基于核心素養的幾何單元整體教學實踐研究

汪小蓮 馬振華

[摘 ?要] 文章以“相似三角形”單元整體教學為例，闡釋單元整體教學設計的規劃以及單元課時的統籌，指出幾何教學中應取“數學學科育人”之勢，明“深度學習促數學學科核心素養”之道，優“結構關聯建構單元教學”之術.

[關鍵詞] 核心素養;單元整體教學;相似三角形

“雙減”背景下，如何彰顯數學學科內在價值，落實學生數學核心素養的培育，是數學教學中值得思考與研究的問題. 單元整體教學從學生的認知特征入手，強調知識內容和學習方法的完整性，以此發展學生的核心素養. 對于教師而言，單元整體教學能幫助教師在教學中理清數學知識的脈絡，將教書和育人融為一體;對于學生而言，單元整體教學能讓學生在最近發展區和現有發展區的不斷迭代中發展知識遷移能力，提升數學思維層次. 文章以“相似三角形”單元為例，談談對單元整體教學實踐的思考.

問題提出

1. 知識點狀化，難以促使學生主動學習

現行數學教材大都按公理化的體系以一節課為時間單位進行內容編排. 在日常教學中，部分教師會忽視數學的內在聯系、內在邏輯，對知識進行點狀化教學，概念、定理一個一個教，有內在聯系的知識點被分散在不同課時中. 課上完，學生只會做本節課知識點的相應練習，處于模仿套用階段，屬于低階思維狀態. 點狀化知識無法有機呈現其內在關聯，學生很難將學到的知識整合成一個整體，從而造成知識提取困難、學習遷移度較低等問題，很難促使學生主動學習.

2. 方法孤立化，難以提升學生的深度思維能力

整體教學使深度學習在課堂上真實發生，而教材內容通常是以一個個“知識點”呈現的，這樣容易使教師只是圍繞和關注知識點設計教學與習題. 這種教學方式會讓學生忽視解題方法的內在關聯，使學生的認識僅僅停留在單一記憶和機械掌握的水平，導致學生一遇到綜合練習就不知道如何靈活地選擇與運用方法，無法對知識進行遷移和應用，難以實現深度學習和數學育人的目標.

基于核心素養的初中幾何單元

教學構建

1. 單元整體教學需要明確單元內容和作用

“相似三角形”（浙教版九年級上冊）是學完“三角形”“特殊三角形”和“全等三角形”等知識后，需要進一步學習的三角形的相關知識. 在前期幾何圖形的學習中，學生初步了解了如何獲得研究對象，以及如何發現研究對象的基本性質，在此基礎上，這一單元對圖形關系進行一般化，研究圖形與圖形形狀相同的關系——相似，并以相似三角形為對象研究相似變化的知識結構鏈（如圖1所示）. 從知識的聯系上看，相似三角形是學生學習全等三角形之后對圖形關系的進一步深化，同時相似三角形的相關知識能為學生以后學習其他幾何圖形、三角函數等知識打好基礎;從方法的聯系上看，相似三角形的研究思路和全等三角形一樣，都要經歷“定義—性質—判定—應用”的過程.

2. 單元整體教學需要基于學生的認知

單元整體教學是以培養數學核心素養和落實數學育人為目標的一種教學方式與策略. 教師在開展單元整體教學時，要從學生熟悉的數學知識和已有認知基礎入手，以整體關聯為抓手，選取基于學生生活的情境素材，使學生感知數學與生活的密切聯系，從而有效地增強學生學習數學知識、運用數學知識解決相關問題的內在動力. 得到相似圖形的定義的一般流程是：情境引入、確定研究對象（抽象）、概括本質特征（抽象）、下定義. 對比浙教版的引入和人教版的引入我們可以發現，浙教版跳過了相似圖形，直接學習相似三角形的相關知識，沒有讓學生經歷從生活實例中抽象出數學圖形的過程，使學生學到的知識缺乏整體性;人教版的引入貼近學生生活，從圖形放大或縮小中獲得研究對象——相似圖形，特殊化研究相似多邊形，即聚焦研究相似三角形，并引導學生對比全等圖形的學習，啟發他們的研究思路，這樣的設計有利于發展學生的數學核心素養，提升學生的學習能力.

3. 單元整體教學需要關注知識之間的聯系

單元整體教學能使學生的學習更系統，能讓學生理解數學知識之間的聯系，并在習得數學知識的同時體會到其中蘊含的思想方法. 學習“相似三角形”這一單元之前，學生已經認識與探究了平面幾何圖形，特別是全等三角形，有一定的推理能力和探究經驗. 在抽象出相似三角形的定義之后，學生自然會聯想到所學的全等圖形的知識，得到相似三角形的研究路徑（如圖2所示），即從定性到定量研究其性質，優化定義這一判定方法，得到其他幾個判定方法，從而整體地認識這一單元的所有知識，積累研究幾何圖形關系的經驗.

