隨機激勵下液艙晃蕩數值模擬分析

姜勝超，徐博，王子豪

1 大連理工大學 船舶工程學院，遼寧 大連 116024

2 中國船舶及海洋工程設計研究院，上海 200011

0 引 言

晃蕩是一種非常常見的流體運動現象，通常發生在裝有部分液體的液艙中，如航行中的液貨船。當外界激勵的頻率接近液艙內液體振蕩的固有頻率，或是激勵的幅值非常大時，很容易引起液艙內液體的劇烈晃蕩，進而對艙壁或是艙頂產生強烈的沖擊壓力，從而造成結構破壞。晃動也具有重要的小尺度效應，如沖擊壓力、由氣液混合物及因流體黏度和旋渦流動引起的機械能耗散。另外，液體晃蕩與船舶運動之間還可發生強耦合。因此，了解液艙晃蕩的基本物理原理對海上作業和結構安全具有重要意義。

在理論研究方面，Faltinsen[1]提出了一種基于勢流理論的三階晃蕩模型的非線性分析方法，考慮了液艙大幅度運動的非線性效應。Faltinsen 和Timokha[2]完善了求解液體在有限液深矩形容器中非線性晃蕩的半解析方法。Zhang 等[3]基于勢流理論和攝動展開研究了三維液艙在縱蕩和橫蕩耦合激勵下的二階晃蕩問題，推導了理論解析解，發現當任意2 個激勵分量的和頻或是差頻等于其中一個固有頻率時，就會發生二階共振。高速計算機的發展和計算流體力學（CFD）技術的成熟為分析晃蕩運動提供了一種全新且高效的方法-數值模擬。Kim[4]建立了一個用于預測各種二、三維液艙沖擊發生情況的有限差分模型，并在液艙頂部附近采用一個特殊的緩沖區進行沖擊模擬，同時使用一個單值函數對晃動界面進行跟蹤。隨后，Kim 等[5]對該模型進行改進，將緩沖區擴展到罐頂附近的傾斜邊界，減輕了以往對網格分辨率和時間增量的敏感性。Biswal 等[6]采用有限元方法對帶有剛性隔板的二維矩形液艙中液體的非線性晃動響應進行了研究。Lu 等[7]針對有/無隔板矩形液艙內液體的晃動問題，建立了基于非慣性參考系的黏性流體模型，數值試驗結果表明，耗散效應對帶隔板液艙和無隔板液艙的晃動響應均有顯著影響。由于物理耗散的作用，與固有頻率相關的晃蕩響應分量最終可以被阻尼耗散掉，但它們卻完全保留在了勢流解析解中，這就解釋了勢流理論對晃動振幅的估計普遍過高的問題。Liu 和Lin[8]基于兩相流三維數值模型，研究了液艙晃蕩過程中的黏性阻尼作用。肖凱隆等[9]基于多液艙晃蕩和船舶運動耦合黏性流數值模型，對船舶橫搖激勵下的液艙晃蕩特性進行了研究，并提出了多液艙的二維模型簡化方法。

以上研究大多是針對規則激勵，鮮有針對隨機激勵下液艙晃蕩問題的研究，但相對于規則激勵，隨機激勵更接近于海上波浪等對液艙作用的不規則性。本文擬在介紹使用黏性數值模型和隨機激勵原理的基礎上，分析隨機激勵下液艙晃蕩的瞬態效應和時間敏感性，以及隨機激勵下譜峰頻率和幅值對液艙晃蕩的影響。

1 基本原理與數值方法

本文將主要基于STAR-CCM+軟件，開展強迫激勵下液艙晃蕩的數值模擬。考慮到不可壓縮黏性兩相流問題，因涉及網格運動，所以使用任意拉格朗日-歐拉（ALE）觀點的Navier-Stokes （N-S）方程為：

式中：ρ 為流體密度；xi，xj分別為i，j方向的位移分量；ui，uj分別為i，j方向的速度分量；uim為網格運動速度，指在i方向的速度分量；t為時間；μ為流體動力學黏性系數；fi為單位體積流體所受到的體積力，本文中僅為重力，取為9.81 m/s2。

