靈活換元，提升解代數(shù)式題的效率

江春宇

換元法是解答高中數(shù)學問題的常用方法，是指引 入一個或幾個新變量，并將問題中的某個變量或某個 式子替換，通過等量代換求得問題的答案.運用換元法 解題，關(guān)鍵是找到合適的變量和式子進行換元，以將 問題簡化.下面，主要談一談三種換元的技巧.

一、三角換元

三角換元，是指用三角函數(shù)進行換元.若題目中出 現(xiàn)平方式、根式、倒數(shù)式，往往可通過三角換元來求得 問題的答案.運用三角換元法解題，要根據(jù)同角的三角 函數(shù)關(guān)系式 sin2 α + cos 2 α = 1 ，令變量為 sin2 α、cos 2 α、 sin α、cos α ，再將其代入目標式中，便可將問題轉(zhuǎn)化為 三角函數(shù)問題，利用三角函數(shù)的基本公式、性質(zhì)來求 得問題的答案.

例1

解：

目標式中含有根式，于是令 x = 3sin α、y = 2 sin β， 通過三角換元，將目標式轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)式；再通過 三角恒等變換，將三角函數(shù)式化為正弦函數(shù)式，便可 利用正弦函數(shù)的有界性來求得目標式的最值.在進行 三角換元的過程中，要關(guān)注角的取值范圍.

二、局部換元

局部換元，是指將問題中代數(shù)式的某一部分用一 個新變量替換.換元的式子往往是根號下的式子、絕對 值內(nèi)部的式子、冪函數(shù)式的指數(shù)、對數(shù)函數(shù)式的真數(shù)、 問題中多次出現(xiàn)的式子等.在換元的過程中要注意確 保新舊元的等價性.

例2

解：

在該不等式中，log2 2a a + 1 出現(xiàn)多次，于是將其用 新變量 t 替換，通過局部換元，使不等式簡化，將不等 式轉(zhuǎn)化為了關(guān)于 t 的不等式.

三、均值換元

進行均值換元，需利用兩個變量的平均值進行換元. 一般地，若 x + y = 2S，則可引入新變量 t，使 x = S - t、 y = S + t .通過均值換元，便能將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于 t 的函 數(shù)、不等式、方程問題來求解.在換元前后，要確保定義 域、自變量取值范圍是等價的.

例3

解：

解答本題，要抓住關(guān)鍵信息 S = x 2 + y2 ，確定均值 S 2 ，引入新變量t，通過均值換元，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于t 的方程問題；再根據(jù)完全平方式恒大于或等于0的性 質(zhì)，建立關(guān)于S的不等式即可解題.

由此可見，三角換元、局部換元、均值換元的特 點、適用情形各不相同.同學們在解題時，要注意根據(jù) 代數(shù)式的結(jié)構(gòu)、特點，進行合理的換元.這樣才能有效 地簡化代數(shù)式，提升解題的效率.

（作者單位：江蘇省南通市海門證大中學）