4. 單元整體教學重視知識的應用

數學教學活動的出發點是培養學生的實踐能力和創新意識. 這一單元伊始的多個生活實例能使學生體會到數學與生活的緊密聯系，學完相似三角形的性質與判定方法之后，還需要教師設計相應的活動讓學生感受到數學在生活中的應用，做到首尾呼應. 如設計讓學生運用相似三角形知識，使用身邊簡單的工具測量操場上旗桿的高度等活動. 設計這樣的活動的目的有兩個：一是讓學生進一步理解與鞏固相似三角形知識;二是提升學生的應用能力，讓他們用所學的數學知識解決現實生活中的問題，真正在課堂上引導學生的思維從低階轉向高階（設計測量旗桿的方案），從而培養學生的核心素養.

在核心素養視角下細化教學

環節

原來的教材中，相似三角形的應用更多的是進行數學知識情境練習，教師只需要講解課本中的知識內容及解題技巧，使得數學課堂僅僅是教授枯燥的理論知識，即使是跟生活相關的應用題也脫離實際，這樣的教學不利于培養學生的數學核心素養. “利用相似三角形解決實際問題”這一知識安排了2個課時. 旗桿是學生最熟悉的情境，教師可以測量學校旗桿高度為任務，讓學生參與到自主思考設計方案、實踐測量旗桿高度、獨立計算旗桿高度、師生交流建立數學模型等活動中. 下面，筆者從提出問題與方案設計、路徑規劃與實踐操作、評價交流與建立模型、認知深化與思維提升這四個環節出發，具體闡述這2個課時的內容安排.

1. 提出問題與方案設計

提出問題：這是校園里常見的旗桿，你能用學過的數學知識及身邊簡單的工具獲得它較為準確的高度嗎？好的問題對學生的深入鉆研有很大的幫助. 學生幾乎天天看到旗桿，對于它的高度，都很感興趣. 問題中“簡單的工具”為得到較為準確的旗桿高度帶來了挑戰，這是知識與能力的拓展. 在這一環節，教師可布置實踐報告作業：設計方案、準備工具、抽象成數學圖形，學生可課后或者周末完成. 布置這種把生活問題抽象成數學問題并以方案設計的形式完成的作業，有利于發展學生的數學抽象素養.

2. 路徑規劃與實踐操作

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：有效的數學學習活動不能單純地依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探索和合作交流是學習的重要方式. 實踐證明，動手實踐操作不僅是提高教學效益的有效措施，還是學生解決問題的捷徑. 常規的數學課通常是教師在教室里采用講授的方式進行，這節課則改變了課堂的場地和教學方式：首先，讓學生以小組為單位交流完成的設計方案，進行設計方案的初步優化與選擇，小組交流后根據設計的方案進行合理分工（此環節需要5～10分鐘）;分工結束后，安排小組成員來到操場進行數據測量和計算，之后對比結果，思考誤差產生的原因，繼續優化設計方案，體會理論和現實的差距. 教師則在此過程中適當點評和指導，根據小組完成的情況向小組提問，比如：這里有升旗臺的高度，是否需要考慮？如何減小測量的誤差？假如地面不平，如何解決？假如不能進入升旗臺，能否測出旗桿的高度？教師通過整合單元內容，讓學生圍繞共同主題進行綜合性學習，引導他們走向深度學習，從而發展他們的數學核心素養.

3. 評價交流與建立模型

圍繞實踐報告開展交流展示、自我評價、同學評價能使學生的語言表達能力、合作能力、自信心等得以發展. 解決問題后建立相應的數學模型很有必要，因為其能增強學生的模型意識，且用模型解決新問題能提升學生的知識遷移能力. 到了“利用相似三角形解決實際問題”的第2課時，學生輪流匯報他們的分工情況及小組測量得到的結果. 在這個過程中，各小組成員須負責匯報自己完成的工作，從而促使小組每位成員都積極參與其中. 當一個小組匯報時，其他小組負責評價與補充，教師則引導他們說出設計方案所依據的原理，以及抽象成的數學圖形. 就這樣，通過學生之間的交流、教師的引導，各小組會得到最終的設計方案（數學模型）. 最后，教師從各個小組得到的結果中提出新問題，分析誤差并對模型進行優化.

這節課采用“學生先行，交流呈現，教師斷后”的教學模式，教師在整體統籌下推進教學，能讓學生建立整體性認知結構，從而真正理解、掌握數學知識.