為使模型能夠滿足波浪破碎時的模擬要求，采用流體體積（VOF）法捕捉自由水面運動。定義流體相函數φ為

其滿足ALE 觀點下的邊界面方程：

進而可確定兩相流的密度及動力黏性系數分布。

式中：ρw，ρa分別為水和空氣中的密度；μw，μa分別為水和空氣中的動力黏性系數。在進行數據處理時，取φ= 0.5 的等值線作為液體的自由水面。

對兩相流控制方程（式（1）～ 式（2））及邊界面方程（式（4））采用有限體積法（FVM）進行離散，其中，時間離散采用歐拉格式，散度和梯度計算分別使用Gauss Vanleer 和Gauss linear 格式，擴散項使用Gauss linear corrected 格式。N-S 方程的求解 采 用PISO （ pressure implicit with splitting of operators）方法[10]，其中，速度方程可直接采用代數方法求解，壓力方程則采用BI-CGSTAB[11]方法迭代求解。計算時，取容器頂蓋中的點為參考壓力點，設為0 Pa。

數值計算中，時間步長的選取需滿足CFL（Courant-Friedrichs-Lewy）條件（式（6）），可通過克朗數Cr進行自動選取。

式中，umax，vmax，wmax分別為x，y，z方向的最大速度分量。計算中，克朗數Cr原則上取為1.0 即可滿足CFL 條件要求，本文取Cr=0.20，用以保證自由水面做大振幅非線性運動時的計算精度。

2 數值模型的驗證

采用上述數值模型對水平激勵下矩形液艙內的流體晃蕩問題進行研究。數值模型設置25 000 個網格，其中靠近自由液面和艙壁的區域設置為加密區，數值模型網格最小尺寸為5 mm，最大尺寸為10 mm。為了驗證數值模型的正確性，對寬度W= 1 m、裝載水深d= 0.5 m 的矩形液艙晃蕩問題進行數值模擬，此時，液艙晃蕩自振頻率ω0= 5.316 rad/s，如圖1 所示，液艙受到正弦激勵作用：

圖1 矩形液艙幾何模型示意圖Fig. 1 Schematic diagram of rectangular tank geometry model

式中：A為激勵幅值；ω 為激勵頻率。

Faitinsen[12]的解析解以及Liu 和Lin[8]的數值結果均是在t= 0 時突然加速，并未使用緩沖函數。由于本節的目的是對本文數值模型進行驗證，因此在數值模擬中也采用了同樣的突然加速方法。選取工況1（A= 0.01 m，ω = ω0）和工況2（A= 0.000 4 m，ω = 0.95 ω0）這2 種激勵工況進行計算，并與Faitinsen 的解析解及Liu 和Lin 數值模擬結果進行了對比，結果如圖2 所示（圖中，η 為波面高度）。從中可以看出，3 種方法均吻合較好。

圖2 工況1 和工況2 下右艙壁波高歷程線比較圖Fig. 2 Comparison of the right bulkhead wave height at Case 1 and Case 2

進一步對液艙寬度W= 0.570 m、高度H=0.30 m、裝載水深d= 0.150 m 的情況進行研究，此時，液艙晃蕩自振頻率ω0= 6.058 rad/s。仍考慮液艙做正弦運動的情況，選取工況3（A= 0.005 m，ω = 0.583ω0）和工況4（A= 0.005，ω = ω0）這2 種情況進行研究，數值模擬結果仍與Faitinsen[12]的解析解及Liu 和Lin[8]的實驗與數值結果進行了對比，結果如圖3 所示。從圖3（a）中可以看出，對于非共振激勵情況，解析方法、實驗方法及數值結果與本文方法均吻合較好。對于共振激勵情況，如圖3（b）所示，可以看出在初始階段采用3 種方法所得結果幾乎重合，但隨著時間的推移，當t＞2 s 時，共振激勵條件下的實驗結果出現了明顯的波峰變高、波谷變坦的非線性自由水面特征，采用Liu 和Lin[8]的方法及本文數值方法可以對其進行準確描述，但解析解卻不行，說明采用非線性液艙晃蕩模型是有必要的。由上述對比可以發現，本文的數值結果與實驗結果吻合較好，說明了本數值方法的正確性，能夠進行下一步的數值模擬。

圖3 工況3 和工況4 下右艙壁波高歷程線比較圖Fig. 3 Comparison of the right bulkhead wave height at Case 3 and Case 4

3 隨機激勵的位移譜

仿照JONSWAP 波浪譜給出水平激勵的位移譜，即

其中：

式中：γ 為譜峰升高因子； σa， σb分別為譜峰左、右兩側的峰形參量；α 為Philips 參數；U為水面10 m高度處風速；k為常數，與譜峰升高因子對應；Hs為設計（有義）波高；X為風距，km；g為重力加速度，取9.81 m/s2；ωp為譜峰頻率。

