基于自適應(yīng)變異粒子群算法的船舶結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法

王一鏡，羅廣恩，王陳陽，李爽

江蘇科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212100

0 引 言

船舶結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計方法主要分為規(guī)范方法和直接計算方法2 種[1]。其中，基于直接計算法的有限元分析結(jié)構(gòu)優(yōu)化技術(shù)日臻成熟，使用該方法進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化不僅成本低且計算結(jié)果精準(zhǔn)。然而，對于越來越復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，所需的計算時間也就越長，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)優(yōu)化工作效率降低。隨著計算機(jī)硬件、軟件的不斷發(fā)展，計算機(jī)的計算能力不斷提高，使用機(jī)器學(xué)習(xí)進(jìn)行船舶結(jié)構(gòu)優(yōu)化成為了新趨勢。BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)便是其中之一，它是一種通過誤差逆向傳播 (error back propagation training) 算法訓(xùn)練的前饋式神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，主要用于解決誤差校正問題。由于BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以將預(yù)測輸出結(jié)果不斷逼近期望值，在船舶設(shè)計領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。然而，傳統(tǒng)的BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在使用試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行訓(xùn)練時其權(quán)值和閾值的選擇具有隨機(jī)性，在此機(jī)制下經(jīng)過訓(xùn)練的BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)缺乏良好的穩(wěn)定性和泛化性。為解決這一問題，很多學(xué)者進(jìn)行了相關(guān)研究。例如，李慧等[2]利用遺傳算法（GA）對BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行優(yōu)化（GA-BP 方法），得出了最優(yōu)的耐撞性舷側(cè)夾層板厚度，此方法雖然使預(yù)報性能得到了極大提升，但泛化能力仍不足以代替有限元計算。甄春博等[3]使用粒子群優(yōu)化（PSO）算法建立PSO-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)代替有限元分析確定應(yīng)力與設(shè)計變量之間的關(guān)系，對油船舯部進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化。然而，標(biāo)準(zhǔn)PSO 算法雖可有效改善BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)收斂速度不穩(wěn)定的缺點(diǎn)，但其自身缺乏種群多樣性，會導(dǎo)致全局性較差，在擬合函數(shù)存在多個局部最小值時，得到的解易收斂于局部最優(yōu)解。Li 等[4]基于人工蜂群（artificial bee colony，ABC）算法提出了一種針對采用纖維增強(qiáng)塑料（FRP）建造的漁船的結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法。但因采用輪盤賭選擇方式使算法在迭代過程中的最差解會對新一代解產(chǎn)生影響，而導(dǎo)致算法陷入局部最優(yōu)。

鑒此，本文擬采用自適應(yīng)變異粒子群（adaptive mutation particle swarm optimization，AMPSO）算法對BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行優(yōu)化，此算法是在PSO 算法基礎(chǔ)上借鑒種群多樣性思想和GA 算法中的變異思想對PSO 算法進(jìn)行改進(jìn)，再結(jié)合正交試驗(yàn)設(shè)計、GA 算法，提出一種適用于結(jié)構(gòu)優(yōu)化的AMPSO-BP-GA 方法，最后，對比多種算法計算的算例結(jié)果，以驗(yàn)證本文算法的精度和優(yōu)化效果。

1 基于自適應(yīng)變異的粒子群算法

1.1 AMPSO 算法

AMPSO 算法是在PSO 算法的基礎(chǔ)上借鑒了GA 算法的自適應(yīng)變異操作而來[5]。該算法在每次粒子更新后，對粒子個體是否陷入局部最優(yōu)解進(jìn)行判斷。判斷標(biāo)準(zhǔn)為一個粒子更新頻率，若某一代的最優(yōu)粒子更新發(fā)生了長時間停滯且其適應(yīng)度大于理論最優(yōu)解，則判斷其為陷入局部最優(yōu)的惰性粒子。對其進(jìn)行變異操作，變異后的粒子能夠跳出先前搜索到的局部最優(yōu)值位置，并在更大的空間中展開搜索，同時保證了種群的多樣性。

