例談兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用技巧

劉慧

若 A（x1，y1）、B（x2，y2），則 AB = （x1 - x2） 2 + （y1 - y2） 2 ， 該公式稱為兩點(diǎn)間的距離公式.兩點(diǎn)間的距離公式是 解析幾何中重要的解題“工具”，在解題中應(yīng)用廣泛.下 面結(jié)合實(shí)例來(lái)談一談兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用技巧.

一、求點(diǎn)的坐標(biāo)

兩點(diǎn)間的距離公式說(shuō)明了兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)之間的 關(guān)系.在由一段距離求其中一個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，我們可 借助兩點(diǎn)間的距離公式，建立關(guān)于這個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)的 方程，通過(guò)解方程求得點(diǎn)的坐標(biāo).

例1

解：

由于已知 |PA| = 3|PB| 以及點(diǎn) A、B 的坐標(biāo)，所以可 設(shè)出 P（a，b） ，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式建立關(guān)于 x、y 的 方程，據(jù)此可求得點(diǎn) P 的坐標(biāo).

二、證明三點(diǎn)共線

證明三點(diǎn)共線問(wèn)題比較常見(jiàn).求解此類問(wèn)題，可利 用兩點(diǎn)間的距離公式分別求得其中任意兩點(diǎn)間的距 離，使得其中兩條較短的線段之和等于較長(zhǎng)的線段 長(zhǎng)，便可證明三點(diǎn)共線.

例2

證明：

三條線段中的兩條線段之和等于第三條線段的 長(zhǎng)，則此三點(diǎn)必共線.解答本題，只需利用兩點(diǎn)間的距 離公式證明 |AB| + |AC| = |BC| 即可.

三、求解與線段長(zhǎng)有關(guān)的平面幾何問(wèn)題

解答與線段長(zhǎng)有關(guān)的平面幾何問(wèn)題，往往要將數(shù) 形結(jié)合起來(lái)，通過(guò)建立合適的平面直角坐標(biāo)系，求得 或設(shè)出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可利用兩點(diǎn)間的距離公式求 出各條線段的長(zhǎng).

例3

證明：

先根據(jù)已知圖形的特點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系， 分別寫出或設(shè)出O、A、B、C四點(diǎn)的坐標(biāo)；然后利用兩點(diǎn) 間的公式求出 |AB|、|AC|、|AO|、|OC| ，即可證明結(jié)論.對(duì) 于某些與線段長(zhǎng)有關(guān)的平面幾何問(wèn)題，若容易建立平 面直角坐標(biāo)系，并容易寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，則可以考 慮利用兩點(diǎn)間的距離公式來(lái)建立等量關(guān)系.在解答此 類問(wèn)題時(shí)，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，可使問(wèn)題快速獲 解.

四、求無(wú)理函數(shù)的最值

有些無(wú)理函數(shù)的根號(hào)下的式子是二次函數(shù)式，經(jīng) 過(guò)配方后，把它看成兩點(diǎn)間的距離，就可以利用兩點(diǎn) 間的距離公式和平面幾何圖形的性質(zhì)來(lái)求最值.

例4

解：

函數(shù)式中的兩個(gè)根式可配湊成兩個(gè)完全平方式 的和，于是根據(jù)其幾何意義，將其看作兩點(diǎn)間的距離， 構(gòu)造出幾何圖形，利用三角形的兩邊之和大于第三邊 的公理和兩點(diǎn)間的距離公式，即可求得無(wú)理函數(shù)式的 最小值.

五、證明無(wú)理不等式

對(duì)于某些無(wú)理不等式，若根號(hào)下的式子可以看成 兩點(diǎn)間的距離，則可以從它的幾何意義入手，通過(guò)構(gòu) 建平面直角坐標(biāo)系，利用兩點(diǎn)間的距離公式來(lái)建立等 量關(guān)系式，把無(wú)理不等式證明問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何最 值問(wèn)題，利用平面幾何圖形的性質(zhì)加以證明.

例5

證明：

觀察所要證明的不等式，可以發(fā)現(xiàn)該式可看作兩 點(diǎn)間的距離的開方，于是構(gòu)造幾何圖形，利用三角形 三邊之間的關(guān)系來(lái)建立不等關(guān)系式，借助兩點(diǎn)間的距 離公式證明結(jié)論.若代數(shù)式中出現(xiàn)兩組完全平方式的 和，則可從其幾何意義入手，將其看作兩點(diǎn)之間的距 離，借助兩點(diǎn)之間的距離和平面幾何圖形的性質(zhì)來(lái)求 解，就會(huì)達(dá)到出奇制勝的效果.

從以上分析可以看出，兩點(diǎn)間的距離公式看似很 簡(jiǎn)單，在解題中應(yīng)用卻十分廣泛.運(yùn)用該公式，可以求 點(diǎn)的坐標(biāo)，證明三點(diǎn)共線，證明與線段長(zhǎng)有關(guān)的平面 幾何問(wèn)題，求無(wú)理函數(shù)最值，證明無(wú)理不等式，等等.同 時(shí)，我們也可以看出，無(wú)論解答何種解析幾何問(wèn)題，都 需將數(shù)形結(jié)合起來(lái)，這樣才能有效地提升解題的效率.

（作者單位：江蘇省淮安市楚州中學(xué)）