自由液面波高歷時線可以由大量的正弦波線性疊加得到：

式中：ωi為i個線性正弦波的圓頻率；Nω為所有線性正弦波的數量；Ai，φi分別為每個線性波的波幅和相位（φi為隨機變量，均勻分布在0～2π 區間內）。其中，Ai可通過下式得到：

式中，Δω 為頻率間隔。由于高頻對產生的波沒有貢獻，故在一定頻率處截斷。

與上述隨機波浪的產生類似，將下式作為液艙的水平激勵，可以表示為

式中：x(t)為液艙受到的隨機水平激勵；Nω為所有線性余弦波的數量，本文取Nω=200，這足以描述液艙的隨機激勵位移。本節將以式（8）中的變量Hs和ωp作為參數來控制所產生隨機水平激勵的激勵幅值和譜峰頻率。

4 隨機激勵下的瞬態效應和時間敏感性

對于簡諧激勵，由于在初始時刻突然加入了激勵速度，會導致瞬態效應的產生，故在固有頻率處會產生晃蕩響應分量，從能量的角度分析，由于實際的物理耗散，固有頻率處的能量最終會被黏性阻尼耗散掉。因此，為了避免瞬態效應對數值模擬結果的影響，可以對激勵位移歷程線做緩沖函數的處理，使V(t)=v(t)·Rm（v(t) 為激勵速度，V(t)為處理后的激勵速度，Rm為緩沖函數），從而使艙內液體開始緩慢地晃動。

式中，Tm為緩沖時間（作用時間100 s），一般為周期的整數倍。

下面，將討論瞬態效應對隨機激勵的影響。選取工況1（ωp=0.1ω0，Hs=0.01d）和工況2（ωp=0.65ω0，Hs=0.01d）這2 組具有代表性的工況進行分析。圖4 所示為在工況1 的激勵條件下有/無緩沖函數處理的右艙壁波高歷時線對比圖。由圖中可以看出，經過緩沖處理的右艙壁波高緩慢增大，緩沖結束后2 條曲線的差別較大，主要表現為緩沖處理后波的周期明顯變大，說明此時液艙的晃蕩頻率發生了變化。進一步采用快速傅里葉變換（FFT）算法進行處理，得到右艙壁波高在100～500 s時間段的能量譜，如圖5 所示。由圖5（a）可以看到，對于未經緩沖處理的液艙，在激勵位移譜峰頻率所在的0～2 rad/s 范圍內，觀察到有一個寬峰，但該峰值的量級較小，不過在一階固有頻率處觀察到有一個明顯的峰值。對比圖5（b）發現，經過緩沖處理后的液艙僅在位移譜峰頻率所在的0～2 rad/s 范圍內觀察到有一個寬峰，這和圖5（a）類似，但在其他各階固有頻率處卻未出現峰值。這說明圖5（a）中一階固有頻率處出現的峰值是由瞬態效應導致的。

圖4 工況1 下右艙壁波高歷時線Fig. 4 Right bulkhead wave height history at Case 1

圖5 工況1 下右艙壁波高在100～500 s 時間段的FFT 譜分析Fig. 5 Fast Fourier transform power spectrum analysis of right bulkhead wave height during 100～500 s at Case 1

圖6 所示為在工況2 的激勵條件下有/無緩沖函數處理的右艙壁波高歷時線對比圖。進一步采用FFT 算法進行處理，得到右艙壁波高在100～500 s時間段的能量譜如圖7 所示。從圖7（a）中可以看到，對于未經緩沖處理的液艙，能量譜中出現了多個峰值，主要對應于液艙的各階固有頻率。值得注意的是，一階固有頻率處的峰值遠大于其他各處，在能量譜中占據主導地位。經對比圖7（b）發現，經過緩沖處理后的液艙其各階固有頻率處的峰值均大幅降低，說明圖7（a）中過高的峰值是由瞬態效應所導致，致使固有頻率處對應的晃蕩響應分量偏大。

圖6 工況2 下右艙壁波高歷時線Fig. 6 Right bulkhead wave height history of Case 2

圖7 工況2 右艙壁波高100～500 s 時間段FFT 譜分析Fig. 7 Power spectrum analysis of right bulkhead wave height during 100～500 s at Case 2