1.2 改進(jìn)PSO 算法的性能驗(yàn)證

全局搜索能力和局部收斂能力是評價算法性能的2 個基礎(chǔ)能力，前者是算法在迭代前期快速尋找到全局最優(yōu)解所處范圍的能力，后者則是算法在最優(yōu)解附近進(jìn)一步尋找到極值的能力。為準(zhǔn)確評估算法性能，使用4 個多維非線性函數(shù)作為算法的目標(biāo)函數(shù)，并對GA，PSO，AMPSO 算法的全局搜索能力和局部收斂能力進(jìn)行測試。測試目標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)公式、區(qū)間和最小值如表1 所示。表中，xi為自變量；n為測試函數(shù)的維度；Ackley和Rastrigin 為多峰函數(shù)，其最小值附近有許多局部極小值點(diǎn)，側(cè)重于測試算法的全局搜索能力；Sphere 和Rosenbrock 為單峰函數(shù)，有唯一的全局最小值點(diǎn)，側(cè)重于測試算法的局部收斂能力。

表1 測試函數(shù)Table 1 Testing functions

當(dāng)函數(shù)維度為2 時，4 個非線性測試函數(shù)的圖像如圖1 所示。圖中y為函數(shù)值即適應(yīng)度值。

圖1 4 種測試函數(shù)圖像Fig. 1 Graphs of four testing functions

圖2 分別為PSO，GA，AMPSO 算法在相同的測試環(huán)境下對Ackley，Rastrigin，Sphere 和Rosenbrock 測試函數(shù)的適應(yīng)度曲線，曲線下降越快說明收斂速度越快。結(jié)果表明，相比于PSO 和GA 算法，AMPSO 算法在迭代前期快速收斂，收斂速度具有明顯優(yōu)勢。

圖2 4 種測試函數(shù)的適應(yīng)度曲線Fig. 2 Fitness curves of four testing functions

除了收斂速度，還應(yīng)將算法的尋優(yōu)結(jié)果即最佳適應(yīng)度作為算法的性能評估指標(biāo)。在迭代次數(shù)達(dá)到500 時，適應(yīng)度曲線的落點(diǎn)即為算法的尋優(yōu)結(jié)果，其越接近最小值0，說明效果越好。具體尋優(yōu)結(jié)果如表2 所示。

表2 算法測試結(jié)果Table 2 Test results by different algorithms

由表2 可見，對于多峰函數(shù)Ackley 和Rastrigin，GA 算法比PSO 算法更接近函數(shù)的最小值；對于單峰函數(shù)Sphere 和Rosenbrock，PSO 算法比GA算法更接近函數(shù)的最小值，而AMPSO 算法的4 種函數(shù)的尋優(yōu)結(jié)果精度最高。

以上計算結(jié)果表明，AMPSO 算法兼具了PSO算法和GA 算法的優(yōu)點(diǎn)，可以在迭代前期快速收斂，并在后續(xù)迭代過程中進(jìn)一步尋找到函數(shù)的全局最小值，因此，比PSO 算法和GA 算法在收斂速度和精度上均具有明顯優(yōu)勢。

2 改進(jìn)BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建

BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)通過誤差逆向傳播算法對權(quán)值和閾值進(jìn)行更新，通過多次更新找到使誤差最小的權(quán)值和閾值的組合。但這種方法相當(dāng)于整個搜索區(qū)間只有1 個空間點(diǎn)在對“誤差函數(shù)”進(jìn)行極值尋優(yōu)，不僅效率低且很容易輸出誤差較大的網(wǎng)絡(luò)模型。因此，使用優(yōu)化算法對BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值和閾值進(jìn)行優(yōu)化，不僅可提升訓(xùn)練效率，而且以誤差作為目標(biāo)函數(shù)的種群算法優(yōu)化后的BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)更容易訓(xùn)練出高精度和高穩(wěn)定性的網(wǎng)絡(luò)模型。

