基于BP 神經網絡的I 型金屬夾芯板極限強度預測

衛鈺汶，仲強，王德禹

上海交通大學 海洋工程國家重點實驗室，上海 200240

0 引 言

在現代化船舶設計中，為使船舶能夠裝載更多的貨物，增加其經濟性，并使得船體結構能在保證應有性能的同時降低自身重量，對船舶輕量化提出了更高的要求。I 型金屬夾芯板與傳統的加筋板結構相比，在疲勞、耐撞擊、抗爆炸沖擊、減振降噪等方面具有優良的性能[1]，在海洋工程領域得到越來越多的關注。美國海軍軍艦的天線平臺[2]、德國渡船和游船的甲板[3]等處都應用了金屬夾芯結構。

有學者針對金屬夾芯板的強度問題已展開研究。李政杰等[4]采用非線性有限元法對單軸壓縮下I 型金屬夾芯板、U 型金屬夾芯板和加筋板的極限承載能力進行了對比分析，為金屬夾層板面內承載性能研究提供了參考。洪婷婷等[5]采用非線性有限元法對金屬夾層板在組合載荷作用下的極限承載能力進行了數值模擬，證明與傳統加筋板相比，所設計的金屬夾層板具有更好的極限承載能力。王果等[6]從建模方式、單元類型、網格尺寸、加載速率、初始缺陷等方面對夾層板面內連接結構進行了研究。Kozak[7]給出了鋼夾芯板在面內載荷作用下的試驗實例和數值模擬結果，并對其進行了比較，結果顯示金屬夾層板的截面幾何性質對其在面內載荷下的響應影響較大。朱揚等[8]提出了夾層甲板板格結構強度計算的子模型方法并進行了驗證，結果顯示所提方法可以較為準確地評估結構強度特性。

近年來，人工神經網絡由于其高度并行、容錯性等優點， 被廣泛應用于結構可靠性、強度預測等研究領域。Mesbahi 等[9]采用人工神經網絡方法對單軸壓縮下的加筋板極限強度公式進行預測，并與已有的經驗公式進行比較，發現采用神經網絡預測方法得到的結果比采用經驗公式所得結果更加準確。王仁華等[10]運用神經網絡方法對隨機點蝕損傷鋼板的極限強度進行了分析，結果顯示預測結果與有限元分析結果的最大相對誤差小于10%。Ahmadi 等[11]采用人工神經網絡對帶有中心縱向裂紋的腐蝕鋼板進行極限強度預測，得到了其在不同幾何和物理條件下的極限強度預測方程。Tohidi 等[12]利用人工神經網絡建立了一種新的有效的模型來預測半貫通工字形截面橋梁的屈曲強度，研究證明與規范相比其估計效果更好。

綜上所述，盡管針對I 型金屬夾芯板的極限強度研究已有部分進展，但對其極限強度的評估尚不完善，并且對于不同幾何條件下I 型金屬夾芯板的極限強度還缺乏預測公式。因此，本文將主要研究不同幾何條件下I 型金屬夾芯板的極限強度，利用非線性有限元軟件ABAQUS 對I 型金屬夾芯板受面內軸向壓縮載荷時的極限強度進行計算分析，同時利用BP 人工神經網絡方法建立極限強度預測方程，以為I 型金屬夾芯板在船體結構中的應用提供參考。

1 非線性有限元分析

1.1 幾何尺寸和材料參數

本文所研究I 型金屬夾芯板的結構示意圖如圖1 所示，其由上、下面板和I 型腹板組成。I 型金屬夾芯板的主要參數包括：上下面板厚度tp，腹板厚度tw，腹板高度hw，腹板間距dw、I 型金屬夾芯板寬度c、橫梁間距a、屈曲半波數e及屈服強度σY，如表1 所示，尺寸的選取范圍參考文獻[13-16]。所有有限元模型材料的楊氏模量E=206 GPa，泊松比μ=0.3，不考慮材料硬化的影響。在后文的分析中，選取了3 種不同屈服強度的材料，分別為235，315 和390 MPa。

