求解多元函數(shù)最值問題的兩種途徑

崔勝軍

思路探尋 多元函數(shù)最值問題中涉及了多個變量，采用常規(guī) 的方法求解，很難獲得問題的答案.此時，我們需通過 消元、換元，來減少問題中變量的個數(shù)，將多元函數(shù)最 值問題轉(zhuǎn)化為簡單的、常規(guī)的一元函數(shù)最值問題來求 解.下面談一談求解多元函數(shù)最值問題的兩種途徑：消 元、換元.

一、消元

所謂消元，是指根據(jù)變量之間的關(guān)系或關(guān)系式， 用其中一個變量表示其他變量，以消去其他的變量.在 求解多元函數(shù)最值問題時，需先根據(jù)題意，尋找變量 之間的關(guān)系；然后通過消元，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個 變量的最值問題；再運用簡單基本函數(shù)的單調(diào)性、基 本不等式、導(dǎo)數(shù)法、配方法等求得函數(shù)的最值.

例1

解：

我們首先將已知關(guān)系式變形，即用y表示x，并將 其代入目標(biāo)式中，便可將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為只含一個元y 的式子；再將其變形，配湊為兩式 y - 1、 4 y - 1 的和，而 其積為定值，便可利用基本不等式求得最值.

例2

解：

為了消元，將 x 2 y + xy2 - 4 = 0 看作關(guān)于 x 的一元 二次方程，根據(jù)求根公式求得x的表達式，并將其代入 目標(biāo)式中，便將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的一元函數(shù)式，再 利用基本不等式求得函數(shù)的最值.

二、換元

有些問題沒有給出變量之間的關(guān)系式，此時需通 過換元來求多元函數(shù)的最值.運用換元法來求解多元 函數(shù)的最值，需先根據(jù)題意找到合適的式子進行換 元，而該式必須含有幾個變量，如令 t = x y 、t = x - y 等，這樣便可用新元替換原來的幾個變量，將多元函 數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為一元最值問題，再根據(jù)基本函數(shù)的 單調(diào)性、基本不等式、導(dǎo)數(shù)法、配方法等求最值即可.

例3

解：

先將目標(biāo)式變形，可發(fā)現(xiàn)該式中多次出現(xiàn) y x ，于 是令 t = y x （t > 0） ，通過換元，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一 元函數(shù)式，再利用基本不等式求解.

可見，換元法和消元法均是解答多元函數(shù)的最值 問題的有效方法，雖然其解題思路有所不同，但目的 都是一樣的，即通過減元，將問題轉(zhuǎn)化為簡單的、常見 的函數(shù)最值問題.

（作者單位：甘肅省天水市第三中學(xué)）