2.1 訓(xùn)練樣本的生成

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)需要一定數(shù)量的訓(xùn)練樣本來保證其準(zhǔn)確性，使用Isight 輔助Nastran 進(jìn)行有限元計算，通過正交化處理得到訓(xùn)練樣本。本文以跳板結(jié)構(gòu)強(qiáng)度有限元計算為例，具體計算流程為：首先，由Isight 的DOE 模塊制定正交試驗(yàn)方案[6]，將所需數(shù)據(jù)提交給Data Exchanger 模塊，由該模塊修改bdf.文件中的變量；然后，提交給Nastran 模塊進(jìn)行計算；最后，再次使用Data Exchanger 模塊讀取f06.文件中所包含的最大位移值、最大應(yīng)力值等信息并進(jìn)行記錄。在計算過程中，輸入變量為跳板結(jié)構(gòu)的面板、底板、縱桁、肋板等構(gòu)件的厚度。輸出變量為板單元應(yīng)力最大值、梁單元應(yīng)力最大值以及跳板結(jié)構(gòu)的最大變形值。

經(jīng)過上述流程的計算，共得到243 組樣本，其中230 組用于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練，其余的13 組作為測試樣本，用于測試神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的準(zhǔn)確性。

2.2 不同神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的對比

使用上述數(shù)據(jù)樣本分別對BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、GA-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、PSO-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、AMPSO-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練。BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的最大迭代次數(shù)為1 000 次，目標(biāo)誤差值為10-5，學(xué)習(xí)速率為0.01，權(quán)值訓(xùn)練算法選擇Levenberg-Marquardt算法，節(jié)點(diǎn)傳輸函數(shù)使用Sigmoid 函數(shù)。GA 算法中，變異概率是0.02，交叉概率是0.7。PSO 算法中，社會學(xué)習(xí)因子c1和個體學(xué)習(xí)因子c2均為1.494 45，慣性權(quán)重取0.8。

在測試誤差階段，隨機(jī)抽取13 個樣本作為測試樣本，用于計算誤差。統(tǒng)計并對比訓(xùn)練結(jié)果誤差，結(jié)果如圖3 所示。總體上，相比于BP，GA-BP和PSO-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，AMPSO-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)報結(jié)果和有限元計算結(jié)果之間的誤差更小。

圖3 不同BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的誤差對比Fig. 3 Error comparison of different BP neural networks

為了進(jìn)一步確定AMPSO-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的泛化能力，在保證數(shù)據(jù)樣本和訓(xùn)練環(huán)境不變的情況下，對BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、GA-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、PSO-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和AMPSO-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分別連續(xù)進(jìn)行5 次訓(xùn)練。取每次訓(xùn)練的平均誤差和最大誤差進(jìn)行統(tǒng)計，結(jié)果如表3 所示。

由表3 可見，通過5 次訓(xùn)練，BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的最大平均誤差為0.77%，最大誤差為4.59%；GA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的最大平均誤差為0.17%，最大誤差為2.29%；PSO-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的最大平均誤差為0.15%，5 次訓(xùn)練最大誤差為0.93%；而AMPSO-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的最大平均誤差僅為0.09%，5 次訓(xùn)練最大誤差僅為0.47%。

表3 采用測試樣本對于不同BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的計算誤差對比Table 3 Comparison of calculated errors using test samples for training different BP neural networks

通過上述誤差統(tǒng)計結(jié)果可見，AMPSO-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相比于另外3 種BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有著精度高、泛化性和穩(wěn)定性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，能夠作為有效的有限元代理模型進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化任務(wù)。

3 基于改進(jìn)PSO 算法的結(jié)構(gòu)優(yōu)化

基于AMPSO 算法優(yōu)化的AMPSO-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有效地解決了BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)易過早收斂及陷入局部最小值的問題，且較基于標(biāo)準(zhǔn)算法優(yōu)化的PSO-BP，GA-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有更佳的擬合能力和穩(wěn)定性。基于此，進(jìn)一步以AMPSO-BP 為有限元軟件的代理模型，結(jié)合正交試驗(yàn)設(shè)計、GA 算法，提出AMPSO-BP-GA 結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計方法。優(yōu)化流程圖如圖4 所示，具體的優(yōu)化流程描述如下：

圖4 AMPSO-BP-GA 結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計流程Fig. 4 Design flowchart of structural optimization using the AMPSO-BP-GA method