圖1 I 型金屬夾芯板結構示意圖Fig. 1 Schematic diagram of I-core sandwich panels

表1 I 型金屬夾芯板幾何尺寸和材料參數Table 1 Geometrical size and material parameters of I-core sandwich panels

1.2 邊界條件

研究了3 種模型范圍下I 型金屬夾芯板結構的極限強度，如圖2～圖4 所示：縱向三跨（有實際強構件）、縱向1/2+1+1/2 跨（邊界條件代替強橫梁）、縱向單跨（邊界條件代替強構件）。

縱向三跨（有實際強構件）模型的強橫梁選擇實際船舶的強橫梁尺寸，如圖2 所示，即腹板高380 mm，腹板厚12 mm，面板寬160 mm，面板厚14 mm。邊界條件如表2 所示，其中Ux，Uy，Uz為線位移，Rx,Ry,Rz為轉角位移。模型的縱向邊界分別為A1-A2，A1'-A2'，B1-B2，B1'-B2'；C1-D1，C2-D2，G1-H1，G2-H2 為強橫梁面板的橫向邊界；E1-F1，E2-F2，J1-K1，J2-K2 為強橫梁腹板的橫向邊界。

圖2 縱向三跨（有實際強構件）模型示意圖Fig. 2 Schematic diagram of longitudinal 3 spans model with actual strong members

表2 縱向三跨（有實際強構件）模型的邊界條件Table 2 Boundary condition of longitudinal 3 spans model with actual strong members

縱向1/2+1+1/2 跨（邊界條件代替強橫梁）模型示意圖如圖3 所示，其邊界條件如表3 所示。該模型借鑒了文獻[17]的邊界條件分析方法，加載邊采用的是對稱邊界條件，并采用約束垂向位移和y方向的轉角來代替實際強構件。圖中，K1-K2，L1-L2 表示強橫梁所在位置。

表3 縱向1/2+1+1/2 跨（邊界條件代替強橫梁）模型的邊界條件Table 3 Boundary condition of longitudinal 1/2+1+1/2 spans(boundary conditions instead of strong beams) model

圖3 縱向1/2+1+1/2 跨（邊界條件代替強橫梁）模型示意圖Fig. 3 Schematic diagram of longitudinal 1/2+1+1/2 spans (boundary conditions instead of strong beams) model

縱向單跨（邊界條件代替強構件）模型示意圖如圖4 所示，其邊界條件如表4 所示。

圖4 縱向單跨（邊界條件代替強構件）模型示意圖Fig. 4 Schematic diagram of longitudinal 1 span (boundary conditions instead of strong members) model

表4 縱向單跨（邊界條件代替強構件）模型的邊界條件Table 4 Boundary condition of longitudinal 1 span (boundary conditions instead of strong members) model

在3 種模型范圍下，采用有限元分析得到的載荷-端縮曲線如圖5 所示。認為載荷-端縮曲線最高點所對應的載荷值為極限載荷，極限載荷除以I 型金屬夾芯板截面面積所得到的平均應力定義為極限強度 σu。 圖中， δ/L為端縮長度 δ與I 型金屬夾芯板長度L之 比， σu/σY為極限強度 σu與屈服強度 σY之比，其中L在圖2、圖3、圖4 中分別為l1，l2和l3。從圖5 中可以看出，縱向三跨（有實際強構件）與縱向1/2+1+1/2 跨（邊界條件代替強橫梁）這2 種模型范圍的 σu/σY幾乎一致，綜合考慮計算精度與計算成本，選擇縱向1/2+1+1/2 跨（邊界條件代替強構件）模型范圍為本文計算模型。

圖5 不同模型范圍下I 型金屬夾芯板軸壓下載荷-端縮曲線對比Fig. 5 Comparison of load-deformation curves for I-core sandwich panels under axial compression with different range of models

1.3 初始幾何缺陷

任何結構不可避免地都會存在一定的初始缺陷，而結構的初始缺陷對其破壞模式和極限承載能力有著很大的影響。I 型金屬夾芯板的初始變形形狀以下面3 種形式給出：包括上下面板單元的初始變形、芯層腹板單元的初始變形以及結構整體的初始變形。本文采用MSC Patran 軟件對加筋板模型添加初始缺陷，上面板施加如式（1）所示的初始變形，下面板施加如式（2）所示的初始變形，芯層腹板施加如式（3）所示的初始變形，結構整體施加如式（4）所示的初始變形。

