單元構架式拋物面天線張緊繩索多層設計方法

王輝，何天宇，都顯琛，王春潔，2，*

（1.北京航空航天大學機械工程及自動化學院，北京 100083；2.北京航空航天大學虛擬現實技術與系統國家重點實驗室，北京 100083）

隨著通信、遙感測量等領域的發展，星載天線成為各類衛星上的重要功能組件。星載天線中，可展開拋物面天線因收納比大、剛度高、相對于平板天線工作精度更高等特點，受到了廣泛的研究和應用。

為了在理論層面上研究并提升拋物面天線的性能，各國學者開展了大量有意義的研究。文獻［1］闡述了構建模塊化拋物面天線的必要性，并分析論證了模塊個數對拋物面精度的影響。文獻［2］利用ANSYS軟件，建立了桁架式拋物面天線的等效有限元模型，研究了均布的繩索張緊力對天線前10階固有頻率的影響。文獻［3］針對大型可展開拋物面天線，利用ANSYS軟件將繩索以交叉布置與平行布置2種形式對天線的模態振型影響進行了深入研究，得出繩索交叉布置形式對天線剛度提升作用優于平行布置的結論。文獻［4-5］基于星載索桿式拋物面天線的特性，分析了其拓撲結構，并提出了一種全新的索桿張拉構型。文獻［6］對拋物面天線張緊繩索的熱變形特性的影響因素進行了敏感度分析，探究了減小結構熱變形的方法，并指出減小熱變形應該注意的問題。文獻［7］分析了3種拋物面天線的形面誤差，并對3種誤差的優缺點進行了對比和分析。文獻［8］針對一種索網式拋物面天線，利用有限元法分析了繩索長度公差和繩索預張力對工作網面精度的影響。文獻［9］采用有限體積法對一種索網式拋物面天線結構進行了靜力分析和撓度分析。文獻［10］在含繩索拋物面天線結構的有限元模型基礎上，對結構的固有頻率及模態振型進行了研究。文獻［11］針對索網式拋物面天線結構，基于力密度法，通過優化設計，使天線獲得了較高的網面精度，并求解了最佳的索網預拉力。文獻［12］通過實驗測試，分析了控制天線展開繩索的壽命，并對影響展開繩索壽命的因素進行了分析。文獻［13］對模塊化拋物面天線的構型及外層模塊存在的角度誤差進行了詳細推理分析。

上述文獻對拋物面天線的索網構型設計、形面精度及振動特性進行了大量的研究，但是針對構架式拋物面天線張緊繩索的非均布布置方案的研究并不充分。對此，本文提出了一種新型的繩索分層布置方案，并利用有限元模型對方案的合理性進行了驗證。基于響應面模型和多目標優化方法對繩索張緊力參數進行了優化。

1 模塊化拋物面天線

1.1 天線構型

本文以一種構架式可展開拋物面天線為研究對象［1，13-14］，其工作口徑為4 m。該天線的構架用于支撐金屬反射網，提高天線整體剛度。金屬反射網是天線的工作部分，負責反射傳輸信號。構架是金屬反射網的支撐體系，其展開狀態會影響金屬反射網的精度。因此，保證構架展開后的形面精度也是非常重要的。鑒于此，本文重點以拋物面天線構架為研究對象，且下文所述的拋物面天線代指構架。構架主要由7個邊長相等的基本模塊構成，中心模塊由6個角度間隔相等且完全相同的基本肋單元組成，周圍6個模塊由角度間隔近似相等的6個基本肋單元組成，整體結構如圖1所示。

圖1 拋物面天線構架結構Fig.1 Structure diagram of paraboloid antenna frame

1.2 工作性能評估

為了減弱振動對工作性能的影響，有必要提升天線的結構剛度。提高天線的結構剛度，除了通過改善桿件材料性能和桿件截面尺寸以外，還可以在肋條間加裝張緊繩索。但加裝繩索的同時，會使背架發生形變，從而產生形面誤差，其變形狀況如圖2和圖3所示。為了更明顯地顯示出形面誤差，圖3將變形尺寸擴大了500倍。

圖2 構架變形前Fig.2 Frame before deformation

圖3 構架變形后Fig.3 Frame after deformation

為了定量分析形面誤差，需要先給出其評價參數。在拋物面構架上選取若干個取樣點，在繩索張緊力的作用下，每個取樣點會偏離原有位置，使天線產生誤差，單個取樣點變形前后的距離及全部取樣點偏移距離的均值表示為

式中：Dxi、Dyi、Dzi為樣本點變形前坐標；D＾x*i、D＾y*i、D＾z*i為樣本點變形后的新坐標；N為樣本點個數。

本文以天線的固有頻率作為結構剛度的評價標準，并將天線的若干階固有頻率整合為一個性能評價參數，其表達式為

式中：C為天線前m階的平均固有頻率；λi為天線的第i階固有頻率；λ0為指定的基準頻率。結合文獻［15］，1階固有頻率對天線的性能影響權重較大，其他低階固有頻率也對天線的性能有一定的影響，綜合考慮本文研究對象后，取λ0為0.2 Hz。上述方法解決了在以結構固有頻率為研究目標的優化設計問題中，仍然存在目標函數振蕩、收斂過程緩慢的問題。

