介質圓柱和球電型并矢格林函數求解特性比較研究

雒向東 趙宇杰 海波 梁曄

【摘? ?要】? ?基于圓柱和球坐標系中圓柱和球型矢量波函數，將自由空間圓柱和球型并矢格林函數應用于介質圓柱和球進而推出二者的第三類電型并矢格林函數，并就求解過程特性進行比較分析，其結果可為基于DGF方法處理圓柱和球型介質電磁散射等問題提供理論依據。

【關鍵詞】? ?柱球坐標系;介質柱球;矢量波函數;并矢格林函數;比較研究

A Comparative Study of the Characteristics of the Solving Process of

Electric Dyadic Green′s Functions of Medium Column and Sphere

Luo Xiangdong1，2， Zhao Yujie1， Hai Bo1， Liang Ye1

（1. Lanzhou City University， Lanzhou 730070， China;

2. Editorial Department of Journal of Gansu Normal Colleges， Lanzhou 730070， China）

【Abstract】? ? Based on the cylindrical and spherical vector wave functions in the cylindrical and spherical coordinate systems， applying the free space cylindrical and spherical dyadic Green's functions to medium column and sphere， this paper deduces the third kind of electric dyadic Green's functions of the medium cylinder and sphere and makes a comparative analysis of the characteristics of their solving process. The results can provide theoretical basis for dealing with electromagnetic scattering of cylindrical and spherical media with the DGF method.

【Key words】? ? ?cylindrical and spherical coordinate systems; medium cylinder and sphere; vector wave functions; dyadic Green's functions; comparative study

〔中圖分類號〕? O441.4? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 〔文獻標識碼〕? A ? ? ? ? ? ? ?〔文章編號〕 1674 - 3229（2022）01- 0037 - 04

0? ? ?引言

圓柱體、球體是工程應用中常見的電磁輻射與散射模型，這類電磁場邊值問題的求解往往涉及柱型和球型矢量波函數的構建[1-4]。在圓柱和球坐標系中分別應用圓柱和球型矢量波函數表示自由空間輻射或散射場極為方便，當獲得自由空間圓柱和球型矢量波函數展開式后，應用散射疊加方法可導出其他類型的并矢格林函數。應用并矢格林函數（簡稱DGF）方法解決電磁理論及工程邊值問題，主要難點就是要構建并矢格林函數。對這一問題國內外學者已做了大量研究[5-14]，如對規則形狀波導、常用坐標系等問題已有一致的結果，但對介質圓柱和球體散射場等問題求解的比較研究未見報道。本文基于圓柱和球坐標系中圓柱和球型矢量波函數，從自由空間構建的并矢格林函數出發，求解介質圓柱和球的第三類電型并矢格林函數，并就其求解過程特性進行比較分析，其結論可為基于DGF方法解決介質圓柱和球形物體散射場等問題提供理論依據。

1? ? ?圓柱和球型矢量波函數基本理論

1.1? ?圓柱矢量波函數基本理論

圓柱矢量波函數[M、N]定義為[Meonλ、Neonλ]兩組矢量波函數[8]。

[Meonλ（h）=?×Jn（λr）cossinnφe-ihzez=?nJn（λr）rsincosnφer-?Jn（λr）?rcossinnφeφe-ihz] （1）

[Neonλ（h）=1κλ?×?×Jn（λr）cossinnφe-ihzez=1κλ-ih?Jn（λr）?rcossinnφer±ihnJn（λr）rsincosnφeφ+λ2Jn（λr）cossinnφeze-ihz]（2）

式（1）中雙行符號是同時表示兩個式子的一種符號表示方法，實質上是指以下兩式：

[Menλ（h）=?×[Jn（λr）cosnφe-ihzez]=[-nJn（λr）rsinnφer-?Jn（λr）?rcosnφeφ]e-ihzMonλ（h）=?×[Jn（λr）sinnφe-ihzez]=[nJn（λr）rcosnφer-?Jn（λr）?rsinnφeφ]e-ihz]? （3）

文中其他雙行符號式子含義同此，式（3）中下標“[e]”表示偶函數，“[o]”表示奇函數，式（1）和（2）在整個空間區域（[∞>r≥0]，2[π][>φ≥0]，[∞>z>-∞]）均有定義，且滿足以下正交歸一性質[8]：65E71114-E2A4-42E9-96FB-4A0F5E09D398