1.4 收斂性分析

網格大小分別選取芯層腹板高度的1/8，1/4，1/2 和1 倍進行分析。不同網格密度下的I 型金屬夾芯板數值計算結果如表5 所示。

表5 不同網格密度下的I 型金屬夾芯板數值計算結果Table 5 Numerical results of I-core sandwich panels with different mesh densities

由表中計算結果可以看出，與更精密的網格密度相比，網格大小為1/4hw時已經可以給出一個合理的結果，因此，后文的有限元分析將采用1/4hw網格密度。

1.5 仿真技術與結果驗證

本文使用商業軟件ABAQUS 進行非線性有限元分析，采用S4R 四節點殼單元類型建模,采用弧長法(Riks method)進行計算分析。弧長法是目前結構非線性分析中數值計算最穩定、計算效率最高且最可靠的迭代控制方法之一，能夠有效分析結構非線性前、后屈曲及跟蹤屈曲路徑。

在進行大量的極限強度有限元分析之前，為了驗證本文所采用非線性有限元技術及計算結果的準確性，根據已有的I 型金屬夾芯板結構試驗結果[7]進行了仿真計算。仿真模型的尺寸為：I 型金屬夾芯板長3 000 mm，寬500 mm，上下面板厚度3 mm，芯層腹板高60 mm，芯層腹板間距80 mm。材料為理想彈塑性材料，屈服強度為235 MPa，施加1.3 節所述的初始幾何缺陷。受到平行于芯層腹板方向的面內載荷。I 型金屬夾芯板的載荷-端縮曲線如圖6 所示，其強度峰值誤差約3.67%，端縮誤差約0.007 5%，有限元模擬結果與文獻[7]結果的曲線吻合良好，失效模式也與試驗結果類似（圖7）。因此，本文采用的有限元分析方法對于后續的模擬計算是適用且合理的。

圖6 I 型金屬夾芯板軸壓下載荷-端縮曲線對比Fig. 6 Comparison of load-deformation curves for I-core sandwich panel under axial compression

圖7 模型試驗與有限元仿真失效模式對比Fig. 7 Comparison of the failure mode by the FE analysis and model test

2 BP 神經網絡結構

人工神經網絡具有較強的預測復雜系統輸出的能力，BP 神經網絡又稱反向傳播神經網絡，是一種應用較為廣泛的神經網絡模型，具有高度非線性和較強的泛化能力。BP 神經網絡包括3 個層：輸入層、隱藏層和輸出層，每層都含有數個神經元。BP 神經網絡通過多層神經元的方式對輸入數據進行處理，當給定一個學習模式的網絡后，神經元的激活值將從輸入層經過隱藏層傳向輸出層，輸出層的神經元輸出對應于輸入層神經元的響應；為了達到降低實際輸出值與期望輸出值誤差的目的，又將誤差信號從輸出層傳向隱藏層然后再傳向輸入層，以調整連接權重，從而使訓練結束后輸出的預測值與希望得到的預測值誤差較小。

本文所采用神經網絡結構中的輸入層包含3 個神經元，分別為面板柔度系數βp，腹板柔度系數βw和含單個腹板的梁柱柔度系數λ，分別由下式表示：

式中：I為含單個腹板且包括相關面板的截面慣性矩；A為含單個腹板且包括相關面板的截面面積。

輸出層包含1 個神經元，表示極限強度與屈服強度之比 σu/σY。Matlab 常用的訓練函數有Trainlm，Traingd，Traingdm，Traingda，Traingdx。為了選取合適的訓練函數，本文通過輸入訓練樣本，設定隱藏層有9 個神經元，設置最大訓練次數為1 000，訓練精度為0.002 0。比較不同訓練函數下的訓練結果以選取最優訓練函數，如表6 所示。