通過對比圖8(a) ～圖8 (d)中的數值模擬結果可以發現，經過緩沖處理后，液艙在緩沖結束后外部激勵頻率 ωe處的峰值隨著時間的推移其能量級的大小保持相同，說明達到了穩定階段，而未經緩沖處理的液艙則需要經過更長時間的物理耗散才能消除瞬態效應的影響，最終只保留了激勵頻率 ωe處的晃蕩響應分量。

圖8 不同時間段的能量譜對比Fig. 8 Energy spectrum comparison at different time periods

通過以上分析可以發現，瞬態效應對隨機激勵的液艙晃蕩影響較大，尤其是對于激勵頻率遠離固有頻率的工況，瞬態效應會在各階固有頻率處激起較大的峰值，而由于一些峰值的量級與未經過緩沖處理的相比差異較大，會影響進一步的分析，因此對于隨機激勵的模擬，對激勵位移歷時線進行緩沖函數處理十分有必要。

由于隨機激勵的隨機性，隨著時間的推移，可能會對液艙晃蕩的能量和運動造成影響，因此同簡諧激勵相比，需要進行更長時間的數值模擬才能得到穩定、可靠的分析結果。但過長的模擬時間也意味著計算資源的浪費，因此有必要分析隨機激勵下的時間敏感性以確定合理的模擬時間。不考慮緩沖處理的前100 s，將1 300 s 的數值模擬結果分為100～500 s，500～900 s，900～1 300 s 三段，分析時間對隨機激勵的影響。對3 組工況下不同時間段右側艙壁波高歷時曲線概率密度圖進行對比，結果如圖9～圖11 所示。由圖可以看出，3 個時間段的概率密度圖基本符合高斯分布曲線，高斯分布位置函數為ζ(t) = 0，即靜止波面處。而且通過對比，還發現概率密度圖的區間和概率分布近似一致，這說明不同時間段的隨機激勵模擬結果具有相同的分布規律。

圖9 右艙壁波高概率密度分布圖（ω p=0.65ω0 ， Hs=0.01d ）Fig. 9 Probability density distribution of right bulkhead wave height (ω p=0.65ω0 ， Hs=0.01d )

圖10 右艙壁波高概率密度分布圖（ω p=ω0 ， Hs=0.01d ）Fig. 10 Probability density distribution of right bulkhead wave height (ω p=ω0 ， Hs=0.01d )

圖11 右艙壁波高概率密度分布圖（ω p=1.5ω0 ， Hs=0.01d ）Fig. 11 Probability density distribution of right bulkhead wave height (ω p=1.5ω0 ， Hs=0.01d )

又由表1 所示可以看出，在3 種有代表性的頻率下，3 個時間段的平均幅值Aave和對應的周期T均十分接近，因此，模擬500 s 時的結果進行分析是合理、可靠的，后文的分析都將在該時間段內。

表1 振幅周期統計分析Table 1 Statistical analysis of amplitude and period

5 隨機激勵譜峰頻率分析

圖12 所示為不同譜峰頻率下的右艙壁波高歷時線，激勵幅值均設置為Hs=0.01d。從圖中可以看出，隨機激勵的隨機性波高歷時線呈現出明顯的非線性，這與簡諧激勵有所不同。因此，將進一步對波高歷時線進行快速傅里葉變換，以分析隨機激勵下不同譜峰頻率的液艙晃蕩。

圖12 右艙壁波高歷時線 (Hs = 0.01d)Fig. 12 Right bulkhead wave height history (Hs = 0.01d)

采用圖1 所示液艙模型，首先考慮3 種工況，即ωp分別 為0.1ω0(0.53 rad/s)，0.35ω0(1.86 rad/s)和ω0(5.31 rad/s)，激勵幅值統一設置為Hs= 0.01d。右艙壁波高的能量譜如圖13 所示。從圖13（a）中可以看出，在0～2 rad/s 頻率范圍內出現了一個寬峰，但該峰值的量級較小，結合激勵位移能量譜可知，該峰值正好位于譜峰頻率附近，處在主能量范圍內。值得注意的是，在一階固有頻率處未出現峰值，這和以往關于隨機激勵的結論不同，可能的原因是以往關于隨機激勵的研究沒有排除瞬態效應的影響，導致對固有頻率處的晃蕩響應估計過高。從圖13（b）中可以看出，在一階固有頻率處有一個較大的峰值，在二階和三階固有頻率ω1，ω2處也可以看到2 個較小的峰值。這是因為上述工況的激勵譜峰頻率ωp比ω1和ω2更接近于ω0，所以ω0處的峰值對能量貢獻最大。通過對比發現，隨著ωp的增大，激勵頻率處的峰值消失，在各階固有頻率處出現了較大的峰值，且一階固有頻率處的峰值占據主導地位；同時，在其他頻率處也出現了明顯的峰值，如在一階固有頻率的1.5 倍和2 倍處，當ωp逐漸接近一階固有頻率時，各處的峰值均明顯增大，艙內液體晃蕩得越來越劇烈。最終，當ωp= ω0時，會發生共振現象。