[Meonλ（h）?Neon′λ′（-h′）dV=0] （4）

[Meonλ（h）?Meon′λ′（-h）dV=0? ? ? ? ? ? ? ?（n? ?n′）（1+δ0）2π2λδ（λ-λ′）δ（h-h′）? ?（n=n′）]? （5）

[Neonλ（h）?Neon′λ′（-h′）dV=0? ? ? ? ? ? ? ? ? （n? ?n′）（1+δ0）2π2λδ（λ-λ′）δ（h-h′）（n=n′）]? （6）

式（4）-（6）中積分區域為整個空間，本征值[h]和[λ]為連續取值。

1.2? ?球型矢量波函數基本理論

球型矢量波函數定義為[15]：

[φeomn（κ）=jn（κR）Pmn（cosθ）cossinmφ]? ? ? ? （7）

[Meomn（κ）=?×[φeomnR]=?msinθjn（κR）Pmn（cosθ）sincosmφeθ-jn（κR）?Pmn（cosθ）?θcossinmφeφ] （8）

[Neomn（κ）=1κ?×?×[φeomnR]=n（n+1）κRjn（κR）Pmn（cosθ）cossinmφer+1κR??R[Rjn（κR）]?Pmn（cosθ）?θcossinmφeθ?msinθPmn（cosθ）sincosmφeφ] （9）

球型矢量波函數正交歸一關系為：

[Meomn（κ）?Neom′n′（κ′）dV=0] （10）

[Meomn（κ）?Meom′n′（κ′）dV=0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?m≠m′，n≠n′（1+δ0）π2n（n+1）（n+m）！κ2（2n+1）（n-m）！δ（κ-κ′） m=m′，n=n′]（11）

[δ0=1m=00? ? ? ? ? ? ? ? ? m≠0 ]? ? ?（12）

[Neomn（κ）?Neom′n′（κ′）dV=0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? m≠m′，n≠n′（1+δ0）π2n（n+1）（n+m）！κ2（2n+1）（n-m）！δ（κ-κ′）? ? ?m=m′，n=n′] （13）

式（10）（11）和（13）中積分區域為整個空間區域。

2? ? ?介質圓柱電型并矢格林函數

設自由空間圓柱體是各向同性均勻媒質構成的介質圓柱，電型并矢格林函數在[r=a]界面上滿足電場、磁場在界面切向矢量連續的邊界條件，這里電型并矢格林函數為第三類。采用[G（11）e（R，R′）和G（21）e（R，R′）]分別表示圓柱外部和內部區域上的電型并矢格林函數，源被置于介質圓柱外，圓柱內外空間對應參數定義為：

[k1=ω（μ0ε0）12，η=（k21-h2）12]? ? [r>a]? ? （14）

[k2=ω（με）12，ξ=（k22-h2）12]? ? ? ?[r

式（14）（15）中[μ、ε]分別表示介質柱磁導率和介電常數，它們可以是實數也可以是復數。基于兩媒質分界面存在透射、反射效應，第三類電型并矢格林函數可設為：

[G（11）e（R，R′）=Ge0（R，R′）+G（11）es（R，R′）? r≥a] （16）

[G（21）e（R，R′）=G（21）es（R，R′）? ? ? ? ?r≤a] （17）

式（16）中[Ge0（R，R′）]是柱坐標系中自由空間電型并矢格林函數，表達式為[8]：

[Ge0（R，R′）=-1k2ererδ（R-R′）+i8π-∞∞dhn=0∞2-δ0η2M（1）η（h）M′η（-h）+N（1）η（h）N′η（-h）（r>r′）Mη（h）M′（1）η（-h）+Nη（h）N′（1）η（-h） （r

式（18）中上行符號對應[r>r′]，下行符號對應[r

從物理角度看，[G（11）es（R，R′）]來自介質圓柱對[Ge0（R，R′）]的散射，必須滿足無窮遠處的輻射條件和發散波的要求;[G（21）e（R，R′）]來自[Ge0（R，R′）]通過圓柱界面的透射，必須滿足在圓柱內部有界和駐波特性的要求。因此[G（11）es（R，R′）]和[G（21）es（R，R′）]應與[Ge0（R，R′）]有相同的激勵項。考慮到圓柱交界面上滿足的邊界條件，[G（11）es（R，R′）]和[G（21）es（R，R′）]必然有以下的展開式：65E71114-E2A4-42E9-96FB-4A0F5E09D398

