解答空間幾何體表面積與體積問題的三個路徑

梁亮亮

在做立體幾何練習題時，我們經常會遇到空間幾 何體的表面積和體積問題.這類問題的常見命題形式 是：（1）根據已知的邊角關系、三視圖，求空間幾何體的 表面積、體積及其最值；（2）根據空間幾何體的表面 積、體積，求幾何體的某一條邊長或某一個角的大小. 下面結合實例，談一談空間幾何體表面積與體積問題 的幾種解法.

一、公式法

公式法是運用柱體（棱柱和圓柱）、椎體（棱錐和圓 錐）、臺體（棱臺和圓臺）、球體的表面積和體積公式解 題的方法.要求我們熟記柱體的表面積公式S表面積=S側+2S底、 體積公式 V=Sh，椎體的表面積公式 S 表面積=S 側+S 底、體 積公式V = 1 3 Sh ，臺體的表面積公式S 表面積=S 側+S 上+S 下、 體積公式 V = 1 3 （S上 + S下 + S上S下 ）h ，球的表面積公式 S=4πR2 、體積公式 V = 4 3πR3 .根據幾何體的結構特征 和邊角關系，利用勾股定理、正余弦定理、三角形的面 積公式、矩形的面積公式等，求得棱柱、圓柱、棱錐、圓 錐、棱臺、圓臺的母線和高以及球的半徑，即可運用公 式法求得空間幾何體的表面積和體積.

例1

解：

公式法的應用范圍較廣，大部分空間幾何體的表 面積與體積問題都可采用公式法求解.

二、割補法

對于規則的棱柱、圓柱、棱錐、圓錐、棱臺、圓臺、 球體等，可直接運用其表面積公式和體積公式求解； 對于不規則的空間幾何體，需將其分割、補形為幾個 規則的棱柱、圓柱、棱錐、圓錐、棱臺、圓臺、球體，分別 求得其表面積和體積，再根據空間幾何圖形的特點， 做加法或減法，即可求得原幾何體的表面積和體積.

例2

解：

為了便于解題，需采用割補法，將三棱錐補形為 立方體，根據立方體的對角線為其外接球的直徑，來 建立關系式，這樣就容易求出三棱錐 P - DCE 的外接 球的半徑.通過補形，可將不規則、陌生的圖形轉變為 規則的、熟悉的圖形.

三、特殊位置法

特殊位置法是指根據題意和圖形，找到一些特殊 的位置，將復雜的問題簡單化.對于較為復雜的選擇、 填空題，或難以求得幾何體的表面積、體積問題，可采 用特殊位置法，將一些不確定、移動的點放置在圖形 中的特殊位置上，如中點、端點、垂點、中心、邊緣處的 點等，通過討論點在特殊位置的幾何體的表面積和體 積，求得問題的答案.

例3

解：

為了便于計算，我們將三棱柱 ABC - A1B1C1 看作 直棱柱，將 P、Q 看作對應側棱的中點，這樣便能快速 求得四棱錐 B - APQC 的體積.

可見，空間幾何體的表面積與體積問題的難度一般不大，同學們在解題時，只要熟練運用簡單空間幾 何體的表面積、體積公式，學會將不規則的幾何體進 行割補、作特殊化處理，便能靈活運用公式法、割補 法、特殊位置法等求得問題的答案.

（作者單位：江蘇省鹽城市響水中學）