出S-N曲線。通過與傳統(tǒng)方法擬合結果進行對比可以看出改進后的方法擬合效果要優(yōu)于樣本聚集方法，與傳統(tǒng)方法擬合出的S-N曲線在斜率上的相對誤差分別為0.082%，0.900%，2.700%，截距上的相對誤差分別為0.086%，0.089%，0.480%。

圖6 以第3級應力水平為基準的S-N曲線擬合Fig. 6 S-N curve fitting based on the third-level stress level

根據(jù)圖3～5中S-N曲線的擬合結果可以看出，無論以哪一級應力水平作為基準，相對于經(jīng)典樣本聚集方法，改進后的樣本信息聚集方法擬合出的S-N曲線都更加接近傳統(tǒng)成組法，且擬合出的S-N曲線的斜率和截距與傳統(tǒng)方法的相對誤差較小。因此，證明了筆者提出的方法對小樣本疲勞數(shù)據(jù)擬合S-N曲線的可行性，并且提高了曲線的擬合精度。

3.2 不同基準載荷下疲勞特性對比分析

為了探究以哪一級應力水平作為基準能提高小樣本數(shù)據(jù)擬合S-N曲線的精確性，根據(jù)改進后的樣本信息聚集方法，以不同應力水平作為基準隨機抽取8組數(shù)據(jù)進行S-N曲線擬合。由擬合得到的曲線，在應力599～1 316 MPa范圍內(nèi)從低到高隨機選取8個應力值進行疲勞壽命預測，其結果作為預測疲勞壽命。由傳統(tǒng)成組法預測出的疲勞壽命作為理論疲勞壽命，對預測出的疲勞壽命進行整理，做出了該應力區(qū)間范圍內(nèi)疲勞壽命分布區(qū)間，如圖7所示。

圖7 預測疲勞壽命分布區(qū)間Fig. 7 Predicted fatigue life distribution interval

根據(jù)圖7(a)可以發(fā)現(xiàn)，以高應力水平為基準預測得到的疲勞壽命相對于理論疲勞壽命，最大波動范圍為(-0.119 7，0.106 3)；從圖7(b)可以看出，以低應力水平為基準時預測出疲勞壽命相對于理論疲勞壽命，最大波動范圍為(-0.076 1，0.082 8)；以中間應力水平為基準時,如圖7(c)所示，預測出的疲勞壽命相對于理論疲勞壽命的波動范圍為(-0.112 5，0.031 5)。3種不同基準下,預測得到的疲勞壽命與理論疲勞壽命誤差絕對值的范圍分別為:(0.000 0，0.119 7)，(0.000 0，0.082 8)，(0.000 0，0.112 5)。

根據(jù)上述計算結果可以發(fā)現(xiàn)，以高應力水平為基準預測出的疲勞壽命相對于理論疲勞壽命波動范圍最大。以中間應力水平和低應力水平為基準預測得到的疲勞壽命相對于理論疲勞壽命誤差最小。其中，以低應力水平為基準預測出的疲勞壽命與理論疲勞壽命誤差絕對值的范圍最小，且均勻分布在理論疲勞壽命線左右。以中間應力水平為基準預測出的疲勞壽命，整體上要低于理論疲勞壽命，根據(jù)該方法預測得到的疲勞壽命值偏于保守。根據(jù)構件的疲勞特性[17]，當以高應力水平為基準時，由于低應力水平下的試驗數(shù)據(jù)較少，在等效過程中會忽略疲勞壽命數(shù)據(jù)的離散性，使得在預測疲勞壽命時會產(chǎn)生較大的誤差。而當以低應力水平為基準，可以考慮到其他應力水平下疲勞壽命數(shù)據(jù)向低應力水平等效時的離散性，因而可以較好地保證預測疲勞壽命的精度。因此，以低應力水平為基準對于小樣本數(shù)據(jù)采用樣本信息聚集原理擬合得到的S-N曲線效果更好。

在進行疲勞試驗時，需要對S-N曲線的擬合精度和成本進行綜合考慮，以低應力水平為基準時，應力水平過低，試件可能會產(chǎn)生無限壽命，導致試驗過長，造成時間和資源的浪費，為提高實驗效率，應選接近且不小于構件的極限疲勞強度作為最低加載載荷。

4 結 論

1)筆者根據(jù)樣本聚集原理對疲勞失效軌跡線進行了拓展，使其可進行定量化分析。并以此原理為基礎，結合壽命概率分位點一致原理，對樣本信息聚集方法進行了改進，提出了一種基于小樣本數(shù)據(jù)擬合S-N曲線的方法。

2)筆者利用齒輪彎曲疲勞壽命數(shù)據(jù)對改進后的方法進行了驗證，在與傳統(tǒng)成組法擬合得到的曲線進行了對比之后，發(fā)現(xiàn)改進后的方法擬合出的S-N曲線要比經(jīng)典樣本聚集方法效果好，擬合精度得到了提高。

3)根據(jù)改進后的小樣本擬合S-N曲線方法，對不同應力水平為基準進行了研究，發(fā)現(xiàn)以低應力水平為基準擬合的S-N曲線預測得到的壽命與傳統(tǒng)成組法相比誤差范圍最小。所以，以低應力水平為基準結合改進后的小樣本擬合方法擬合出的S-N曲線效果更好。