基于層次分析和熵權(quán)TOPSIS法的快遞配送點(diǎn)選址問題研究

汪義霞 康乃馨 劉明

（銅陵學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院，安徽 銅陵 244061)

選址問題是通過計算得到最優(yōu)方案的一個過程，自1909年，Weber研究了在平面上確定一個倉庫與多個顧客之間的總距離最小問題，正式開始了選址問題的研究。之后，20世紀(jì)70年代，美國運(yùn)籌學(xué)家Saaty提出了層次分析法，此方法特別適用于分析解決一些結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，難于量化的多目標(biāo)決策問題中因素的權(quán)重確定和方案排序等。

簡單地講，選址問題有定量和定性兩種分析方法。其中定量分析法主要包括重心法，物流作業(yè)量法，啟發(fā)式方法，線性整數(shù)規(guī)劃，盈虧平衡點(diǎn)法。定性方法也稱為多準(zhǔn)則決策，層次分析法和熵權(quán)TOPSIS法就包含在其中。這兩種方法雖然不是唯一的研究快遞配送點(diǎn)選址問題的方法，但是勝在思路簡單，熵權(quán)TOPSIS法有數(shù)據(jù)支持，層次分析法具有自己的主觀想法，兩者其中一個主觀意識強(qiáng)烈，一個客觀觀念較強(qiáng)，將兩者進(jìn)行對比可以看出其中不同的優(yōu)劣勢。

一、層次分析法

（一）構(gòu)建層次分析模型。

（二）構(gòu)建判斷矩陣。在這之前，需要了解確定判斷矩陣的9級標(biāo)度，如表1所示。

表1

標(biāo)度定義1同等重要2介于同等與略微重要之間3略微重要4介于略微與明顯重要之間5明顯重要6介于明顯與十分明顯重要之間7十分明顯重要8介于十分明顯與絕對重要之間9絕對重要

（三）計算判斷矩陣的特征向量(w,…,w),，求特征向量可應(yīng)用求和法或求根法進(jìn)行。

（四）求最大特征值λ，這里λ的值為

若CR＜0.1，此時判定其判斷矩陣具有一致性。而其中RI的值隨著n的增大而增大。

（五）最后的一步就是對方案進(jìn)行排序。計算公式為

二、熵權(quán)TOPSIS法的研究

（一）TOPSIS法求解相對接近度C

1.就成本和交通為指標(biāo)分析，不難發(fā)現(xiàn)這些指標(biāo)的選擇標(biāo)準(zhǔn)不是唯一的。此時，需要將這些數(shù)據(jù)正向化，也就是說將所有指標(biāo)數(shù)據(jù)都轉(zhuǎn)化為極大型指標(biāo)。常見的數(shù)據(jù)指標(biāo)可以分為四類：一是極大型指標(biāo)；二是極小型指標(biāo)；三是中間型指標(biāo)；四是區(qū)間型指標(biāo)。假設(shè)一個指標(biāo)的所有數(shù)據(jù)記為大寫的X，其中的元素記為x，改正后的元素記為。

2.經(jīng)過了正向化后，由于成本的數(shù)值大小比交通要大許多的，如果直接計算，其實(shí)是不公平的，此時，為了消除數(shù)據(jù)量綱的影響，需要對數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理。換算公式如下。

3.經(jīng)過正向化和標(biāo)準(zhǔn)化的處理之后，可得到一個新的矩陣，將這些最大值和最小值組成兩個不同的集合，最大值的集合記為I,，也稱為理想計劃，j=1，2，…，n，最小值的集合記為I，也稱為負(fù)理想計劃，j=1，2，…，n，公式如下。

（二）熵權(quán)法求解權(quán)重

由于每項(xiàng)指標(biāo)的重要程度不一致，故此時需要利用熵權(quán)法求出權(quán)重系數(shù)。這里，假設(shè)給出的矩陣D如下。

假設(shè)矩陣D是經(jīng)過了正向化和歸一化的矩陣，此時，需要先計算信息熵。

三、算例

某一物流公司W(wǎng)要在M市建造一個快遞配送點(diǎn)，其中需要考慮的因素（指標(biāo)）有成本，貨物分布和數(shù)量，交通以及經(jīng)營環(huán)境，最后備選的有三個方案，分別為A，B，C，三個地點(diǎn)。每種方案在對應(yīng)指標(biāo)下的情況如下表2所示（表2中數(shù)據(jù)皆為虛擬，切勿考究）。