1） 建立結(jié)構(gòu)有限元模型，確定結(jié)構(gòu)優(yōu)化參數(shù)；

2） 采用Isight 軟件聯(lián)合Nastran 設(shè)計正交試驗(yàn)并計算得到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練樣本；

3） 采用AMPSO 算法優(yōu)化BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，使用訓(xùn)練樣本訓(xùn)練AMPSO-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；

4） 使用訓(xùn)練完成的AMPSO-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型代替有限元計算，對接GA 算法展開結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計，輸出優(yōu)化結(jié)果。

3.1 目標(biāo)函數(shù)及其約束條件

基于AMPSO-BP-GA 的結(jié)構(gòu)優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)程序，在結(jié)構(gòu)優(yōu)化過程中使用GA 算法對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行極值尋優(yōu)。本文以結(jié)構(gòu)重量為目標(biāo)函數(shù)，故目標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式 中： ρi為 不 同 構(gòu) 件 的 材 料 密 度；Vi為 構(gòu) 件 的 體積；Si為構(gòu)件（或式（3）中的十桿形桁架構(gòu)件）的截面面積；Li為構(gòu)件的長度。

船舶結(jié)構(gòu)優(yōu)化目標(biāo)是在約束條件的限制下結(jié)構(gòu)重量最輕。使用AMPSO-BP-GA 算法進(jìn)行船體結(jié)構(gòu)優(yōu)化時，應(yīng)將規(guī)范中的應(yīng)力、變形作為約束條件。在GA 算法的子程序function 中，將有約束目標(biāo)函數(shù)改為基于罰函數(shù)的無約束目標(biāo)函數(shù)，對于應(yīng)力值或變形值不滿足規(guī)范的個體，針對其超標(biāo)幅度施加合理的罰因子項(xiàng)。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中：p(i)為 罰函數(shù)因子； σi為預(yù)報應(yīng)力值； σ為許用應(yīng)力值； δi為預(yù)報變形值； δ為許用變形值。

3.2 結(jié)構(gòu)優(yōu)化及分析算例

為了驗(yàn)證AMPSO-BP-GA 結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法的可行性和有效性，以十桿形桁架和車渡船跳板算例進(jìn)行了結(jié)構(gòu)優(yōu)化，并在相同約束條件下，與其他結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法的輸出結(jié)果進(jìn)行對比。

3.2.1 十桿形桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化

為了驗(yàn)證AMPSO-BP-GA 算法的結(jié)構(gòu)優(yōu)化效果，使用經(jīng)典的十桿形桁架結(jié)構(gòu)[7]作為優(yōu)化目標(biāo)。桁架結(jié)構(gòu)如圖5 所示，桁架結(jié)構(gòu)的桿長L=9.144 m，彈 性 模 量E=6.895×104N/mm2，密 度ρ=2.768×103kg/m3，外力F=444.5 kN，端部簡支端約束。優(yōu)化任務(wù)為二力桿選取合適的截面面積，使結(jié)構(gòu)整體重量達(dá)到最輕。

圖5 十桿形桁架結(jié)構(gòu)平面圖Fig. 5 Schematic diagram of a cross-bar truss structure

十桿形桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)及約束條件表示為：

式中，W為十桿形桁架結(jié)構(gòu)的重量。

采用AMPSO-BP-GA 方法對十桿形桁架結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化，并與傳統(tǒng)的連續(xù)變量優(yōu)化方法OPTDYN和CONMIN 得到的結(jié)果[7]以及文獻(xiàn)[8-9] 結(jié)果進(jìn)行對比，結(jié)果如表4 所示。由表可見，采用AMPSOBP-GA 方法優(yōu)化得到的結(jié)構(gòu)重量最輕，結(jié)果更加合理有效。

表4 十桿形桁架優(yōu)化結(jié)果比較Table 4 Comparison of a cross-bar truss optimization results

