聯(lián)通融通變通，打造精準(zhǔn)高效的復(fù)習(xí)課堂
——以“因數(shù)和倍數(shù)”整理與復(fù)習(xí)為例

江蘇省無錫市經(jīng)開區(qū)東絳第二實驗學(xué)校 趙 紅

復(fù)習(xí)課是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要課型之一，而在日常教學(xué)活動中，教師往往更多地關(guān)注單元新授課的教學(xué)，對單元復(fù)習(xí)課或大單元的整理與復(fù)習(xí)課“敬而遠(yuǎn)之”，題海式、講練式的復(fù)習(xí)課屢見不鮮，究其原因：復(fù)習(xí)課的教學(xué)設(shè)計對教師的教材把握能力和整合能力要求更高，教師需要引導(dǎo)學(xué)生將平時相互割裂的知識點再現(xiàn)、梳理、整合、歸納……使之系統(tǒng)化、體系化，并通過組織高效的教學(xué)活動，幫助學(xué)生加深對知識的理解與內(nèi)化，積累解決問題的經(jīng)驗方法，實現(xiàn)學(xué)生思維品質(zhì)與學(xué)習(xí)能力的提升。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中明確提出：“數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，要注重知識的‘生長點’與‘延伸點’，把每堂課教學(xué)的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結(jié)構(gòu)和體系，處理好局部知識與整體知識的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性……”數(shù)學(xué)是一門具有嚴(yán)密知識結(jié)構(gòu)和邏輯體系的學(xué)科，每一個知識點都不是孤立存在的，而是處于一個聯(lián)通的整體體系之中。因此，教師在進行復(fù)習(xí)課教學(xué)時，首先，應(yīng)對復(fù)習(xí)課進行整體的“頂層”設(shè)計，借助知識之間的整體脈絡(luò)結(jié)構(gòu)，引領(lǐng)學(xué)生將碎片化的知識點串聯(lián)起來，構(gòu)建知識體系；其次，以學(xué)生思維和能力的發(fā)展為統(tǒng)領(lǐng)，對復(fù)習(xí)內(nèi)容進行全面系統(tǒng)設(shè)計，引導(dǎo)學(xué)生加強對數(shù)學(xué)方法的歸納總結(jié)，提煉學(xué)習(xí)策略，將數(shù)學(xué)思維進行融通；最后，通過具有針對性、綜合性和開放性的習(xí)題設(shè)計，幫助學(xué)生舉一反三，觸類旁通，提高其分析問題、解決問題的能力，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、精選素材，喚醒復(fù)習(xí)初認(rèn)知

“因數(shù)和倍數(shù)”單元涉及的知識點較多：因數(shù)和倍數(shù)，質(zhì)數(shù)和合數(shù)，公因數(shù)和公倍數(shù)，質(zhì)因數(shù)和分解質(zhì)因數(shù)……并且這些知識點之間的聯(lián)系比較隱蔽。而復(fù)習(xí)課的一大任務(wù)就是要將這些零散的知識點進行關(guān)聯(lián)，使學(xué)生形成知識體系，加深對概念的理解與認(rèn)識。因此，本課伊始，教師出示“1、4、5、9、12、23、36、45、51、60”這10個數(shù)，讓學(xué)生用“因數(shù)和倍數(shù)”單元的相關(guān)知識來描述這些數(shù)。這10個數(shù)囊括了“因數(shù)和倍數(shù)”單元的相關(guān)知識點，學(xué)生可以多角度、靈活地選擇數(shù)字進行表達。如：1、5、9是奇數(shù)，4、12是偶數(shù)；1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)；4和9是合數(shù)，5和23是質(zhì)數(shù)；5和9是45的因數(shù)，5也是45的質(zhì)因數(shù)；36是4和9的公倍數(shù)……溫故而知新，教師以10個數(shù)帶領(lǐng)學(xué)生回憶“因數(shù)和倍數(shù)”單元的相關(guān)知識，一些“點狀”的、熟悉的知識點逐漸在學(xué)生的腦海中一一浮現(xiàn)。

二、知識重組，梳理融通連體系

教學(xué)片段：

師：如果要把這10個數(shù)分一分類，同學(xué)們，你們想怎么分？

生：我想分成奇數(shù)和偶數(shù)。

師：按照這個同學(xué)的想法，我們一起來分一分，奇數(shù)有_____________ ，偶數(shù)有_____________ 。

師：把自然數(shù)分成奇數(shù)和偶數(shù)，分類的依據(jù)是什么？

生：按照是不是2的倍數(shù)來分，是2的倍數(shù)的數(shù)是偶數(shù)，不是2的倍數(shù)的數(shù)就是奇數(shù)。

師：你的思路很清晰。在研究了2的倍數(shù)以后，我們還研究了3、5的倍數(shù)特征。還記得它們的倍數(shù)特征嗎？

生1：個位上是0或5的數(shù)，就是5的倍數(shù)。個位上如果是0的話，那么這個數(shù)既是2的倍數(shù)又是5的倍數(shù)。

生2：判斷一個數(shù)是否是3的倍數(shù)，不可以只看個位上的數(shù)，要把各個數(shù)位上的數(shù)相加，看和是不是3的倍數(shù)。

師：同學(xué)們對于倍數(shù)的特征掌握得真不錯！剛才我們按照是不是2的倍數(shù)把這10個數(shù)分成了奇數(shù)和偶數(shù)，還可以怎么分類？