表6 中的迭代精度為迭代次數結束后的均方差，不管是從迭代次數還是迭代精度來看，Trainlm都是最優的訓練函數。

表6 不同訓練函數的訓練效果對比Table 6 Performance comparison of different training function

采用單個或兩個隱藏層以及不同神經元下的網格進行訓練，結果如表7 所示。在17 個訓練模型中，綜合考慮迭代次數和迭代精度，可以看出采用單個隱藏層且神經元個數為9 時最優，因此確定本網絡為單個隱藏層且隱藏層節點數為9。

表7 不同隱藏層層數及神經元個數的訓練效果對比Table 7 Performance comparison of different number of neurons

最終確定本文采用的3 層BP 神經網絡拓撲結構為3-9-1，如圖8 所示。其中，層與層之間通過權值w和偏置b連接，同一層之間的神經元無連接。選用Trainlm 函數進行訓練，最大訓練步數為1 000，目標誤差為0.002 0。

圖8 預測I 型金屬夾芯板極限強度與屈服強度比的BP 神經網絡結構Fig. 8 Architecture of BP neural network for prediction of ultimate strength to yield strength ratio of I-core sandwich panels

隱藏層的傳遞函數選擇logsig 函數，其基本表達式為

隱藏層中第j個神經元的輸入為

式中：wi j為 輸入層與隱藏層之間的權重；bj為輸入層與隱藏層之間的偏置；n為輸入層神經元個數；xi為第i個輸入神經元的值。隱藏層中第j個神經元的輸出為

輸出層的傳遞函數選擇purelin 函數，其基本表達式為

輸出層的輸入值為

式中：wjk和bk分別為隱藏層與輸出層之間的權重和偏置；m為隱藏層神經元的個數。

輸出層的輸出值為

誤差信號反向傳播，權值根據誤差從后向前逐層進行修正，通過不斷更新權值實現網絡的更新：

式中：t為迭代次數；error為期望輸出與實際輸出之差； η為學習率；youtput為神經元的輸出值。

為了衡量BP 神經網絡運算結果的準確性，采用均方差MSE和相關系數R對運算結果進行評估：

式中：q為數據個數；youtputpredicted為輸出的預測值；youtputdesired為希望得到的預測值。相關系數R表示預測值與真實值的相關程度，其值越接近于1，代表網絡預測的準確性越高。本文采用252組數據集作為BP 神經網絡工作的數據庫，表8列出了其中部分數據。

表8 有限元仿真結果Table 8 The results of FE simulation

在進行分析之前，由于輸入數據的取值范圍存在明顯差異，為了消除量綱的影響，需要對初始輸入數據進行歸一化處理。本文將數據庫進行了歸一化并使其在區間[0，1]范圍內：

式中：D為數據集中的一組數列；min(D) 為這組數列中的最小值；max(D) 為這組數列中的最大值；xn為待歸一化的值；x為歸一化后的值。

將數據庫中的數據集隨機分成訓練數據集（training set）、驗證數據集（validation set）和測試數據集（testing set），分別占總數據集的70%，15%和15%，各個集之間相互獨立。其中訓練數據集用來進行模型的訓練；驗證數據集用于對訓練好的模型進行驗證，以檢驗模型在新的數據中是否表現良好，從而便于對模型的超參數進行調整；測試集用來對該神經網絡模型進行最后的評估。

3 結果與討論

3.1 數值結果

表8 列出了252 個I 型金屬夾芯板中的部分結構在面內軸向壓縮載荷下由有限元仿真得到的σu/σY結果。由表可見，所有I 型金屬夾芯板的面板柔度系數βp均在0.67～3.51 之間，腹板柔度系數βw均在0.16～1.76 之間，梁柱柔度系 數λ 在3.00～9.40 之間。

3.2 BP 神經網絡運算結果

如第2 節所述，設計了3 層BP 神經網絡拓撲結構3-9-1，并對不同βp，βw和λ 下I 型金屬夾芯板受面內軸向壓縮載荷下的極限強度進行了預測。圖9～圖12 分別為訓練集、驗證集、測試集及全部集中 σu/σY的期待值與預測值的相關圖。從中可以看到，所有數據都位于x=y曲線附近，其中測試集的相關系數R=0.981 8，具有高度的相關性，吻合度良好。

