選用合適的方法，提升求三角函數最值的效率

劉海燕

三角函數最值問題比較常見，但具有較強的綜合 性，此類問題不僅考查三角函數的基本公式、圖象、性 質，還考查求最值的方法.下面，筆者結合例題，介紹三 種求解三角函數最值問題的方法.

一、配方法

配方法常適用于求形如 y = a sin2 x + b sin x + c 或 y = a cos 2 x + b cos x + c（a，b，c均為常數） 的三角函數式的 最值.運用配方法求三角函數的最值，需將 sin x 或 cos x 視為自變量，將函數式看作二次函數，把函數式 配 方 為 y = a（sin x + b） 2 + c 或 y = a（ cos x + b） 2 + c 的 形 式，再根據二次函數和正余弦函數的性質求出三角函 數的最值.

例1

解：

該函數式中含有 sin x 、cos x ，且為二次式，于是 利用同角的三角函數關系 sin2 x + cos 2 x = 1 ，將函數式 中的函數名稱統一，然后將函數式轉化只含有 cos x 的二次函數式，再對其進行配方，便可根據二次函數 的性質求得函數的最值.

二、基本不等式法

基本不等式法是運用基本不等式：a + b ≥ 2 ab （a，b ∈ R? ）求最值的方法.運用基本不等式求最值需要 滿足三個條件：（1）各項均為正值；（2）各項的和或積 為定值；（3）取等號時不等式一定成立.基本不等式法 主要適用于求幾個式子的和或積的最值.

例2

解：

解答本題，需先從所求的目標函數出發，通過三 角恒等變換，配湊出兩項之積，并使其和為定值，進而 運用基本不等式求得三角函數的最值.

三、化一法

化一法主要適用于求解函數式中同時含有 sin x 、 cos x 的三角函數最值問題.用化一法求三角函數的最 值，需先利用三角恒等變換技巧及輔助角公式把三角函 數式化為 y = A sin（ωx + ?）+t 或 y = A cos（ωx + ?）+t 的形 式，再利用正弦函數與余弦函數的圖象與性質求最值.

例3

解：

將該函數式變形可得到同時含有 sin x 、cos x 的 三角函數式，于是采用化一法，利用輔助角公式，將函 數式化為只含有正弦函數的式子，便可根據正弦函數 的有界性和單調性求得最值.

三角函數最值問題的類型很多，涉及的知識面較 廣，求解方法靈活多變，因此同學們要根據三角函數 式的結構特點，選擇合適的方法和公式來求解.

（作者單位：江蘇省鹽城市大豐區新豐中學）