3.2.2 車渡船跳板結(jié)構(gòu)優(yōu)化

考慮跳板的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，將板材厚度、骨材截面尺寸作為優(yōu)化設(shè)計變量[10]。將跳板的材料參數(shù)、跳板的整體尺寸、骨材間距等作為已知量處理。跳板尺寸為：長3 m，寬5 m，高0.3 m，材料采用Q235 鋼。根據(jù)有限元分析結(jié)果，在運(yùn)輸車輪印載荷作用下，跳板的最大板材應(yīng)力為27.6 MPa，小于規(guī)范的許用應(yīng)力 0.80σsw=176.25 MPa。最大梁應(yīng)力為90.09 MPa，小于規(guī)范許用應(yīng)力 0.77σsw=171.55 MPa。最大變形位移是0.63 mm，小于許用位移L/400=7.50 mm，其中L=3 m，為跳板的短邊長度[11]。說明跳板結(jié)構(gòu)有較大的強(qiáng)度、剛度儲備，可以進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化。優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)及約束條件可以表示為：

式 中： σp為 板 材 應(yīng) 力； σb為 梁 應(yīng) 力。分 別 使 用GA-BP-GA，PSO-BP-GA，AMPSO-BP-GA 方法對跳板進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化，結(jié)果如表5 所示。

表5 跳板優(yōu)化結(jié)果比較Table 5 Comparison of a gangboard optimization results

由表5 可見，基于GA-BP-GA 和PSO-BP-GA優(yōu)化后的跳板重量分別為1 702.5 和1 872.8 kg，相較原重減輕了25.4% 和17.9%，而使用AMPSOBP-GA 模型優(yōu)化后的跳板重量為1 520.7 kg，減輕了33.3%，效果最佳。將優(yōu)化后的跳板結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)整，采用Nastran 進(jìn)行有限元分析，分析結(jié)果如圖6～圖8 所示。由圖可見，優(yōu)化后的跳板結(jié)構(gòu)板材應(yīng)力、梁應(yīng)力以及變形有所增加且仍滿足規(guī)范要求，具體校核結(jié)果如表6 所示。

圖 6 結(jié)構(gòu)板材應(yīng)力云圖Fig. 6 Stress contours of structural plate

圖 7 結(jié)構(gòu)梁應(yīng)力云圖Fig. 7 Stress contours of of structural beam

圖8 結(jié)構(gòu)變形云圖Fig. 8 Stress contours of structural deformation and displacement

表6 結(jié)果表明，優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)滿足規(guī)范約束，且優(yōu)化后的梁應(yīng)力已經(jīng)非常接近許用應(yīng)力，實(shí)現(xiàn)了在規(guī)范允許范圍內(nèi)的最大減重。這說明基于AMPSO-BP-GA 的結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法具有較好的優(yōu)化效果。

表6 優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)校核Table 6 Structural check after optimization

4 結(jié) 論

本文將AMPSO 算法、BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、GA 算法、正交試驗(yàn)法進(jìn)行融合，提出了AMPSO-BP-GA結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法，并通過十桿形桁架結(jié)構(gòu)和車渡船跳板結(jié)構(gòu)的算例進(jìn)行了驗(yàn)證，取得了較好的優(yōu)化效果。通過研究，得出如下結(jié)論：

1） 采用AMPSO 算法可解決標(biāo)準(zhǔn)PSO 算法搜索精度低、容易出現(xiàn)早熟收斂的缺點(diǎn)，從多維度非線性函數(shù)極值尋優(yōu)結(jié)果看，AMPSO 算法比標(biāo)準(zhǔn)的PSO 和GA 算法具有更高的搜索精度及更快的收斂速度。

2） 采用AMPSO-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可解決傳統(tǒng)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)易出現(xiàn)過早收斂導(dǎo)致精度低的缺點(diǎn)，從跳板結(jié)構(gòu)有限元計算結(jié)果設(shè)計的正交試驗(yàn)結(jié)果看，AMPSO-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)也比傳統(tǒng)的BP，PSO-BP及GA-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擁有更高的預(yù)報精度和泛化能力。

3） 在相同約束條件下，采用AMPSO-BP-GA方法優(yōu)化十桿形桁架結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)減重效果優(yōu)于本文提到的其他方法，且采用AMPSO-BP-GA 方法優(yōu)化跳板結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)減重也比GA-BP-GA 方法、PSO-BP-GA 方法的更大。

4） 所提AMPSO-BP-GA 結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法具有推廣性，可為其他船體結(jié)構(gòu)的優(yōu)化問題提供參考。