巧借數字對換，增強數學素養

封功敏

[摘 ?要] 數學知識千變萬化，蘊含各種各樣的規律。在數字對換中，有很多規律值得學生探索。探求規律，理解運算法則，提升運算能力，可以直接增強學生的數學素養。文章主要探討了數字對換在數學課堂中的運用。

[關鍵詞] 小學數學;數字對換;數學素養

對于單個的數字來說，數字對換可以是個位、十位、百位上的數相互對換。對于不同的數來說，數字對換可以理解為在算術運算中，兩個數交換位置。比如，減數與被減數位置的交換等。

[?] 一、設置課堂沖突，激發探究欲望

小學生的探究欲望是非常強烈的。當新知與舊知碰撞，當學習中產生知識矛盾時，他們會十分渴求一個可以解決疑惑的答案。所以，他們會想辦法解決認知沖突。教師要做的就是揭示認知沖突，引導他們解決數學問題。

例如，針對“估算”這一內容的教學，教師可以讓學生把兩位、三位數看成與它最接近的整十數或者整百數，再把這個數和其他的數相乘。“估算”是一種簡便運算，也是一種近似運算，它可以幫助學生減少一定的計算量，但得到的只是大致結果而不是精確結果。教學時，筆者向學生出示一個題目：請同學們估算對比這兩個算式的大小，“26×31”與“ 62×13”。

生：26近似30，31近似30，算式1可估算為30×30=900。62近似60，13近似10，算式2可估算為60×10=600。顯然，900大于600，第一個算式的結果大。

師：最近，我們學習了兩位數乘兩位數，同學們還記得計算法則嗎？現在不妨先來算一下這兩個算式的精確結果。

生：奇怪。26×31=806，62×13=806，兩個算式的結果相等。這是為什么呢？按照估算法則，第1個算式的結果明顯大于第2個算式的結果。但使用運算法則精確計算，這兩個算式的結果又確實相等。到底估算錯了，還是我們計算錯了呢？

師：同學們，我們剛剛就是按照四舍五入的法則估算的，這肯定沒有錯。我們也是按照運算法則來精確計算的，也沒有錯。為什么這兩個算式會相等？那么我們交換一個算式乘數的個位和十位，相乘的結果不變，這是不是通用的呢？

筆者的這個問題瞬間勾起了學生的好奇心，學生紛紛拿出草稿本，驗算起來。學生發現，大部分算式都不符合剛剛所說的“對換結論”。難道剛剛那個算式只是碰巧嗎？這時，有學生還是湊出了相等的算式，說明“數字對換”有一定的規律可循。這樣的情況讓學生的好奇心越來越重，也讓他們迫不及待地想要知道其中的奧秘。因此，為了激發學生的探究欲望，教師在開展課堂活動時可以多設問題，引發學生思考、探索。探究欲望和學習熱情都是數學核心素養的要素，我們應該讓學生在學習中時刻帶著熱情，時刻保留探究的欲望。

[?] 二、給予思考時間，探求數學真理

學習成績比較優秀的學生在日常的學習和生活中都很愿意開動腦筋，思考問題。而學習成績相對落后的學生則大多情況相反。不思考怎么能夠領略數學學科的精髓呢？教師可以在課堂上預留思考的時間，讓學生自行探索數學真理。

以上文的教學為例。筆者先提出問題：“目前，我們收集到了4個算式，分別是‘23×35’‘33×17’‘21×48’和‘32×69’。前兩個算式，我們交換兩個兩位數的十位和個位，最終得到的計算結果不相同。但后兩個算式，我們交換兩個兩位數的十位和個位，得到的計算結果相同。這是為什么呢？”學生針對這個問題提出了猜測：兩個乘數至少要有一個是2的倍數。一般來說，偶數更容易滿足數字中的數學規律。前兩個算式中的乘數都是奇數。這可能是它們不滿足“對換結論”的原因所在。此外，還有學生又發現了兩個算式：“26×35”和“36×17”，這兩個算式含有偶數，不全都是奇數，但還是不滿足“對換結論”，這說明前面的猜想也是不成立的。此時，筆者進一步引導：“同學們，‘對換結論’交換的是十位上的數和個位上的數。那么十位上的數和個位上的數會不會滿足一些定律？是不是有一些特殊的地方？”據此學生發現，后兩個算式的兩個兩位數，其十位上的數相乘的結果和個位上的數相乘的結果相等。根據這個發現，學生又寫出了幾個算式進行進一步的求證，發現交換算式中兩個兩位數的十位和個位上的數后相乘的結果相等，于是得到剛剛所說的交換定律的結論。針對學生的探索思路，筆者又提出了一個新問題：“我們能不能用數學語言表示交換結論呢？什么是數學語言呢？我們原先學過‘用字母表示數’，字母就是我們常用的數學語言。你們有沒有發現書上很多結論、定理都是用字母表示的？數學語言的說服力比文字更大、更淺顯易懂。有沒有同學愿意嘗試一下？”這樣的問題對于學生并不難，他們很快就給出了答案：ab×cd，如果ac=bd，那么ab×cd=ba×dc。