為進一步研究更高的譜峰頻率ωp對響應能量譜的影響，選取1.35ω0(7.17 rad/s)，1.65ω0(8.76 rad/s)和ω1(7.83 rad/s)這3 個譜峰頻率模擬了隨機激勵下的艙內液體晃動問題。右艙壁波高的能量譜如圖14 所示。從圖中可以看出，二階固有頻率處的峰值是逐漸增大的，當峰值頻率增大至接近二階固有頻率時，該處的峰值在能量譜中占主導地位。與此相反的是，一階頻率處的峰值是隨著譜峰頻率ωp的增大而逐漸減小的。據此可以預測，ωp接近哪一階的固有頻率，該頻率處的峰值就將占主導地位。在圖14 (a)中，峰值頻率處于ω0和ω1之間，但更接近于ω0，所以在2 個固有頻率處有2 個大的峰值，其中ω0處的峰值更大一點。從圖中還可以看出，峰值也會出現在一階固有頻率的1.5 倍或2 倍處。通過對比圖13（c）和圖14（c）可以發現，當ωp= ω0時響應能量譜峰值的量級更大，因此同ωp= ω1相比，ωp= ω0時艙內液體的晃蕩將更加劇烈和危險。然而，當ωp= ω1或是更高譜峰頻率激勵時，可能會引起艙內液體的高頻振動。

圖13 右艙壁波高能量譜（ω p ≤ω0 , Hs=0.01d）Fig. 13 Power spectrum of right bulkhead wave height (ω p ≤ω0 , Hs=0.01d)

圖14 右艙壁波高能量譜（ω p ＞ω0 , Hs=0.01d）Fig. 14 Power spectrum of right bulkhead wave height (ω p ＞ω0 , Hs=0.01d)

6 隨機激勵幅值分析

圖15 所示為固定譜峰頻率ωp= ω0，激勵幅值分別為Hs=0.002d，0.006d，0.01d時得到的3 種激勵幅值下的右艙壁波高歷時線對比。從圖中可以看到，隨著激勵幅值的逐漸增大，出現了波峰變尖、波谷變坦的非線性現象，這和簡諧激勵時增大激勵幅值觀察到的現象相同。值得注意的是，在譜峰頻率ωp= ω0下對液艙持續激勵，由于輸入的位移是隨機分布的，故輸出的波高沒有出現持續增大的共振現象。

圖15 右艙壁波高歷時線 (ωp = ω0)Fig. 15 Right bulkhead wave height history (ωp = ω0)

在隨機晃動問題的數值模擬中，由于波和力隨時間的變化非常復雜，因此要得到非常準確的概率密度和能量譜結果很困難。但若隨機激勵的模擬時間合理，仍可以觀察到一些普遍的現象，并得到有意義的結果。模擬中存在的非線性效應，甚至是在共振頻率上存在的隨機相位，都表明隨著有義激勵幅值的增加，輸出的結果在分布上很可能會表現出非平穩趨勢。圖16 所示為Hs= 0.01d時右艙壁波高的概率密度分布圖。從圖中可以看出，對應的波高歷程線上有一個較小的波谷極小值η = -18Hs和較大的波峰極大值η = 30Hs，因此它不是關于靜止水面上下對稱的，從圖中可以看到，它是非高斯分布的。結合上面的分析可知，輸出響應在本質上并非與輸入激勵線性對應，這種偏離高斯行為的情況是合理的。由于與隨機平穩過程存在一些大致相似的特征，因此可以對偏差進行量化處理。

圖16 右艙壁波高概率密度分布圖（H s=0.01d）Fig. 16 Probability density distribution of right bulkhead wave height ( H s=0.01d)