表2

成本 發(fā)展前景 交通 公共設(shè)施A 5100 1.2 8 2.7 B 4500 0.9 7 2.0 C 5200 0.8 10 2.8

（一）層次分析法

1.這里，我們直接給出所有的判斷矩陣，如下表3、4、5、6、7所示。

表3

A B C 1 1/3 2 3 1 5 1/2 1/5 1

表4

發(fā)展前景 A B C A 1 3 1/7 B 1/3 1 1/9 C 7 9 1

表5

交通 A B C A 1 1/5 1/8 B 1/5 C 8 5 1 5 1

表6

公共設(shè)施 A B C A 1 1/4 1/5 B 1/3 C 5 3 1 4 1

表7

總目標(biāo) 成本 發(fā)展前景 交通 公共設(shè)施成本 1 4 2 2貨物分布和數(shù)量 1/4 1 1/2 1/2交通 1/2 2 1 1經(jīng)營環(huán)境 1/2 2 1 1

由此可判斷出此判斷矩陣的一致性成立，其他判斷矩陣同上計算，得其判斷矩陣一致性成立。

3.最后，需要綜合計算結(jié)果并得方案排序優(yōu)選。此時，將之前所得的特征向量全部帶入到（4）中，可得

觀察這個結(jié)果，可看出，三種方案的權(quán)重大小相差無幾，但方案C的權(quán)重更大，結(jié)果更優(yōu)。

（二）熵權(quán)TOPSIS法

1.需先將成本化為極大型指標(biāo)，結(jié)果如表8所示。

表8

成本 發(fā)展前景 交通 公共設(shè)施A 100 1.2 8 2.7 B 700 0.9 7 2.0 C 0 0.8 10 2.8

2.利用公式（5）消除量綱的影響，將數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化，結(jié)果如表9所示。

表9

成本 發(fā)展前景 交通 公共設(shè)施A 0.141 0.706 0.548 0.617 B 0.990 0.529 0.480 0.457 C 0 0.471 0.685 0.640

3.由表2可得到多維的指標(biāo)最大值集合為{0.990，0.706，0.685，0.640}，多維的指標(biāo)最小值集合為{0，0.471，0.480，0.457}，接下來需要通過公式（6）求C，以A為例，其中A的

帶入（2）可求得C=0.274

，

同樣的，我們可求出出C=0.752

，

C=0.213，，從這個結(jié)果來看，最好的方案是B，當(dāng)然，我們這個結(jié)果是我們沒有加權(quán)重的結(jié)果，下一步我們就需要通過熵權(quán)法加入各個指標(biāo)的權(quán)重值，得到我們最終的結(jié)果。

4.我們將正向化和標(biāo)準(zhǔn)化后的矩陣通過公式（8）求得p的矩陣如下。

將其帶入到公式（3）中，這里的m=3，分別依次求得E=0.343，E=0.905，E==0.990，E=0.991。

5.最后，我們利用公式（9）將上述所求的的E歸歸一化，得到最終的各個指標(biāo)的權(quán)重為（0.852，0.123，0.013，0.012），將所求得的權(quán)重帶入計算可求出最優(yōu)方案為B。這個結(jié)果與層次分析法求得的結(jié)果還是有一些出入，最主要的還是層次分析法的判斷矩陣是具有非常強(qiáng)的主觀意識的，難以把控，所以在選擇快遞配送點(diǎn)地址時需要判斷是否要介入較強(qiáng)的自我想法，再決定所使用的方法。

四、結(jié)束語

本文主要是探究了層次分析法和熵權(quán)TOPSIS法，這兩種方法的使用范圍都比較廣泛，運(yùn)算原理也通俗易懂，但是這些方法的計算量極大，由于上述的算例我們采用得指標(biāo)數(shù)量較小，所以計算比較方便。如果指標(biāo)數(shù)量較為龐大的時候，運(yùn)用上述方法顯然困難重重，此時，我們可以將公式代入編程解決這個問題，期待其他學(xué)者可為此解答。