加裝繩索可以提升天線的平均固有頻率，同時會使拋物面產生形面誤差，導致其形面精度降低，天線的2個性能之間存在矛盾，故需要細化繩索的加裝方法。

2 張緊繩索加裝方法

在繩索張緊力大小相同的情況下，相比于平行布置方案，交叉布置方案對提高天線高階固有頻率的效果更加明顯［3］，因此本文選擇交叉布置方案。

以往的模塊化拋物面天線繩索布置方案中，通常將所有繩索的張緊力大小設置為相同值［2］，并沒有考慮不同位置繩索加載不同大小張緊力的情況。傳統布置方案雖然提高了天線剛度，但會使天線產生較大的形面誤差。為了解決傳統方案存在的問題，本文在已有研究的基礎上提出了一種新的模塊化拋物面天線繩索張緊力分層加載方案。將張緊繩索由內向外按層分成4個部分進行張緊力的添加，通過合理配置各層張緊力的大小，達到既保證天線的剛度，也保證天線的形面誤差最小的目的。天線未展開時，繩索處于松弛狀態；展開過程中，中心支柱根部彈簧驅動天線展開；即將到達指定展開狀態時，各層繩索依次張緊，同時對繩索張緊力進行測量，保證同層繩索中每段受力大小相同，可以實現將中心模塊連接的6個模塊均勻展開，完成展開過程［13］。布置方案如圖4所示。圖中，A、B、C、D、E、F、G分別為組成天線構架的7個模塊單元。考慮到該方案各層繩索的張緊力會存在差異，因此在實際應用中需要將張緊繩索分段安裝。

圖4 張緊力繩索布置方案Fig.4 Arrangement scheme of tension rope

天線在展開過程中需保證中心模塊的6個繩索張緊力大小一致，從而使每個肋單元之間的角度相等［13］，新方案中心模塊上的第一層繩索張緊力形成閉合力環，第二層張緊力對第一層模塊的拉力矢量和為0，滿足要求。外層6個模塊肋單元間隔不完全相同，張緊力存在差別，其角度可依靠第二層接頭處自由度釋放實現調整［13］。中心模塊受力如圖5所示。圖中各力滿足：

圖5 中心模塊力矢量圖Fig.5 Force vector diagram of central module

3 模塊化拋物面天線結構性能分析

3.1 有限元模型

為了分析天線的結構剛度和形面誤差，本文采用ABAQUS軟件建立有限元模型，如圖6所示。

圖6 拋物面天線有限元模型Fig.6 Finite element model of paraboloid antenna

拋物面天線主要由多個桿件、鉸鏈及繩索組成。有限元模型中采用Bushing元來代替鉸鏈，可以很好地控制鉸鏈的自由度，更接近鉸鏈的真實狀態。剛度設置如表1和表2所示，表中D11、D22、D33、D44、D55、D66分別表示Bushing元控制沿X軸、Y軸、Z軸和繞X軸、Y軸、Z軸的剛度。鉸鏈在天線展開過程中是繞其局部坐標系的Z軸轉動［2］，因此將其Z軸的剛度設置為較小值。

表1 Bushing元位移剛度參數設置Table 1 Parameter setting of displacement stiffness for Bushing coupling

表2 Bushing元轉動剛度參數設置Table 2 Parameter setting of rotational stiffness for Bushing coupling

此外，結構桿件和繩索分別采用梁單元和桁架等效建模，建模方法的合理性在文獻［2］中已進行了充分的驗證。等效模型的關鍵參數值如表3所示。

表3 模型屬性設置Table 3 Model property setting

考慮到鉸鏈的質量對結構的性能也有一定的影響，在各個桿件的連接點處添加質量點，以模擬鉸鏈質量［2］。

3.2 結構剛度分析

基于3.1節所述的有限元模型，本節對比了傳統方案與本文提出的新方案二者對天線前6階固有頻率的提升能力，配置參數及分析結果如表4～表6所示。表中，“方案0”為不加張緊繩索的方案，“方案1”為傳統布置方案，“方案2～方案4”為新型分層布置方案的3種布置方式。

將表6中4種方案對應的各階固有頻率分別與表4進行對比，傳統繩索張緊力布置方案1和新型繩索分層布置方案2～方案4對拋物面天線的前6階頻率均有提升。說明相對于傳統布置方案，新型布置方案同樣可以起到提升天線剛度的作用，且提升作用不低于傳統方案。

表4 無繩索天線固有頻率及平均固有頻率Table 4 Natural frequency and average natural frequency of cord less antenna

表5 張緊力布置方案Table 5 Tension arrangement scheme

表6 不同方案各階固有頻率及平均固有頻率Table 6 Natural frequency and average natural frequency of each order for different schemes