圖9 訓練集中σ u/σY的期待值與預測值的相關圖Fig. 9 Correlation between the expected data and predicted outputs for σ u/σY in training set

圖10 驗證集中σ u/σY的期待值與預測值的相關圖Fig. 10 Correlation between the expected data and predicted outputs for σ u/σY in validation set

圖11 測試集中σ u/σY的期待值與預測值的相關圖Fig. 11 Correlation between the expected data and predicted outputs for σ u/σY in testing set

圖12 全部集中σ u/σY的期待值與預測值的相關圖Fig. 12 Correlation between the expected data and predicted outputs for σ u/σY in whole set

圖13 所示為測試集中 σu/σY的期待值、預測值以及兩者之間的誤差值。在測試集的38 組數據中，期待值和預測值之間的最大誤差為0.082 2，均方差MSE為0.001 2。可見，本文采用的BP 神經網絡結構預測性能良好。

圖13 測試集中σ u/σY的 期待值與預測值間誤差Fig. 13 Error between the expected data and predicted outputs for σu/σYin testing set

基于BP 神經網絡的權值與誤差，提出了不同βp，βw和λ 下I 型金屬夾芯板結構軸向面內壓縮載荷下的極限強度預測方程。

其中，

G可用下式表示：

式（20）～式（22）中的參數值如表9 所示，其中k，j，i分別表示輸出層、隱藏層、輸入層的第k，j，i個神經元。

表9 I 型金屬夾芯板極限強度預測方程參數值Table 9 Parameter values of prediction equation for ultimate strength of I-core sandwich panels

3.3 BP 神經網絡模型驗證

表10 列出了20 個用于檢驗BP 神經網絡模型的I 型金屬夾芯板結構幾何尺寸及面內軸向壓縮載荷下的極限強度。該金屬夾芯板結構的βp，βw和λ 均在3.1 節所述范圍內。

用前文構建的BP 神經網絡對表10 中I 型金屬夾芯板結構面內軸向壓縮載荷下的極限強度進行預測，得到的結果如圖14 所示。由圖可知，期待值與預測值之間的最大誤差為0.086 1，均方差MSE為0.001 1，預測結果良好。

圖14 σu/σY中 期待值與預測值間誤差Fig. 14 Error between the expected data and predicted outputs for σu/σY

表10 I 型金屬夾芯板參數Table 10 Parameters of I-core sandwich panels

3.4 敏感性分析

為了評估輸入層的3 個變量參數對輸出值的影響程度，需要進行敏感性分析。采用基于連接權的敏感性分析方法[18]。輸入變量對輸出變量的影響程度可用下式表示：

得 到βp，βw和λ 這3 個輸入變量參數對I 型金屬夾芯板結構軸向面內壓載下 σu/σY的相對影響程度如圖15 所示，其中，βw的相對影響程度最低，為26.87%，βp的相對影響程度最高，為39.99%。

圖15 輸入變量βp，βw 和λ 對I 型金屬夾芯板結構 σ u/σY的影響程度Fig. 15 Relative importance of the input variables βp, βw, λ on the response variable of σ u/σY of I-core sandwich panels

4 結 論

本文利用非線性有限元軟件ABAQUS 對252 個I 型金屬夾芯板模型受面內軸向壓縮載荷時的極限強度進行了計算分析，并利用BP 人工神經網絡方法建立了極限強度預測方程，針對本文所計算的算例尺寸，主要得到以下結論：

1） 與非線性有限元計算結果相比，采用BP神經網絡方法的極限強度預測的均方差MSE和相關系數R分別為0.001 2 和0.981 8，最大誤差不超過10%，具有良好的預測性。

2） 腹板柔度系數βw對I 型金屬夾芯板結構的相對影響程度最低，為26.87%，面板柔度系數βp對I 型金屬夾芯板結構的相對影響程度最高，為39.99%。

3） 根據所設計神經網絡結構的權值和偏置，提出了預測I 型金屬夾芯板結構面內軸向壓縮載荷下的極限強度方程，可為I 型金屬夾芯板在船體結構中的應用提供參考。