生：按照因數(shù)的個數(shù)，我把它們分為了質(zhì)數(shù)、合數(shù)和1。

師：為什么分為這三類？

生：因為質(zhì)數(shù)的因數(shù)只有1和它本身兩個因數(shù)；合數(shù)除了1和它本身以外還有其他的因數(shù)，至少有3個因數(shù)；而1最特殊，它的因數(shù)只有一個，就是1。

師：是呀，根據(jù)因數(shù)的個數(shù)也可以將自然數(shù)進行分類。這10個數(shù)中，哪些是質(zhì)數(shù)，哪些是合數(shù)呢？和同桌比一比，看看誰找得又快又準(zhǔn)確。

師：把這10個數(shù)進行分類，同學(xué)們從不同的角度進行聯(lián)想，從因數(shù)的角度思考，想到了可以把它們分為質(zhì)數(shù)、合數(shù)和1；從倍數(shù)的角度研究，又想到了奇數(shù)和偶數(shù)，繼而聯(lián)想到2、3、5的倍數(shù)特征。那么，關(guān)于因數(shù)和倍數(shù)，我們還要復(fù)習(xí)什么知識點呢？

生1：我覺得還要去找一個數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)。

生2：還找公因數(shù)和公倍數(shù)、最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。

生3：還有質(zhì)因數(shù)，把一個合數(shù)進行分解質(zhì)因數(shù)。

師：是的！給一個自然數(shù)，就可以找到它的因數(shù)和倍數(shù)；給兩個自然數(shù)，又可以找它們的公因數(shù)和公倍數(shù)。接下來，請同學(xué)們從這10個數(shù)中任意挑選一個數(shù)，列舉出它的因數(shù)和倍數(shù)；再任意挑選兩個數(shù)，用你喜歡的方法找一找它們的公因數(shù)和公倍數(shù)，以及最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。開始吧！

（學(xué)生自主活動。）

在本單元，“因數(shù)”和“倍數(shù)”是兩個關(guān)鍵概念，由它們可以衍生出一系列子概念和方法。教師以“點”帶“面”，以問題驅(qū)動引領(lǐng)學(xué)生自主梳理，通過讓學(xué)生將這10個自然數(shù)分一分類，由不同的分類依據(jù)，引出奇數(shù)和偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)和1。接著，從奇數(shù)與偶數(shù)的分類回溯到2的倍數(shù)特征，接著聯(lián)想到3和5的倍數(shù)特征，補充完善倍數(shù)這一分支的相關(guān)知識點。從質(zhì)數(shù)、合數(shù)出發(fā)，學(xué)生又可以聯(lián)想到質(zhì)因數(shù)與分解質(zhì)因數(shù)，實現(xiàn)小型知識體系的構(gòu)建，至此，學(xué)生腦海中的“因數(shù)和倍數(shù)”單元知識點的脈絡(luò)結(jié)構(gòu)已初具雛形。接著，教師啟發(fā)學(xué)生：“關(guān)于因數(shù)和倍數(shù)，我們還要復(fù)習(xí)什么知識點呢？”從而回歸到本單元的關(guān)鍵概念——因數(shù)和倍數(shù)，引發(fā)學(xué)生深入挖掘知識點之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)：因數(shù)與倍數(shù)有什么聯(lián)系？一個數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)有什么特征？什么是公因數(shù)和公倍數(shù)？怎樣找到兩個數(shù)的公因數(shù)和公倍數(shù)，以及最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)……在這樣的教學(xué)過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生主動將零散的知識點穿成串、結(jié)成網(wǎng)，從而打破各個概念間的孤立性，在縱橫關(guān)聯(lián)、聯(lián)通融通中把握數(shù)學(xué)概念，理清概念之間的關(guān)系脈絡(luò)，深化理解，形成對“因數(shù)和倍數(shù)”單元的整體把握。（如下圖）

