破解圓錐曲線中取值范圍問題的三個“妙招”

徐應建

圓錐曲線問題的考查方式很多，如求圓錐曲線的 方程，求圓錐曲線上的點到直線的最小距離，求某個 動點的軌跡方程，求某個目標式的取值范圍等.其中， 圓錐曲線中的取值范圍問題較為復雜，且具有較強的 綜合性，在解答時，通常需利用圓錐曲線的方程、幾何 性質，并結合平面幾何圖形的性質、直線與圓錐曲線 的位置關系、方程的判別式、函數的單調性、基本不等 式等.下面，結合實例來談一談求解圓錐曲線中取值范 圍問題的三種個“妙招”.

一、巧用判別式求解

圓錐曲線均為二次曲線，其方程也均為二次方程. 在求解圓錐曲線中的取值范圍問題時，可通過聯立方 程組、消元、換元、設元等方式，構造一元二次方程；再 根據直線與圓錐曲線的交點的個數，明確方程的解的 個數，建立有關判別式的不等式；最后解關于參數的 不等式，即可求得問題的答案.

例1

解：

要求參數m的取值范圍，需先求出點A、B的坐標 以及直線 l 的方程；然后將直線與橢圓的方程聯立，通 過消元，構造一元二次方程；再根據直線與橢圓有兩 個交點，建立有關判別式的不等關系式 Δ > 0 ，即可得 到有關參數 m 的不等式.

二、根據函數的性質求解

有些圓錐曲線中的取值范圍問題較為復雜，在求 得目標式后，仍無法求得其取值范圍，此時，可將目標 式看作關于某個變量的函數式，對其進行適當的變 形，將其轉化為一次函數、二次函數、對勾函數，以利 用一次函數、二次函數、對勾函數的單調性來求得函 數的最值，進而求得目標式的取值范圍.

例2

解：

根據韋達定理和三角形的面積公式求得△ BOM 面積的表達式，可發現該式可變形為對勾函數的形 式，于是利用對勾函數的單調性求得函數的最值，進 而求得△ BOM 面積的取值范圍.

例3

解：

根據已知條件，求得關于t的關系式后，構造出關 于 x0 的函數，便可將取值范圍問題轉變為一次函數的 最值問題，根據一次函數的單調性解題.

三、利用基本不等式求解

若 a、b > 0 ，則 a + b ≥ 2 ab ，該式稱為基本不等 式.運用基本不等式求解圓錐曲線中的取值范圍問題， 通常需在求得目標式后，根據其結構特點，將其進行 適當的變形，如湊系數、添項、去項等，以配湊出兩式 的和或積，并使其中之一為定值，這樣便可運用基本不 等式求得目標式的最值或取值范圍.值的注意的是，在 求得最值后，還需驗證等號成立的情況是否滿足題意.

例4

解：

解答本題，需先通過向量運算，根據三角形的面 積公式求得 △ABO 與 △AFO 面積的表達式；再通過 化簡變形，將該式化為兩式之和，其積為定值的形式， 便可運用基本不等式，順利求得 △ABO 與 △AFO 面 積之和的取值范圍.

通過上述分析可以發現，求解圓錐曲線中的取值 范圍問題，需根據已知條件和所求的目標式或關系式 的特點來構造一元二次方程、函數、不等式，將問題轉 化為一元二次方程、函數、不等式問題，以利用判別 式、函數的單調性、基本不等式來求目標式的取值范 圍.

（作者單位：安徽省桐城市江淮工業學校）