3.3 形面誤差分析

本文提出的新方案可以在保證天線剛度的同時減小形面誤差。首先，在拋物面天線上選取30個和金屬反射網連接的樣本點，作為天線形面誤差的研究對象，如圖7所示。

圖7 取樣點分布Fig.7 Distribution of sampling points

對于新型繩索預緊力布置方案，分別求得其對應的形面誤差值，將結果與傳統布置方案的誤差值進行對比，如表7所示。

表7 不同方案形面誤差Table 7 Shape error of different schemes

通過將傳統均勻繩索張緊力布置方案1與新型繩索張緊力分層布置方案2～方案4進行對比，方案2～方案4條件下的形面誤差均低于方案1。在方案2的繩索張緊力布置條件下，形面誤差降低了62.71%；在方案3的條件下，形面誤差降低了38.42%；在方案4的條件下，形面誤差降低了68.36%；上述3種方案對降低拋物面天線的形面誤差有明顯作用。

表7中各方案的天線變形云圖如圖8所示。可以看出，傳統布置方案1和分層布置方案2～方案4在相同變形放大系數下，后者的變形趨勢明顯比前者的變形趨勢更加平緩。

圖8 拋物面天線變形圖Fig.8 Deformation diagram of paraboloid antenna

4 張緊力參數優化

在新的繩索布置方案下，為使拋物面天線有較高結構剛度的同時保證形面誤差最小，需要對每層繩索的張緊力進行優化。考慮有限元模型計算效率較低，如果在優化迭代計算中，仍用有限元模型計算拋物面的性能表征參數將花費大量時間。為此，本文采用完全四階多項式建立以繩索力為輸入、形面誤差或平均頻率為輸出的響應面模型，利用響應面模型參與優化迭代計算將大幅度提高計算效率［16-18］。

4.1 建立繩索力優化模型

本文選取各層張緊力作為設計變量，選取平均固有頻率和形面誤差為目標函數。優化數學模型如下：

4.2 代理模型

為了提高計算效率，本文采用完全四階多項式建立C、T與F1、F2、F3、F4的映射關系，其一般表達式為

式中：Y為每組樣本點對應的仿真模型計算的真實值組成的n維列向量；X為樣本點輸入量組成的矩陣；α為由多項式待定系數組成的列向量；Y＾為響應面近似函數值向量；ε為響應面近似函數誤差向量。

式中：0＜RMSE，R2＜1；n為樣本點的個數；yi為樣本點代入到仿真模型中計算出的結果；＾yi為響應面對應的估計值；ˉy為yi的平均值。若RMSE的值越趨近于0，表示擬合精度越高，反之越差；若R2的值越趨近于1，表示擬合精度越高，反之越差。表8為本文擬合出的C、T對應響應面模型的RMSE及R2。

表8 響應面精度系數Table 8 Response surface accuracy coefficient

結果顯示，響應面模型精度較高，可參與后續的優化計算。

4.3 優化計算及結果分析

在解決多目標優化問題時，可以通過加權求和的方式將多個目標函數轉化成單個目標函數，進而采用單目標優化算法完成優化計算，但該方法得到的優化結果比較依賴多個目標函數的權重系數。在本文的優化問題中，2個目標函數的取值差異較明顯，不易給出適當的權重系數。因此，直接采用非劣排序遺傳算法（NSGA-Ⅱ）完成迭代計算。NSGA-Ⅱ基于帕累托最優理論，可獲得多目標優化問題的最優解集，而非單個最優解。優化算法的參數設置如表9所示。

表9 優化算法參數配置Table 9 Parameter configuration of optimization algorithm

優化過程中，利用響應面模型計算出的C、T近似值來評價天線的性能。經過迭代計算，得到該模型的帕累托最優解集，繪制該模型對應的帕累托前沿曲線，如圖9所示。

圖9 帕累托前沿曲線Fig.9 Curve of Pareto front

通過分析最優解集，選取形面誤差最小的配置作為最優解，即（F1，F2，F3，F4）＝（271.95，249.21，103.38，101.13）N，將最優解代入仿真模型進行驗證，驗證結果如表10所示。

從表10可知，經過優化后，新分層方案相較于傳統方案使平均固有頻率提升0.1%，形面誤差降低了88.7%。

表10 最優解驗證Table 10 Verification of optimal solution

5 結 論

1）本文以模塊化拋物面天線為研究對象，提出一種分層布置張緊繩索的方法，并采用有限元模型對該方法的合理性進行了驗證。仿真結果表明，該方法在保證結構剛度的同時，可以有效減小張緊力所引起的天線形面誤差。

2）結合響應面模型和NSGA-Ⅱ對本文方法的張緊力參數進行了優化設計，結果表明，優化后的張緊力參數可以進一步提升拋物面天線的性能。

3）本文方法可為構架式可展開拋物面天線的設計提供理論指導，且可以引入到其他星載天線的設計過程中。