[G（11）es（R，R′）=i8π-∞∞dhn=0∞2-δ0η2[AeoηM（1）eoη（h）+BoeηN（1）oeη（h）]M′（1）eoη（-h）+[CeoηN（1）eoη（h）+DoeηM（1）oeη（h）]N′（1）eoη（-h）] （19）

[G（21）es（R，R′）=i8π-∞∞dhn=0∞2-δ0η2[aeoξMeoξ（h）+boeξNoeξ（h）]M′（1）eoη（-h）+[ceoξNeoξ（h）+doeξMoeξ（h）]N′（1）eoη（-h）] （20）

為了求得待定系數[A、B、C、D和a、b、c、][d，]

應用在[r=a]圓柱面上滿足的邊界條件：

[er×[G（11）e（R，R′）-G（21）e（R，R′）]r=a=0] （21）

[er×?×G（11）e（R，R′）μ0-?×G（21）e（R，R′）μr=a=0] （22）

利用這兩式可得到含有待定系數在內的16個線性代數方程，求解這些代數方程，便可得到16個待定參數。將式（19）和（20）代入式（21）得：

[er×[-1k2ererδ（R-R′）+i8π-∞∞dhn=0∞2-δ0η2[Mη（h）M′（1）η（-h）+Nη（h）N′（1）η（-h）]+i8π-∞∞dhn=0∞2-δ0η2[AeoηM（1）eoη（h）+BoeηN（1）oeη（h）]M′（1）eoη（-h）+[CeoηN（1）eoη（h）+DoeηM（1）oeη（h）]N′（1）eoη（-h）-i8π-∞∞dhn=0∞2-δ0η2[aeoξMeoξ（h）+boeξNoeξ（h）]M′（1）eoη（-h）+[ceoξNeoξ（h）+doeξMoeξ（h）]N′（1）eoη（-h）]r=a=0? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（23）]

式（23）等效于以下兩個方程：

[er×[（Meoη（h）+AeoηM（1）eoη（h）+BoeηN（1）oeη（h）-aeoξMeoξ（h）-boeξNoeξ（h）]r=a=0]? ? ? ? ? ?（24）

[er×[（Neoη（h）+CeoηN（1）eoη（h）+DoeηM（1）oeη（h）-ceoξNeoξ（h）-doeξMoeξ（h）]r=a=0]? ? ? ? ? ? （25）

對式（24）和（25）兩式求解得：

[-1k1η2H（1）n（ηa）Boeη+1k2ξ2Jn（ξa）boeξ=0-?H（1）n（ηa）?aAeoη?ihnH（1）n（ηa）ak1Boeη+?Jn（ξa）?aaeoξ±ihnJn（ξa）ak2boeξ=?Jn（ηa）?a-η2k1H（1）n（ηa）Ceoη+ξ2k2Jn（ξa）ceoξ=1k1η2Jn（ηa）±ihnH（1）n（ηa）ak1Ceoη-?H（1）n（ηa）?aDoeη?ihnJn（ξa）ak2ceoξ+?Jn（ξa）?adoeξ=?ihnJn（ηa）ak1] （26）

[k1=κηk2=κξ]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（27）

將式（19）和（20）代入式（22）得：

[er×[i8π-∞∞dhn=0∞12-δ0η21μ0[?×Mη（h）′（1）η（-h）+?×Nη（h）′（1）η（-h）]+][i8π-∞∞dhn=0∞2-δ0η21μ0[Aeoη?×M（1）eoη（h）+Beoη?×N（1）oeη（h）]M′（1）eoη（-h）+[?×CeoηN（1）eoη（h）+Doeη?×M（1）oeη（h）]N′（1）eoη（-h）-i8π-∞∞dhn=0∞2-δ0η21μ[aeoξ?×Meoξ（h）+boeξ?×Noeξ（h）]M′（1）eoη（-h）+[ceoξ?×Neoξ（h）+doeξ?×Moeξ（h）]N′（1）eoη（-h）]r=a=0? ? ? ? ?（28）]

