一類欠驅動系統的模型參考自適應控制方法

楊鵬程，譚 鑫，鄭艷秋，黎 婧，蒲笑非，向思宇

（核反應堆系統設計技術重點實驗室，四川 成都 610213）

欠驅動系統的控制在工業上有著廣泛的應用。比如桁架機器人、起重設備和龍門吊車在工件移位、掛物運輸、懸臂抖動和液體晃動抑制等都是典型的欠驅動控制應用場景。此外，目前日益競爭激烈的工業機器人正在遍及不同的領域，以解決傳統工業環境中各種條件的限制問題，工業機器人在移動和搬運貯液容器的應用場景將會大量出現，所以對工業機器人末端平滑運動控制以及液體晃動抑制的應用也提出比較高的要求。本文以開放貯液容器運動控制為代表的一類欠驅動系統在保證貯液容器運動過程中快速、精確響應的同時對容器中液體的晃動抑制控制進行研究，對這一類欠驅動系統控制具有充分的理論研究意義和實際應用價值。

從上世紀六十年代開始，國內外研究者們就針對液體晃動抑制提出可行性的控制方法，Singer N C和Singhose W等人提出了基于輸入整形技術的晃動抑制控制方法，但是其方法對被控對象的數學模型要求嚴格并且在一定程度上延長響應時間。哈爾濱工業大學張龍等人在建立固液耦合動力學系統平衡點附近線性化模型的基礎上，提出一種基于觀測器的魯棒多目標控制系統抑制液體晃動。北京理工大學臧強對二維和三維液體的小幅晃動動力學和控制問題進行研究，分析高階模態對系統動力學的影響，使用基礎模態頻率和第三模態頻率作為設計參數設計復合控制器，進而能夠消除無窮模態的晃動。此外，還有一些學者在滑模控制和H-inf控制方面展開研究，且都需要先建立較為嚴格的數學模型，但是在實際中往往不能夠建立系統嚴格的數學模型。本文將基于模型參考自適應控制，對不能夠建立嚴格數學模型的液體晃動抑制這一類欠驅動系統進行研究。

1 基于Lyapunov穩定性的模型參考自適應控制方法

1.1 模型參考自適應控制方法設計

模型參考自適應控制（Model Reference Adaptive Control，MRAC），20世紀50年代后期發展起來的一類特殊的自適應系統，使被控對象在參數未知以及系統具有不可測的動態特性時仍然可以具有良好的控制性能。模型參考自適應控制中，最重要的創新點就是提出參考模型，把對控制對象的系統性能要求首先通過一個已知確定的模型來設計，且這個模型具有和被控對象相似的系統結構，把這個已知確定的模型稱作參考模型。同時把對參考模型的輸入也輸入到被控對象，然后根據穩定性設計的自適應律使被控對象的輸出快速跟蹤參考模型的輸出，使得被控對象滿足設計的系統性能要求。模型參考自適應控制的系統框圖如圖1所示。

圖1 模型參考自適應控制框圖

如圖1所示，設被控對象的狀態方程：

其中xp為n維的系統狀態向量，u為m維的輸入控制向量，且n和m都為已知常數，Ap和Bp分別為n×n系統矩陣和n×m輸入矩陣。設參考模型的狀態方程：

其中xm為n維的系統狀態向量，yr為m維的輸入控制向量，且n和m都為已知常數，Am和Bm分別為n×n系統矩陣和n×m輸入矩陣。現采用參數可調的前饋控制器K和反饋控制器F來調整被控對象的動態特性，且輸入u則：

其中K和F分別為m×m矩陣和m×n矩陣。為求自適應機構中的自適應律，定義廣義狀態誤差向量：

根據實際情況，選取Lyapunov函數：

其中，P為n×n維正定對稱矩陣，R1和R2為m×m維正定對稱矩陣，符號tr表示矩陣的跡。由于Am為穩定矩陣，則可以選擇正定對稱矩陣Q′，使得成立。工程上，Q′通常取為單位矩陣。所以式（5）也可為：