三、梯度練習(xí)，問題解決拓思維

教學(xué)片段：

出示對比練習(xí)題組：

（1）如果把25塊水果糖和30塊奶糖分別平均分給一個組的同學(xué)，可以正好分完，那么這個小組最多有多少人？

（2）有一包糖果，如果7塊7塊地數(shù)正好數(shù)完，5塊5塊地數(shù)也正好數(shù)完，這包糖果有多少塊？

師：這樣兩道藏在糖果情境中的數(shù)學(xué)題目，你能解決嗎？先和同桌說一說，一起分析分析。

生1：第（1）小題把兩種糖果平均分給一個組的同學(xué)，如果正好分完，說明這個組的人數(shù)應(yīng)該既能被25整除，也能被30整除，既是25的因數(shù)又是30的因數(shù)，也就是25和30的公因數(shù)。

生2：我要補充，問題中有“最多”兩個字，那么應(yīng)該是要求這個數(shù)是25和30的最大公因數(shù)。

師：第一個同學(xué)說得很有條理，如果能思考全面就更好了！第（2）小題，你們知道這包糖有多少塊嗎？

生1：第（2）小題這個糖果的個數(shù)，應(yīng)該既是7的倍數(shù)又是5的倍數(shù)，就是找7和5的公倍數(shù)，7和5是互質(zhì)關(guān)系，這包糖果有35塊。

生2：我不同意，35是最小公倍數(shù)，但題目中沒有說最少有多少塊，答案不唯一，只要是7和5的公倍數(shù)都可以。

師：你真棒！思考得非常全面，正確分析問題才能有效解決問題。糖果店老板友情提示：這包糖果分給我們班同學(xué)的話，每人一塊肯定是夠的，但如果每人兩塊就不夠了。現(xiàn)在你們知道這包糖有多少塊了嗎？

生1：我們班42個人，每人一塊就是42塊糖，應(yīng)該要大于42。每人兩塊糖的話一共要84塊，但比84塊少才行，那就是在42和84之間的一個數(shù)。

生2：7和5的最小公倍數(shù)是35，每人一塊都不夠。下一個公倍數(shù)是70，每人一塊夠了，每人兩塊還不夠，這包糖可能有70塊。

師：你們的推理能力讓老師驚嘆，為你們點贊！那如果不夠正好分完呢，有沒有信心繼續(xù)挑戰(zhàn)？在小組內(nèi)交流，互相說說想法。

出示變式練習(xí)題：有一包糖果，7塊7塊地數(shù)還多4塊，5塊5塊地數(shù)又少3塊，這包糖果至少有多少塊？

生1：我們組是通過畫圖來表示的，第一幅圖是7個正方形為一組圈一圈，最后一組只有4個正方形。第二幅圖是5個正方形為一組，最后一組只畫了2個正方形。發(fā)現(xiàn)兩幅圖的最后一組和前面相比，都少了3個正方形。

生2：我們組是直接寫數(shù)字，777……4，555……2，最后的數(shù)字都是比前面數(shù)字少3。

生3：如果能夠正好分完就是7和5的最小公倍數(shù)35，但是最后一組都是少了3塊，所以只有32塊糖。

上面幾道練習(xí)題的設(shè)計，從學(xué)生熟悉的生活場景出發(fā)，以學(xué)生的整體發(fā)展為目標(biāo)，具有層次性、綜合性、探索性，滿足了不同層次學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，使學(xué)生的思維得到不同程度的拓展與延伸。在解決實際問題中，題中要求的是公因數(shù)還是公倍數(shù)，對于概念不清晰的同學(xué)來說難以分辨，通過第一組對比題，幫助學(xué)生加深對兩個概念的理解與辨析。在第（2）小題中又對公倍數(shù)和最小公倍數(shù)進行辨析，深化理解概念。在練習(xí)中加強變式，由糖果數(shù)量的不確定性到唯一性，由正好分完到有剩余或缺少，引導(dǎo)學(xué)生對比辨析、主動推理，思維含量逐漸加深，但仍處于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，這樣具有挑戰(zhàn)性的練習(xí)題更能激發(fā)學(xué)生的探究熱情。在練習(xí)環(huán)節(jié)，通過加強變式融通，使學(xué)生能夠更加全面、深刻地理解最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)，在厘清概念本質(zhì)的基礎(chǔ)上進行實際運用，學(xué)生分析問題和解決問題的能力得到提升，體會到了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，催生了高階思維。

在“因數(shù)和倍數(shù)”的整理與復(fù)習(xí)課中，教師緊緊圍繞10個數(shù)展開復(fù)習(xí)教學(xué)，使學(xué)生對因數(shù)、倍數(shù)的相關(guān)知識進行回顧再現(xiàn)、鞏固深化，學(xué)生頭腦中的知識從零散走向系統(tǒng)，從點狀走向結(jié)構(gòu)，提高了復(fù)習(xí)實效。通過層層遞進的練習(xí)設(shè)計，學(xué)生在掌握知識技能與方法的同時，學(xué)會了用數(shù)學(xué)的眼光看待問題、用數(shù)學(xué)的思維思考問題，提高了思維的靈活性和變通性，提升了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。