式（28）等效于以下兩個方程：

[er×[k1μ0Neoη（h）+Aeoηk1μ0N（1）eoη（h）+Boeηk1μ0M（1）oeη（h）-aeoξNeoξ（h）k2μ-k2μboeξMoeξ（h）]r=a=0]（29）? ? ? ?[er×[Ceoηk1μ0M（1）eoη（h）+Doeηk1μ0N（1）oeη（h）+k2μceoξMeoξ（h）+k2μdoeξNoeξ（h）+k1μ0Meoη（h）]r=a=0] （30）

對式（29）和（30）求解得：

[-η2μ0H（1）n（ηa）Aeoη+ξ2μJn（ξa）aeoξ=η2μ0Jn（ηa）±ihnH（1）n（ηa）aμ0Aeoη-k1μ0?H（1）n（ηa）?aBoeη?ihnJn（ξa）aμaeoξ+k2μ?Jn（ξa）?aboeξ=?ihnJn（ηa）aμ0η2μ0H（1）n（ηa）Doeη+ξ2μJn（ξa）doeξ=0-k1μ0?H（1）n（ηa）?aCeoη?ihnH（1）n（ηa）aμ0Doeη-k2μ?Jn（ξa）?aceoξ?ihnJn（ξa）aμdoeξ=k1μ0?Jn（ηa）?a]? （31）65E71114-E2A4-42E9-96FB-4A0F5E09D398

將式（26）和（31）分別寫成矩陣形式為：

[0-1k1η2H（1）n（ηa）01k2ξ2Jn（ξa）-?H（1）n（ηa）?a?ihnH（1）n（ηa）ak1?Jn（ξa）?a±ihnJn（ξa）ak2-η2μ0H（1）n（ηa）0ξ2μJn（ξa）0±ihnH（1）n（ηa）aμ0-k1μ0?H（1）n（ηa）?a?ihnJn（ξa）aμk2μ?Jn（ξa）?aAeoηBoeηaeoξboeξ=0?Jn（ηa）?aη2μ0Jn（ηa）?ihnJn（ηa）aμ0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（32）]

[-η2k1H（1）n（ηa）? ? ? ? ?0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ξ2k2Jn（ξa）? ? ? ? 0±ihnH（1）n（ηa）ak1? ? ? ?-?H（1）n（ηa）?a? ? ? ?ihnJn（ξa）ak2? ?Jn（ξa）?a0? ? ? η2μ0H（1）n（ηa）? ? ? ? 0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?ξ2μJn（ξa）-k1μ0?H（1）n（ηa）?a? ??ihnH（1）n（ηa）aμ0? ?-k2μ?Jn（ξa）?a? ??ihnJn（ξa）aμCeoηDoeηceoξdoeξ=1k1η2Jn（ηa）?ihnJn（ηa）ak10k1μ0?Jn（ηa）?a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （33）]

求解此矩陣方程就可獲得待定系數[A、B、C、D和a、b、c、d]的解[16]，將待定系數代入式（19）和（20），將式（19）和（20）再代入式（16）和（14）即可獲得介質圓柱的第三類電型并矢格林函數。

3? ? ?介質球電型并矢格林函數

介質球電型并矢格林函數為第三類，此時空間被球面分為兩個區域，即球的內部和外部。

假設：

[k1=ωμ1ε1r≥a]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（34）

[k2=ωμ2ε2r≤a]? ? ? ? ? ? ? ? （35）

若介質球置于空氣中，則[ε1=ε0，ε2=ε，μ1=μ2][=μ0]，[ε]表示介質球介電常數，一般情況下這些常數可以是任意的，不受任何限制。在球坐標系中自由空間并矢格林函數[Ge0（R，R′）]本征展開式為[15]：

[Ge0（R，R′）=-1k2RRδ（R-R′）+ik4πm，nCmnM（1）（k1）M′（k1）+N（1）（k1）N′（k1） R>R′M（k1）M′（1）（k1）+N（k1）N′（1）（k1）? ?R