4. 認知深化與思維提升

課堂的時間有限，無法解決很多相似又具有難度的問題，對此，教師可根據實際情境創造性地改變題目的背景，形成多層次、多角度的數學實際新問題. 在單元整體教學下，教師可引導學生把新舊知識組成知識鏈，尋求解決問題的方法，并讓他們在鞏固原有知識的基礎上，發散數學思維，從而培養學生的創造力，落實數學核心素養的培養. 當學生通過這兩節課親身經歷提出問題、分析問題、解決問題、解后反思的過程后，他們能真正地感知到數學知識的應用價值，此時教師可拋出一個新問題（見下面的問題1）作為探究性作業.

問題1：測量旗桿的高度時，如果我們身邊只有尺、測傾儀、鏡子、筆等簡單工具，且不能進入升旗臺，剛才這些方法還能用嗎？那旗桿的高度該怎么測呢？

【圖3是預設的數學模型之一：測出觀測人的眼睛到地面的距離CD=a，第一次仰角∠ACH=α，移動距離CE=DF=b，第二次仰角∠AEH=β，則旗桿高度AB=a+.】

等學生解決“問題1”后，教師可以繼續提出問題（見下面的問題2）.

問題2：實際操作時，圖3中的D，F，B三點共線不是一件容易的事情. 你有什么代替方案嗎？

【圖4是預設的數學模型之一：測出觀測人眼睛到地面的距離CD=a，第一次仰角∠ACH=α，向上移動距離CG=c，第二次仰角∠AGK=γ，則旗桿高度AB=a+c+.】

基于核心素養的單元整體教學

思考

通過對“相似三角形”單元整體教學的實踐和探索，筆者最深刻的感悟有以下三點.

1. 從關注教材轉向關注課程標準和學科核心素養

基于核心素養的初中數學單元整體教學設計不是單純的知識點講解或解題技能培訓，而是從關注教材知識的講授到關注學生素養的形成. 教師需要思考如何通過特定的主題和目標展開教學活動，并圍繞主題將各內容按邏輯聯系起來，形成結構化的單元，進而提升知識的整體性與系統性.

“相似三角形”這一單元的整體教學，是通過引導學生類比全等三角形的知識方法和研究思路，從而獲得相似三角形的研究路徑，過程中滲透了從特殊到一般的思想方法，使得學生從整體上理解了“相似三角形”這一單元的知識結構. 這樣的整體教學設計不僅能更好地落實課程標準的要求，還能使學生將原有的認知結構內化為一種整體的、系統的、結構化的、可遷移的學習策略.

教學中，教師引導學生通過小組合作探究的模式，及時記錄探究過程，定時交流探究結果，從而使學生形成完整的問題解決方案. 這樣的教學設計不僅能讓學生感受到知識的體系，而且能有效地提升學生創建知識網絡的能力，促進學生數學核心素養的有效提升. 此后，當學生再遇到與此相似的知識，如相似多邊形的性質與判定時，他們就能夠主動地運用已有的學習經驗快速習得.

2. 從落實知識點到培養學生解決實際問題的能力

上述案例，設計的問題情境是測量學校旗桿的高度，并在此基礎上相繼提出如何測量有障礙物的旗桿高度與有障礙物且地面不平的旗桿高度兩個問題. 不管是哪種情況，所采取的研究思路都是“知識準備—測量實踐—結果分享—建立模型—反思優化—分析問題—解決問題”. “有障礙物”“地面不平”等因素都會影響所測旗桿高度的準確性. 提出這樣的問題，能讓學生在解決問題的過程中思維更加嚴謹，并認識到數學問題的解決是從簡單到復雜的過程，使數學知識的應用價值深入學生心中. 這樣的學習方式打破了教材中縱向知識和橫向知識之間的壁壘，使知識之間實現了縱橫交融，把一個個知識串聯起來組成結構群. 這種在數學學科的整體視角下建立的結構鏈之間的關聯性結構群，能讓學生以深層次思維解決“萬變”的生活實際問題. 在這一過程中，學生遷移了數學方法，培養了數學思維，實現了從“學會”到“會學”的轉變. 知識對于他們來說，不再是學習顯性化的符號，而是將其轉化為自身發展、成長的豐富資源.

3. 從簡單的思維訓練到促進結構化思維遷移

在幾何教學中，教師需要建構單元知識之間的聯系，并對初中數學內容進行整體架構. 具體的操作方式是：從組成概念的基本要素出發，尋找知識之間的關聯點，按從特殊到一般的思路，先掌握一般三角形的相關要素、基本要素之間的聯系，再考慮基本要素特殊化后的關系，從而順利建構初中學段三角形的知識體系. 當從系統的、結構化的視角去認識幾何圖形時，學生就會運用這種結構化的思維解決類似問題，即“研究對象在變，但研究套路不變”. 這一研究思路能讓學生從數學的角度發現問題、提出問題、分析問題并解決問題，從而感悟數學思維的結構化和系統性.