科氏力下帶有內表面張力的黏彈性流體的瑞利—泰勒問題的穩定性

吳興奇，劉蒙蒙，宋方應

(福州大學數學與統計學院, 福建 福州 350108)

0 引言

考慮重力場下的兩層完全平行的互不混溶流體，其中較重的流體層在較輕的流體層上方，對這種平衡狀態進行較小的擾動時，會導致較重的流體在重力作用下向下移動，而較輕的流體向上移動，并且這種不穩定會進一步增長，且伴隨勢能釋放. 這種不穩定現象是由英國的兩位物理學家Rayleigh[1]和Taylor[2]最早獨立研究，故稱之為RT不穩定性. 過去的幾十年里，人們已從物理和數值方面對該現象進行廣泛的研究[3]，并且還進一步研究了其他物理因素，比如彈性[4-5]、旋轉[3]、內表面張力[6-7]、磁場[8-10]等，如何影響RT不穩定性的演化. 最近，文獻[4]研究了平板內無內表面張力的分層不可壓縮黏彈性流體的瑞利—泰勒問題的穩定性. 本文在文獻[4]結果基礎上進一步考慮有內表面張力和旋轉情形, 其數學模型如下：

(1)

這里，帶有下標“+”“-” 的符號f+,f-分別表示有關上下層流體的未知函數或物理參數f.符號Ω+(t)，Ω-(t)分別指上部流體區域和下部流體區域，由于考慮水平周期運動，故其分別定義如下：

Ω+(t)∶={(xh,x2)T∈R3|xh∶=(x1,x2)T∈T,d(xh,t)

(2)

Ω-(t)∶={(xh,x3)T∈R3|xh∶=(x1,x2)T∈T, -l

(3)

ρ∶=ρ+χΩ+(t)+ρ-χΩ-(t)

(4)

(5)

主要在數學上建立一個穩定性準則，在該穩定性準則下，上述VRT問題存在關于時間指數穩定的解，并且當κ適當大時，即可滿足該穩定性準則. 此外穩定性準則與旋轉角速度大小無關，見定理1及注1. 結果表明： 旋轉不具有使流體失穩的效果. 由于直接證明VRT問題的穩定性結果是有困難的，為此，下面需要在拉格朗日坐標下重寫VRT問題，并給出拉格朗日坐標下的穩定性結果和證明. 當然通過拉格朗日坐標逆變換即可得到對應的VRT問題(5)的穩定性結果.

1 拉格朗日坐標下的運動方程組

定義固定的拉格朗日域Ω+∶=T×(0,τ)，Ω-∶=T×(-l, 0)，并定義流映射ζ±為以下初始值問題的解：

(6)

2 主要結果

在介紹變換(分層)VRT問題(6)穩定性數學結果之前，還要介紹一些簡化的數學符號.

現在開始介紹VRT問題(6)的穩定性結果.

(7)

上述H0和A0都通過η0來定義，分別表示H和A的初始值； 正常數δ依賴于區域Ω和其它已知的物理參數ρ,μ,g,θ和κ.

3 定理1的證明

利用標準的迭代方法，很容易建立起變換VRT問題(6)存在關于時間的局部解，因此為了得到定理1的結論，只需建立起先驗的穩定性估計式(7)即可. 為此假設(η,u,q)為變換的VRT問題的光滑解，并滿足定理1中關于初始值的假設條件，以及下式成立：

M(t)≤δ∈(0, 1)

(8)

其中：δ充分小，依賴于區域Ω和其他已知的物理參數ρ,μ,g,θ和κ.則利用標準能量方法，可建立起如下能量不等式.

(9)

(10)

證明 上述證明可直接參考文獻[10]，故從略.

其中

則存在下列關于(η1,u1,q1)和(η2,u2,q2)的先驗估計：

(11)

其中:

(12)

(13)

此外

(14)

證明 可直接參考文獻[10]得出，故從略.

首先從式(9)和式(11)得出，存在常數c和足夠大的常數c1滿足：

(15)

注意K1和K2是正定泛函，則由式(10)的第一個估計和式(13)，得出對充分小的δ，有：

(16)

此外，可以參考文獻[10]中的式(8.45)～(8.51)推出下式：

(17)

(18)

注意T1和T2是正定泛函，利用式(8)和式(10)的第二個論斷，可以從式(15)和式(17)推出，對于充分大的常數c1和充分小的δ，滿足：

(19)

對上式關于t積分，并利用式(10)的第一個論斷，即有：

(20)

由式(12)的表達式，以及(η1,u1)和(η2,u2)所滿足的初始條件，再利用上式估計，使用式(14)的第一個估計和跡定理，可知：

(21)

對式(14)的第二個估計式關于β在Υ4, 4上積分，并利用跡定理，即得：

(22)

最后將式(21)～(22)代入式(20)中，再利用式(18)，即得先驗穩定性估計式(7). 利用先驗穩定性估計及局部解的存在性結果，即可得到定理1.