依據散射基本理論假設：

[G（11）e（R，R′）=Geo（R，R′）+G（11）es（R，R′）? R≥a]? ? ? （37）

[G（21）e（R，R′）=G（21）es（R，R′）? ? ? ? ? ? ? ? ? R≤a]? ? ? ? ? （38）

因源被置于介質球的外部，故散射項可設為：

[G（11）es（R，R′）=ik14πm，nCmnAnM（1）（k1）M′（1）（k1）+BnN（1）（k1）N′（1）（k1）] （39）

[G（21）es（R，R′）=ik14πm，nCmnCnM（k2）M′（1）（k1）+DnN（k2）N′（1）（k1）] （40）65E71114-E2A4-42E9-96FB-4A0F5E09D398

在球面上第三類電型并矢格林函數應滿足以下邊界條件：

[[er×G（11）e]R=a=[er×G（21）e]R=a]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（41）

[[1μ1er×?×G（11）e]R=a=[1μ2er×?×G（21）e]R=a]? （42）

將式（39）和（40）代入式（41）和（42）得：

[[er×[ik14πm，nCmnM（k1）M′（1）（k1）+N（k1）N′（1）（k1）+ik14πm，nCmnAnM（1）（k1）M′（1）（k1）+BnN（1）（k1）N′（1）（k1）]]R=a=[er×ik14πm，nCmnCnM（k2）M′（1）（k1）+DnN（k2）N′（1）（k1）]R=a]? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（43）

[[1μ1er×?×[ik14πm，nCmnM（k1）M′（1）（k1）+N（k1）N′（1）（k1）+ik14πm，nCmnAnM（1）（k1）M′（1）（k1）+BnN（1）（k1）N′（1）（k1）]]R=a=[1μ2er×?×ik14πm，nCmnCnM（k2）M′（1）（k1）+DnN（k2）N′（1）（k1）]R=a? ? ? （44）]? ? ? ? 進一步推得：

[[er×[M（k1）+AnM（1）（k1）]]R=a=[er×CnM（k2）]R=a[er×[N（k1）+BnN（1）（k1）]]R=a=[er×DnN（k2）]R=a[k1μ1er×[M（k1）+BnM（1）（k1）]]R=a=[k2μ2er×DnM（k2）]R=a[k1μ1er×[N（k1）+AnN（1）（k1）]]R=a=[k2μ2er×CnN（k2）]R=a]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（45）

將[M（k1）、M（1）（k1）、M（k2）、N（k1）、N（1）（k1）、N（k2）]關系式代入式（45）得：

[jn（ρ1）+Anh（1）n（ρ1）=Cnjn（ρ2）k1μ1[ρ1jn（ρ1）′ρ1+Anρ1h（1）n（ρ1）′ρ1]=k2μ2[Cnρ2jn（ρ2）′ρ2]ρ1jn（ρ1）′ρ1+Bnρ1h（1）n（ρ1）′ρ1=Dnρ2jn（ρ2）′ρ2k1μ1jn（ρ1）+Bnh（1）n（ρ1）=Dnk2μ2jn（ρ2）]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（46）

此處，[ρ1=k1a，ρ2=k2a，]上標中撇號表示微商運算，上面四個方程可分為兩個代數方程組，解出系數便可得到介質球的第三類電型并矢格林函數[G（11）e（R，R′）]和[G（21）e（R，R′）]。

4? ? ?介質圓柱與介質球電型并矢格林函數求解比較分析

從式（19）和（20）可以看出，為了滿足介質圓柱面上的邊界條件，散射并矢格林函數包含了待定系數[Bη、Dη、bξ、dξ]的耦合項。這表明對于介質圓柱而言，一個入射的TE波（或TM波）將激勵出TE波和TM波同時存在的散射場。從式（19）和（20）還可看到一個偶性的[M]函數與一個奇性的[N]函數在[φ]分量上有相同的角函數，它們在散射或透射項并矢格林函數中起類似的作用，反之亦然。對于介質球，不必引入TE模（[M]描述）和TM模（[N]描述）之間的耦合項，而這種耦合對介質柱是必不可少的。在這兩個不同的邊值問題中，圓柱矢量波函數的領示矢量為[z]，而球矢量波函數的領示矢量為[R]，它們的特性是完全不同的。綜上所述，通過比較介質球與介質圓柱第三類電型并矢格林函數的求解過程，可以看到球形邊界情形是極其簡單的。

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