由一道題談?chuàng)Q元的幾種技巧

黃淑敏

換元法，也叫變量代換法，或輔助元法，我們?cè)诮?數(shù)學(xué)題時(shí)常要用到它.運(yùn)用換元法，能使復(fù)雜問(wèn)題變得 簡(jiǎn)單，陌生問(wèn)題變成熟悉問(wèn)題，非常規(guī)問(wèn)題變?yōu)槌Ｒ?guī) 問(wèn)題，這樣便為我們解題打開(kāi)了一條“綠色通道”.那么 如何進(jìn)行換元呢？我們先來(lái)看一個(gè)例子.

一、題目及其解析

例1

解析：本題是一道最值問(wèn)題，看似較為簡(jiǎn)單，其實(shí) 較為復(fù)雜.解題的關(guān)鍵是將已知的關(guān)系式進(jìn)行合理變 換，通過(guò)三角換元求得 x 2 + y2 的最值.

解：

顯然這種換元思路比三角換元更勝一籌.通過(guò)合 理?yè)Q元，可把復(fù)雜的代數(shù)式轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的代數(shù)式，將 復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，這就是換元法的魅力 所在.

二、換元的幾種思路

1.局部換元

局部換元是常用的換元思路，是指把某個(gè)代數(shù)式 或其中某一部分看成一個(gè)“整體”，用一個(gè)字母來(lái)代 替，從而使原問(wèn)題簡(jiǎn)化.運(yùn)用局部換元法解題的關(guān)鍵是 找到合適的式子進(jìn)行換元，有時(shí)候我們要通過(guò)適當(dāng)?shù)?變形，才能發(fā)現(xiàn)這個(gè)“整體”.

例2

解：

本題主要考查了指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性 質(zhì)以及圖象.為了求得最值，需令 t = 2x + 1 ，n = 2x ，通 過(guò)兩次局部換元，將原函數(shù)化成我們熟悉的對(duì)勾函 數(shù)，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)就很容易求出最值.

例3

解：

令 t = sin θ - cos θ ，通過(guò)局部換元，消去參數(shù) θ ，便 能將非常規(guī)的三角函數(shù)最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最 值問(wèn)題.解題時(shí)應(yīng)特別注意新元的取值范圍.

2.三角換元

所謂三角換元，是指將某個(gè)式子用三角函數(shù)替換， 把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問(wèn)題來(lái)求解.根據(jù)同角的三角函 數(shù)關(guān)系式 sin2 θ + cos 2 θ = 1 ，通常可令變量 x = sin2 θ 、 x = sin θ 、y = cos 2 θ ，通過(guò)三角換元，可將函數(shù)式轉(zhuǎn)化為 三角函數(shù)式，以利用三角函數(shù)的有界性和單調(diào)性求得 問(wèn)題的答案.

例4

解：

在選取新元時(shí)，要關(guān)注角的取值范圍，保證函數(shù) 的定義域不變，通過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)換，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函 數(shù)問(wèn)題來(lái)求解.同時(shí)也要盡量保證根式為正數(shù)，這樣可 避免去掉絕對(duì)值符號(hào)時(shí)的分類(lèi)討論.

例5

解：

解答本題，本質(zhì)上是利用了橢圓的參數(shù)方程，通過(guò) 引入?yún)?shù) θ ，將橢圓最值問(wèn)題轉(zhuǎn)為三角函數(shù)最值問(wèn)題.

例6

解：

進(jìn)行三角換元前，必須深入挖掘題目中的隱含條 件，將其與同角的三角函數(shù)關(guān)系式關(guān)聯(lián)起來(lái)，合理進(jìn) 行換元，便可將問(wèn)題順利轉(zhuǎn)化，從而快速求得問(wèn)題的 答案.

3.均值換元

均值換元是指利用一個(gè)新元來(lái)溝通原來(lái)兩個(gè)量之 間的關(guān)系，通過(guò)換元，來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算.對(duì)于形如 x + y = 2S 的關(guān)系式，可設(shè) x = S + t，y = S - t ，其中 S 是 x，y 的平均 值，t 是新元，這樣便可將二元變量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元變 量問(wèn)題，從而達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的效果.

例7

解：

根據(jù) A + C = 120° 進(jìn)行均值換元，便將問(wèn)題變?yōu)?簡(jiǎn)單的三角函數(shù)問(wèn)題.若題目中出現(xiàn)兩個(gè)變量 x，y ，可 以設(shè) x = a + b，y = a - b ，這稱為“和差換元法”，該換元 思路和均值換元思路類(lèi)似，

例8

解法一：

解法二：

比較兩種解法，不難發(fā)現(xiàn)解法2優(yōu)于解法1.解法2 采用了均值換元法，將二元一次函數(shù)轉(zhuǎn)化成一元二次 函數(shù)，從而將陌生問(wèn)題化為熟悉問(wèn)題.

綜上所述，換元法是一種重要的解題方法，無(wú)論 是局部換元、三角換元，還是均值換元，在解題中都能 起到化繁為簡(jiǎn)，化陌生為熟悉的作用.在解題時(shí)，同學(xué) 們一定要注意這種方法的合理應(yīng)用，選取合適的部分 或式子進(jìn)行換元，以簡(jiǎn)化運(yùn)算，提升解題的效率.

（作者單位：福建省漳州市第三中學(xué)）