也談中學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

摘 要：數(shù)學(xué)是學(xué)生學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)性學(xué)科，是義務(wù)教育不可缺少的重要的課程。數(shù)學(xué)教師應(yīng)透徹理解與詮釋數(shù)學(xué)學(xué)科的基本內(nèi)涵，特別是在當(dāng)前“雙減”政策背景下探討數(shù)學(xué)課程教學(xué)的內(nèi)容，創(chuàng)新數(shù)學(xué)教學(xué)方法。文章從數(shù)學(xué)是什么、數(shù)學(xué)學(xué)什么、數(shù)學(xué)怎樣學(xué)三個(gè)角度探討中學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，提出更新觀念、養(yǎng)成習(xí)慣、巧學(xué)解題、獨(dú)立思考、精讀教材五個(gè)實(shí)用的中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，以供參考。

關(guān)鍵詞：中學(xué)數(shù)學(xué);課程內(nèi)容;學(xué)習(xí)方式

作者簡介：黃先利（1973—），男，湖南省常德市桃源縣教師進(jìn)修學(xué)校。

不少學(xué)生認(rèn)為在中學(xué)階段所學(xué)科目中最令人頭痛的就是數(shù)學(xué)，甚至有少數(shù)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)感到迷茫，毫無頭緒，產(chǎn)生嚴(yán)重的畏懼心理。為什么會出現(xiàn)這樣的狀況？筆者認(rèn)為，最主要的原因是他們對“數(shù)學(xué)是什么？學(xué)什么？怎么學(xué)？”這些問題認(rèn)識不清。在當(dāng)前“雙減”政策背景下探討數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)涵，探討課程教學(xué)的內(nèi)容，創(chuàng)新數(shù)學(xué)教學(xué)方法，應(yīng)是數(shù)學(xué)教師學(xué)科研究的重點(diǎn)。

一、數(shù)學(xué)是什么

數(shù)學(xué)是什么？我們或許可以將其理解為一種游戲，相對于象棋、籃球等游戲，它只不過是更為復(fù)雜、更為有用而已。數(shù)學(xué)由數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)思想方法及數(shù)學(xué)思維活動(dòng)組成[1]。數(shù)學(xué)中的公理、定義、定理、法則、公式、性質(zhì)等都是學(xué)生要學(xué)習(xí)的知識，其作用就像游戲里的游戲規(guī)則一樣。數(shù)學(xué)語言分為文字?jǐn)⑹稣Z言、符號語言和圖形語言，具有準(zhǔn)確、嚴(yán)密、簡明等特征，是表述數(shù)學(xué)知識的工具，也屬于游戲規(guī)則的范疇[2]。

數(shù)學(xué)思想方法是對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的認(rèn)識，是從具體的數(shù)學(xué)知識和解決問題的過程中提煉出的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，如換元法、數(shù)形結(jié)合、分類討論等，它是數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，更是測試的重點(diǎn)，它就好比游戲里的游戲技巧。

數(shù)學(xué)思維活動(dòng)是指學(xué)習(xí)者發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識、運(yùn)用數(shù)學(xué)語言、運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法的過程，如觀察、猜想、歸納總結(jié)等，它是數(shù)學(xué)的靈魂與根本。數(shù)學(xué)是關(guān)于思維活動(dòng)的科學(xué)，是思維的體操與藝術(shù)。

二、數(shù)學(xué)該學(xué)什么

（一）明確學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思想方法

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，思想方法發(fā)揮著關(guān)鍵性的作用，其包括數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法兩方面。其中，數(shù)學(xué)思想為學(xué)生的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)提供指引，中學(xué)數(shù)學(xué)中比較常用的數(shù)學(xué)思想有字母代數(shù)的思想、函數(shù)的思想、方程的思想、轉(zhuǎn)化的思想、數(shù)形結(jié)合的思想等。數(shù)學(xué)方法則是數(shù)學(xué)問題解決過程中具體的實(shí)施手段，主要包括觀察與實(shí)驗(yàn)、類比與聯(lián)想、分析與綜合、歸納與演繹、一般與特殊等等。

理解、掌握和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)。一方面，數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的重要內(nèi)涵，數(shù)學(xué)教材的每一章乃至每道題，都體現(xiàn)著數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和數(shù)學(xué)思想方法的有機(jī)結(jié)合;另一方面，我們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)如果不注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)，只是死記數(shù)學(xué)知識，就好像軍隊(duì)只注重購買尖端武器，而不去學(xué)習(xí)使用方法一樣。