根據前面的分析，非線性隨機晃蕩響應曲線具有更陡的波峰和更平坦的波谷，這就決定了其分布不同于線性隨機波，因其偏離了高斯（正態）分布。對于線性波，波高或水動力的偏差應該為0。為了說明晃動波或水動力的非線性是如何影響所述偏差大小的，本文計算得到了3 個不同激勵幅值Hs下的波高和水動力的標準差，以此分析非線性對偏差的影響。右艙壁波高和水平力的標準差如表2 所示。從中可以看出，隨著Hs的增加，波高和力的偏移趨勢隨之增大，說明非線性越強，偏移越大。值得注意的是，這種增長似乎與Hs呈線性相關的趨勢。進一步的分析表明，輸出響應結果表現出了線性緩慢變化的非平穩過程特征。

表2 標準差統計分析Table 2 Statistical analysis of standard deviation

對于非線性響應，響應結果分布是不關于平均水線對稱的，可以采用偏離度λ3來描述這種不對稱。

式中：n為總的計算時間內的樣本數量； σ為標準差；ηi為第i個時間點的波高；為所有波高的平均值。就線性波而言，其偏離度為0。這里，將以上面的3 個算例為例，通過計算Hs= 0.002d，0.006d，0.01d得到其對應的偏離度分別為0.063，0.115，0.283，這表明隨著晃蕩響應的非線性增強，波峰和波谷會越來越不對稱。

根據矩形液艙的固有頻率計算公式，可以計算得到液艙的一、二階固有頻率分別為5.31 和7.83 rad/s。采用FFT 算法對上述3 個算例的右側艙壁波高進行處理，得到對應的能量譜如圖17 所示。從中可以明顯地看到，在一階固有頻率附近出現了一個非常明顯的窄峰，此外還觀察到有一個小得多的峰值出現在二階固有頻率處，其幅度至少低了一個數量級，在三階固有頻率附近還出現了一個更小的峰值。嚴格來說，在第i（i= 4，5，···）階頻率上也應該有相應的峰值。這些后續的峰值在目前的圖中無法觀察到，因為它們不在激勵譜的主要能量范圍內，其峰值的量級非常小，比一階固有頻率小了幾個數量級。值得注意的是，在一階和二階固有頻率范圍內同樣也出現了一些峰值，如1.5ω0處。此外從圖中還可以觀察到，在一階固有頻率的2 倍處（10.62 rad/s）有一個明顯的峰值，這可能是因為Hs的增加導致了非線性的增強。由上述結果可以推斷，能量主要集中在一階固有頻率附近的窄帶內。對比圖17（a）～圖17（c）可以看出，隨著激勵幅值Hs的增加，對應峰的峰值也會增大。

圖17 右艙壁波高能量譜Fig. 17 Power spectrum of right bulkhead wave height

7 結 論

本文以無隔板液艙為研究對象，首先對所采用液艙的數值模型以及隨機激勵數值模擬的前處理、數值計算和后處理分析過程予以介紹，接著分析瞬態效應對隨機激勵的影響，并進一步進行時間敏感性分析，研究了時間對隨機激勵的影響，最后在此基礎上研究了隨機激勵幅值和隨機激勵譜峰頻率對隨機響應的影響，主要得到如下結論：

1） 瞬態效應對隨機激勵的液艙晃蕩影響較大，尤其是對于激勵頻率遠離固有頻率的工況，瞬態效應會在各階固有頻率處激起較大的峰值，其中一些峰值的量級和未經過緩沖處理的相比差異較大，這會對進一步的分析產生影響。因此，對于隨機激勵的模擬，尤其是對激勵頻率遠離固有頻率的工況，對激勵歷時線進行緩沖函數處理非常有必要。

2） 隨機激勵譜峰頻率的研究表明，當激勵譜峰頻率從低頻向高頻移動時，在遠離固有頻率工況下，在激勵譜峰頻率范圍內會出現一個峰值，而非出現在固有頻率處；隨著譜峰頻率的增大，激勵頻率處的峰值會消失，而在各階固有頻率處則會出現較大的峰值，并且一階固有頻率處的峰值將占據主導地位；當譜峰頻率遠離一階固有頻率向更高頻移動，在接近第i階固有頻率時，該頻率處的峰值將占據主導地位。

3） 隨機激勵幅值的研究表明，隨著激勵幅值的逐漸增大，會出現波峰變尖、波谷變坦的非線性現象，較強的非線性波將導致概率密度相對于平均水線更加不對稱，這表明隨著波非線性的增強，概率密度將逐漸偏離正態分布；隨著激勵幅值的逐漸增大，還將導致能量譜中的峰變得更大，更多的峰出現在固有頻率處，甚至是固有頻率的2 倍處。因而非線性的強弱可以用標準差和偏離度來定量描述。