求解圓錐曲線最值問題的思路

張靈

圓錐曲線最值問題的綜合性較強，且.解題過程中的運算量較大，對同學們的運算和綜合分析能力有較 高的要求.解答這類問題，往往需先根據題意，利用圓 錐曲線的方程、定義、幾何性質求得目標式，然后采用 相應的技巧求目標式的最值.那么如何求目標式的最 值呢？主要有三種思路：構造函數、利用基本不等式、 運用幾何圖形的性質.下面結合實例來進行探討.

一、構造函數

對于一些與動點、動直線有關的圓錐曲線最值問 題，可先設出動點的坐標或動直線的方程，并根據題 意求得目標式的表達式；然后將目標式看作關于x或y 的函數式，便可利用一次函數、二次函數等的單調性 求得函數的最值.

例1

解：

解答本題，需先設出點P、A的坐標以及直線AP的方程；然后根據韋達定理、弦長公式、點到直線的距 離公式求得 |PA|?|PQ| 的表達式，并構造函數，便可將 問題轉化為關于 k 的函數最值問題；再運用導數法求 得函數的最值，就可以順利求得問題的答案.

二、利用基本不等式

a、b > 0 ，則 a + b ≥ 2 ab ，該式稱為基本不等 式.運用基本不等式求解圓錐曲線最值問題，需先確定 變量，將目標式轉化為關于該變量的式子；然后根據 目標式的結構特點，將其配湊成兩式的和或積，并使 其中之一為定值，即可根據基本不等式求得最值.

例2

解：

我們需先根據韋達定理、兩點間的距離公式、點 到直線的距離公式求得△OEF 面積的表達式.而該式 為 λ2 、4 - λ2 的積，且 λ2 、4 - λ2 的和為定值4，再利用 基本不等式即可求得目標式的最值.

例3

解：

我們首先根據雙曲線的定義建立 a 、b 的關系 式，然后根據直線的斜率公式求得目標式的表達式.而 該式為 a + 2、16 a + 2 的和，且其積為定值，這便為運用基本不等式創造了條件，運用基本不等式即可求得直 線斜率的最大值.在運用基本不等式求得最值后，還需 檢驗等號是否成立.

三、利用幾何圖形的性質

在求解圓錐曲線最值問題時，經常要用到幾何圖 形的性質，如（1）三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊 之差小于第三邊；（2）雙曲線無限接近于漸近線；（3） 切線到圓心的距離最近；（4）點到直線的距離即為過 該點作的垂線段的長.利用幾何圖形的性質求解圓錐 曲線最值問題，往往要靈活運用圓錐曲線的定義、圓 錐曲線與直線的位置關系.

例4

解：

我們根據橢圓的定義得 |PF | 1 + |PF | 2 = 6 ，將問題 轉化為求 |PA| - |PF | 2 的最大值；然后在△PAF2 中，根 據 三 角 形 的 兩 邊 之 差 小 于 第 三 邊 的 性 質 ，確 定 |PA| - |PF | 2 取最值的情形：A、F2、P′ 三點共線，據此 建立關系式，即可求得最值.

在解答圓錐曲線最值問題時，同學們需注意三 點：（1）選擇合適的變量，并確定變量的取值范圍；（2） 根據目標式的結構特點，將問題轉化為關于某個變量 的最值問題；（3）靈活運用函數的單調性、基本不等 式、平面幾何圖形的性質求最值.

（作者單位：山東省濟寧市魚臺縣第一中學）