建構圖式，提升學生學習效能

胡波濤

[摘 ?要] 圖式理論視野下的小學數學教學，遵循了學生認知結構的建構模式。圖式有助于學生理解本質，有助于學生把握結構，有助于學生建立數感。在小學數學教學中，教師要激活學生的原有圖式，建構學生的目標圖式，遷移應用學生的新圖式。通過圖式喚醒、激活、遷移、應用，發展學生的圖式素養，提升學生的數學學習效能。

[關鍵詞] 圖式;學習效能;小學數學

圖式理論是一種認知理論。認知心理學認為，學生學習的過程是學生借助已有圖式去建構、內化新圖式的過程。所謂“圖式”，是指個體獲得的知識、經驗并在頭腦中儲存的一種方式。德國思想家康德認為，圖式是一種潛藏在人類心靈深處的技術、技巧。而瑞士認知心理學家皮亞杰則認為，圖式是一個有組織的、可重復的行為或思維模式。基于圖式對學生數學學習的重要性，在小學數學教學中，教師要激活學生原有的經驗圖式，引導學生建構新圖式、運用新圖式。

[?] 一、建構數學圖式的意義和價值

在數學學習中，經驗、表征以及符號學習、抽象性學習等都會在學生的大腦皮層上留下印跡。圖式既是學生數學學習的載體、媒介，又是學生數學學習的一種活動方式。圖式的建構過程，也是學生數學學習的自我建構過程。可以這樣說，圖式貫穿學生數學學習的始終。

1. 圖式有助于理解本質

數學圖式是以一種直觀化、具體化的方式存在于學生頭腦之中的，是解釋知識性質的重要工具。在小學數學教學中應用圖式，能讓學生深刻理解數學知識本質，能幫助學生理解算理、建構算法、理解數學規律等。概言之，圖式能幫助學生理解數學知識的本質。比如在“長方形的周長”一課的教學中，教師為了讓學生建立“周長”概念，理解周長本質，通常會出示許多變式性的圖形，諸如有的是不封閉的圖形，有的表示的是圖形的面積而不是圖形的周長，等等。通過圖形，引發學生的數學思考，建立起學生對自身體驗與外物體驗的對應關系，從而深化學生對概念和性質的理解。

2. 圖式有助于把握結構

數學知識是高度結構化、系統化、形式化的，教師借助圖式能幫助學生更好地把握數學知識之間的關聯、結構等。數學圖式將相關的數學知識串點成線、連線成網，進而突出了數學知識的邏輯性、層次性和網絡性。在建構數學知識的過程中，學生內在的圖式往往要經過改變（通過“同化”和“順應”兩種方式），最終將舊的認知系統納入其中，或者超越舊的認知系統，建構生成新的圖式系統。比如教學“圓柱的側面積”這一部分內容之后，筆者引導學生比較“長方體的側面積”“正方體的側面積”等相關知識，從而讓學生把握數學知識結構。同時，筆者還引導學生抽象、提煉、概括，建構直柱體統一的側面積計算新圖式，即V=Sh。總的來說，把握數學知識的圖式，學生才能在數學學習中“既見樹木又見森林”。

3. 圖式有助于建立數感

所謂“數感”，是指對數學的一種直覺、直感，是一種對數學的敏銳感。這種“直覺”“直感”不同于感性認知，而是一種對數學本質的洞察、對數學知識結構的迅捷把握。實踐表明，擁有良好數感的人，其數學學習力往往很強，其數學學科核心素養也往往很好。作為教師，應該引導學生借助圖式對相關數學知識進行編碼。比如在簡便運算的學習過程中，有學生對“0.25與4”“0.125與8”建立了相關的圖式，并能在計算過程中看到“0.25”就會去找“4”，看到“0.125”就會去找“8”。換言之，“0.25與4”“0.125與8”已經作為一種穩定的圖式扎根于學生的心中，從而讓學生能積極主動地探尋簡便算法。通過長期的實踐，學生逐步形成了具有導向性、實效性的數感。

數學圖式的類型很多，主要有動作圖式、表象圖式和思維圖式。在數學教學中，教師可以引導學生逐步從動作圖式過渡到表象圖式，再從表象圖式提升為思維圖式、符號圖式等。通過學生的數學學習，讓學生的學習圖式逐步走向完善、完整。關注學生數學圖式的有效建構、生成與完善，是數學教學的應有之義 。

[?] 二、數學圖式建構的策略與路徑

數學是抽象化、公理化、形式化的。作為教師，要將抽象化、公理化、形式化的數學進行具體化、直觀化。圖式是架設在抽象的數學與學生天性之間的一座橋梁。教師可以借助圖形、文字、符號等多樣化的語言，幫助學生建構圖式。而借助圖式，抽象、深奧的數學能得到具體、形象的詮釋。在這個過程中，教師要讓舊的圖式得到改造，讓新的圖式得到建立，從而不斷推進圖式的豐富與完善。