而在實(shí)際的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，由于能力、心理發(fā)展的限制，部分學(xué)生往往只重視數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)，而忽視這些知識之間的聯(lián)系，以及由此產(chǎn)生的解決問題的方法與策略，即使有所涉及，也處于朦朦朧朧的狀態(tài)。如不少學(xué)生把換元法當(dāng)成解題步驟來記憶，未能領(lǐng)會換元法的實(shí)質(zhì)是通過換元將一個(gè)復(fù)雜問題分解成兩個(gè)（也是兩個(gè)步驟）簡單問題來解決。這樣，在需要運(yùn)用換元法時(shí)，如果題目上有要求，學(xué)生就能正確做出，而當(dāng)題目上沒有注明要求時(shí)，有些學(xué)生就不知道要用換元法。讓學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法的意義在于，促成其對正確方法的盲目地、不自覺地模仿應(yīng)用向有意識地、自覺地應(yīng)用轉(zhuǎn)化。

（二）把握學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思維活動(dòng)

正如著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生所說：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最好到數(shù)學(xué)家的紙簍里找材料，不要只看書上的結(jié)論，他在書上寫給你看的結(jié)論不過兩三行，可是他在寫出這個(gè)兩三行以前，不知花了多少心血，經(jīng)歷了多少困難和挫折，稿紙不知用了多少張，他成功的歷程，就是由這些稿紙記錄下來的。”這段話既表明了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的重要性，也指明了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的方向。數(shù)學(xué)素養(yǎng)的核心是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，數(shù)學(xué)的教與學(xué)是一個(gè)過程，其核心是數(shù)學(xué)教材作者的思維活動(dòng)過程、數(shù)學(xué)教師的思維活動(dòng)過程、學(xué)生本人的思維活動(dòng)過程的有機(jī)結(jié)合[3]。因此，學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂上必須專心致志地聽課，理解教師傳授的知識內(nèi)容。

三、數(shù)學(xué)該怎么學(xué)

（一）更新觀念

部分人錯(cuò)誤地認(rèn)為，學(xué)好數(shù)學(xué)要有天賦，要聰明，實(shí)際上在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，勤奮遠(yuǎn)比聰明更有價(jià)值，也更為重要。

那么，為什么會有較多的學(xué)生沒學(xué)好數(shù)學(xué)呢？首先，相對其他學(xué)科，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅具有一般的學(xué)習(xí)特點(diǎn)，還具有以下三大特點(diǎn)：第一，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有很強(qiáng)的連續(xù)性，許多體系的知識就像珍珠鏈一樣，如果某一個(gè)知識點(diǎn)未掌握，就會影響后續(xù)知識點(diǎn)的學(xué)習(xí);第二，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要較強(qiáng)的抽象概括能力;第三，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的再創(chuàng)造（主要指知識的靈活運(yùn)用）相比其他學(xué)科要求更高。其次，數(shù)學(xué)知識的難度是跳躍式上升的，而不是直線式均勻上升的。假設(shè)小學(xué)數(shù)學(xué)的難度系數(shù)是1，則初中為5，高中為50。初中階段一開始學(xué)習(xí)的“用字母表示數(shù)”與“有理數(shù)的運(yùn)算”知識的難度相對于小學(xué)來說，就有了跳躍性的提升，尤其是有理數(shù)的運(yùn)算，它是一種結(jié)構(gòu)運(yùn)算，要先確定符號部分，再確定數(shù)字部分，這相對于小學(xué)的算術(shù)來說，確實(shí)復(fù)雜多了。因此，初中數(shù)學(xué)很容易讓部分學(xué)生產(chǎn)生畏難心理，從而影響學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。

（二）養(yǎng)成習(xí)慣

良好的學(xué)習(xí)態(tài)度和學(xué)習(xí)習(xí)慣是學(xué)好數(shù)學(xué)的基石。在談到如何才能學(xué)好數(shù)學(xué)時(shí)，許多數(shù)學(xué)家都不約而同地強(qiáng)調(diào)，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中要重視培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)態(tài)度和學(xué)習(xí)習(xí)慣。周伯塤教授指出，學(xué)數(shù)學(xué)是沒有捷徑的，學(xué)數(shù)學(xué)必須按部就班、認(rèn)認(rèn)真真地學(xué)習(xí)，用大而化之、囫圇吞棗的態(tài)度是絕對學(xué)不好數(shù)學(xué)的。楊東先生認(rèn)為，在學(xué)習(xí)中要堅(jiān)持長期不懈的努力，要有正確的態(tài)度并持之以恒，才能達(dá)到光輝的頂點(diǎn)。華羅庚先生在《和同學(xué)們談?wù)剬W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)》中說：“我在小學(xué)里，數(shù)學(xué)勉強(qiáng)及格。初中一年級的時(shí)候，也不見得好。到了初中二年級才有了根本上的改變，因?yàn)槲夷菚r(shí)認(rèn)識了這一點(diǎn)，學(xué)習(xí)就是艱苦的努力，只要刻苦鉆研，不怕困難，就沒有解決不了的問題。旁的同學(xué)用一小時(shí)能解決的問題，我就準(zhǔn)備用兩個(gè)小時(shí)解決。”