式（7）和式（8）即為液體晃動抑制模型參考自適應控制方法（MRAC）自適應機構的前饋控制器和反饋控制器的自適應參數調節規律。其中F（0）和K（0）為初值，和為m×m矩陣，主要是根據試驗來確定。

根據式（7）和式（8）確定的自適應參數調節規律在輸入連續時，該自適應系統是全局穩定的，即：

1.2 奇異系統矩陣參考模型的設計

本文研究對象為二維狀態下開放貯液容器的液體晃動抑制，采用擺動的小球來等效容器中晃動的液體，其小球及擺線晃動的角度θ及其對時間的微分可以表征液體晃動的程度，其等效力學模型如圖2所示。

根據圖2所示等效力學模型，根據參考文獻建立的狀態空間方程的系統矩陣：

圖2 液體晃動的等效力學模型

本文考慮的等效力學模型為參數已知的確定模型，其中yr為參考模型輸入項。然后可以根據二次最優控制方法（LQR）對本文中參數已知的確定模型進行二次最優設計，可以得到：

其中R為對應于系統輸入向量的權重矩陣且為n×m的實對稱半正定矩陣，G為由系統（A，B，C）設計的逆穩態增益，且G=-[C（A+R-1BTK）-1B]-1。Am滿足Re{eig（Am）}<0，即參考模型的系統矩陣Am特征根的實部均位于復平面的左半部分，保證參考模型的系統矩陣Am是穩定矩陣。

2 仿真研究與分析

根據1.2節設計的參考模型，結合基于輸入整形技術的PID控制方法進行仿真研究與特征對比分析，理想輸出的結果如圖3所示。

圖3 LQR控制方法與PID-ZVD控制方法響應的比較

系統的理想輸出即參考模型輸出的穩定時間相較于PID-ZVD控制方法增快0.895 s，增快36%，且液體的晃動程度都很小。

根據1.1節理論推導設計參考模型及自適應控制律，且被控對象系統參數未知，調節自適應參數可得到仿真結果如圖4所示MRAC控制方法中參考模型與被控對象的位置響應和速度響應誤差和如圖5所示MRAC控制方法中參考模型與被控對象的響應性能。整理仿真實驗數據，未知參數系統的響應的具體數值見表1。

圖4 參考模型與被控對象的位移響應和速度響應誤差

圖5 參考模型與被控對象的響應性能

結合表1所示實驗結果，通過模型參考自適應律對前饋控制器和反饋控制器的調節能夠使參數未知的被控對象很好地跟蹤參考模型的控制性能，具體表現：

表1 模型參考自適應控制的性能比較

（1）MRAC控制方法的系統穩定時間、最大瞬態晃動角度以及殘余晃動幅值均能較好地跟蹤參考模型的響應時間，即達到系統期望性能指標。

（2）MRAC控制方法相較于LQR控制方法的伺服電機最大驅動力較小。

通過對仿真數據的分析發現參數未知的被控制對象的未知誤差響應在穩態時小于1.0×10-5m能夠保證非常好的跟蹤性能。如圖6和圖7所示分別為MRAC控制方法中參考模型和被控對象的響應。

圖6 參考模型的響應

圖7 被控對象的響應

3 總結與展望

本文主要針對這一類欠驅動系統的各種不確定性，包括系統中的未建模動態、諸多的非線性現象以及系統在運行中的干擾，提出基于模型參考自適應晃動抑制控制方法，并在仿真中通過不同的系統參數來驗證控制算法的自適應性能。

本文提出的液體晃動抑制模型參考自適應控制方法（MRAC），對于奇異系統矩陣Lyapunov函數無解的情況，結合二次最優控制的參考模型設計方法，設計得到穩定的參考模型系統矩陣，為MRAC控制方法提供保證并且獲得期望的系統性能，系統響應性能快速跟蹤參考模型的響應性能。本文在二維環境中成功實現貯液容器位移的快速精確響應、液體的晃動抑制和系統輸入能量最小等運動過程中液體晃動抑制的多目標的優化，但在未來的研究工作及工業應用中推廣還需考慮三維環境中液體晃動抑制問題，并展開進一步的研究。