1. 發現并激活學生的原有圖式

學生的原有圖式是學生數學學習的根基，包括經驗圖式、生活圖式、已有知識圖式等。其中，有的圖式是以語言表征出來的，有的圖式是以圖形、圖片和圖像表征出來的，還有的圖式是以符號、問題、形式等表征出來的。作為教師，必須了解學生的具體學情。只有這樣，才能有效地把握學生的原有圖式，將教學切入學生數學認知的“最近發展區”。

要想發現并激活學生的原有圖式，教師可以采用問題診斷、問卷調查、任務診斷、作業診斷等多種方式。通過這些方式、手段和策略，喚醒并激活學生的原有圖式，從而讓學生找到新舊圖式的連接點。比如教學“分數的初步認識”（蘇教版三年級上冊）這一部分知識時，筆者借助學生的生活經驗圖式——“一半”，引導學生建構“分數的意義”。在教學過程中，筆者引導學生動手操作，將一個長方形、一個圓形、一個正方形進行平均分，從而助推學生建立動作表象。在此基礎上，筆者又讓學生對操作過程進行表述，逐步引導學生將生活化的語言提升為數學化的語言，從而幫助學生建立語言圖式。最后，筆者還引導學生進行抽象和概括，幫助學生建立對分數的意義的認知，從而形成符號表象。

發現并激活學生的原有圖式，有助于引導學生進行數學知識的自主建構。在數學教學中，有時教師還要對學生的原有圖式進行補充、修復，從而彌合學生原有認知圖式與新知之間的認知裂隙。總的來說，喚醒、激活學生的原有圖式，有助于引導學生積極參與，深化學生的思考與探究。

2. 建構并內化學生的目標圖式

目標圖式是學生數學學習的新圖式，是要達到的學習點。在數學學習中，當學生的原有認知經歷同化、順應之后，當新舊知識被有機融通、統整之后，新的圖式就會建構完成。在數學教學中，教師要豐富圖式、拓展圖式。通過新圖式的建構、內化，促進學生認知心理從失衡走向新的平衡。

比如教學“圓柱的體積”，筆者從學生的已有認知圖式——“圓的面積推導過程圖式”出發，讓學生操作圓柱的學具模型。當學生將圓柱通過切拼轉化成長方體之后，筆者引導學生比較圓柱和長方體，從而幫助學生建構圖式。為了進一步內化、鞏固、拓展、延伸學生的認知圖式，筆者讓學生以不同的方式去擺放長方體，從而讓學生發現建構圓柱體積的不同推導路徑。比如將圓柱正著放，就能推導出“V=πr2h”;將圓柱側向放置，就能建構“V=S側r”;將圓柱換個方向側放，就能推導出“V=hr×”;等等。對目標圖式的補充、完善和充實，盤活了學生的思維，掀起了學生的頭腦風暴。在這樣的教學中，學生的數學學習逐漸走向了更深處。

目標圖式是學生數學學習的原點和歸宿，也是學生數學學習的靈魂和命脈。把握了目標圖式，就能促進數學知識的意義建構與內化，從而真正助推學生實現從“知”到“智”的變化。

3. 遷移并應用學生的生成圖式

所謂“遷移”，是指學生的已有知識、技能、方法甚至學習態度對新學習的影響。在小學數學教學中，教師不僅要引導學生建構圖式、發展圖式、豐富圖式，還要引導學生遷移圖式、應用圖式。只有通過遷移、應用，才能讓圖式具有生命活力。在數學教學中，教師需要創設情境，設計相關活動，引導學生不斷應用圖式，實現新圖式的遷移、應用。

圖式的意義不僅僅在于學生的理解，而在于靈活應用。可以這樣說，靜態的圖式是“死”的，而動態的“圖式”則是活的。將新圖式、目標圖式有效應用，能讓數學學習充滿靈性。在數學教學中，教師要啟發學生構圖、創圖。正如著名教育家喬納森所說：“當學生嘗試用圖式方法來表征事物時，其思維往往處于最佳的狀態。”在數學應用中，學生的圖式往往是一個個的組塊，等待著學生的提取、激活、遷移、應用。比如教學了“一一間隔”這一部分內容之后，筆者引導學生應用相關的圖式，如“兩端物體相同，兩端物體個數=中間物體個數+1”“兩端物體不同，兩種物體的個數相等”。在應用的過程中，學生能感受、體驗到情境的復雜性。比如不僅要關注兩端物體是否相同，而且要關注是一側還是兩側，還要思考是線段還是封閉圖形，等等。在遷移、應用圖式的過程中，學生能逐步領悟到圖式的內在本質、使用閾限、應用策略等。

圖式理論視野下的小學數學教學，遵循了學生認知結構的建構模式。應用圖式能指導學生的數學學習，能提升學生的數學學習效能，促進學生數學思維水平、探究水平的提升。在數學教學中，教師要以圖式化素養為例，探究學生數學學習的一般化策略。通過學生的思維、探究、感悟，引導學生經歷數學學科核心素養的形成、發展過程。