在以上的探究過程中，筆者先給學生時間思考，提出猜想，又讓學生對猜想進行驗證，并在探討的過程中對猜想進行修正。最后，筆者還引導學生使用數學語言進行總結。總的來說，培養數學語言的表達能力是核心素養的重要目標。而在實際學習過程中，學生對于數學語言非常陌生，不習慣用字母和符號等數學語言進行表達。學生看到題目中有較多的字母和符號，就會感到緊張和害怕，使解答效率進一步降低。在筆者的引導下，學生第一次嘗試用數學語言來表達所探索的定理就收獲了成功，在一定程度上肯定了數學語言的效用。

[?] 三、出示相關變式，力求解后反思

基于年齡和經歷的不同，同一個問題，教師可以在短時間內就想到這個數學問題的更多面，因此教師要有意識地引導學生進行更全面的思考，也即是解后反思。比如，針對剛剛探討的結論對兩位數有用，對三位數卻不成立的情況，教師就可以繼續引導學生探索三位數交換的結論。

師：我們剛剛探討的是兩位數乘兩位數的交換結果，如果是三位數乘兩位數呢？交換結果會怎么樣？是否還滿足我們剛剛所探索出的定律呢？

生：三位數有三個數，我們應該交換哪兩個數位呢？是百位、十位，還是個位呢？

師：現在交換三位數中的百位和個位，并且交換兩位數中的十位和個位，交換之后結果是否依然相等？

（學生再提出猜想時就更明確了，直接看三位數和兩位數中某個數位的乘積。）

生1：對于一個三位數abc和一個兩位數de，如果ad=ce，那么abc×de=cba×ed。

生2：對于一個三位數abc和一個兩位數de，如果ad+b=ce+b，那么abc×de=cba×ed。

生3：對于一個三位數abc和一個兩位數de，如果ad=ce，且a+c=b，那么abc×de=cba×ed。

（針對學生的猜想，筆者引導學生進行實踐驗證。如153×62這個算式，153×62=9486，交換三位數中的百位和個位，并交換兩位數中的十位和個位，351×26=9126，9126不等于9486。所以生1的猜想是不正確的。這個驗證同樣也適用于生2的猜想。因為如果ad=ce，那么ad+b也一定等于ce+b，它們加的都是同一個數字。所以，生1和生2的猜想可以歸為同一類。因此生2的猜想也不正確。再研究143×62這個算式，1×6=2×3，且1+3=4，這個算式滿足生3的猜想的條件。143×62=8866，341×26=8866，143×62=341×26，因此生3的猜想是正確的。除此之外，學生還根據生3的猜想寫了很多新的算式，如154×82，396×21等。）

生1：我發現，三位數乘兩位數的對換結論和兩位數乘兩位數的對換結論相類似，只是比它多了一個條件，即三位數的十位上的數要等于個位上的數加百位上的數之和。

師：其實，我們用文字還是不好表述，很容易混淆。但我們剛剛用字母提出的猜想就很清楚、易懂。

生2：我也是這樣認為，而且我覺得四位數乘兩位數的對換結論也可以探討一下。

如果學生掌握了“數字對換”的精髓，那么無論是三位數乘兩位數的變式，還是四位數乘兩位數的變式，學生都可以在正確的軌道上提出猜想并實踐驗證，這就是所謂的“舉一反三”。無論是在學習新知，還是解決問題的過程中，我們都需要找到知識點中“變”和“不變”的地方——“不變”的是考點，是根本知識，“變”的則是形式。在引導學生求解問題，探究定理之后，教師還需要引導學生反思總結，這樣才能夠提升學生的學習力與數學思維。

總之，在小學數學教學中，數字蘊含的規律是無窮無盡的。我們可以在數學書上或者練習題中尋找一些有規律的題目，引導學生進行探究，激活學生學習數學的熱情。