由此可知，任何一個(gè)好習(xí)慣的形成，都要靠堅(jiān)強(qiáng)的意志、嚴(yán)格的要求和努力的實(shí)踐。例如，要養(yǎng)成中小學(xué)生做作業(yè)前先復(fù)習(xí)好當(dāng)天功課的習(xí)慣，教師和家長就要在孩子們每次寫作業(yè)前，嚴(yán)格要求他們先復(fù)習(xí)當(dāng)天的功課，并長期堅(jiān)持下去，逐漸使他們形成一種自主的學(xué)習(xí)習(xí)慣。若沒有嚴(yán)格要求、嚴(yán)格訓(xùn)練，學(xué)生在反復(fù)實(shí)踐的過程中就會出現(xiàn)許多例外，如今天作業(yè)太多，就例外不先復(fù)習(xí);明天過生日，為了慶祝就例外不先復(fù)習(xí);后天由于勞動(dòng)太累，想早點(diǎn)休息和睡覺，就例外不先復(fù)習(xí);等等。有了這些例外，學(xué)生不僅不能形成“先復(fù)習(xí)，后寫作業(yè)”的良好習(xí)慣，甚至有可能形成“不復(fù)習(xí)，亂寫作業(yè)”的惡習(xí)。

（三）巧學(xué)解題

重視解題與學(xué)會解題是學(xué)好數(shù)學(xué)的必由之路[4]。解題是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要活動(dòng)，數(shù)學(xué)成績是實(shí)踐出來的，而不是聽出來的。 在當(dāng)前“雙減”政策背景下，教師不能實(shí)施“題海戰(zhàn)術(shù)”，但也不能不讓學(xué)生訓(xùn)練。從本質(zhì)上說，教師教數(shù)學(xué)在很大程度上跟教練帶運(yùn)動(dòng)員相似，其主要任務(wù)是組織實(shí)施系統(tǒng)的、有效的、適量的訓(xùn)練。在做題的問題上，我們要弄清楚三個(gè)問題：做什么樣的題？做多少題？怎樣做題？

第一，要重視解題之前的分析過程。學(xué)生要學(xué)會分析已知條件、所求（或所證）問題的特征、所給條件之間的聯(lián)系、所需解決問題的類型、相關(guān)知識點(diǎn)等等。

第二，要重視解題之后的反思過程。學(xué)生在解題之后，首先要進(jìn)行歸納總結(jié)，分析本題運(yùn)用了哪些知識點(diǎn)、哪些數(shù)學(xué)思想方法、哪些思維模式等，同時(shí)分析解題過程中，自己在哪里遇到了困難，又是如何克服困難的，為什么會感到困難等;然后，要進(jìn)行升華，思考本題是否還有其他解法，哪種解法更好，本題結(jié)論是否可以修改，條件是否可以變動(dòng)，變動(dòng)了會怎樣，本題是否可以一般化，是否有其他變式等;最后，要學(xué)會欣賞，探討本題最吸引人的點(diǎn)以及出題者的用意等。

學(xué)生學(xué)會了解題之前的分析過程和解題之后的反思過程，才算懂得做題，從而做有所獲。這樣，學(xué)生能通過數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，改變自己的思維，進(jìn)而提升自己分析問題、解決問題的能力。雖然這樣一來，平時(shí)我們做一道題可能會花比別人多的時(shí)間，但在解決問題時(shí)，我們可能只需花別人十分之一的時(shí)間。

（四）獨(dú)立思考

筆者在長期的教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，不善于思考、不會思考、懶得思考，是不少中學(xué)生存在的問題。中學(xué)生在學(xué)校里學(xué)習(xí)的時(shí)候，應(yīng)該注意培養(yǎng)自己獨(dú)立思考的習(xí)慣，因?yàn)楠?dú)立思考的能力是深入學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的關(guān)鍵和保證。

學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的根本目的是學(xué)會數(shù)學(xué)與運(yùn)用數(shù)學(xué)，因此沒有獨(dú)立思考能力是不行的。然而，從實(shí)際情況來看，有些學(xué)生過分地依賴教師，這實(shí)際上已成為他們成長與發(fā)展的障礙。這讓筆者想起這樣一個(gè)故事：有兩個(gè)漁夫，漁夫甲很會打魚，漁夫乙打魚技術(shù)一般，他們各自養(yǎng)了一個(gè)兒子，并且各自教自己的兒子打魚技術(shù)，甲經(jīng)常告訴兒子應(yīng)該如何做，而乙總是讓兒子自己摸索，結(jié)果甲的兒子打魚技術(shù)一般，而乙的兒子很會打魚。為什么會這樣呢？其實(shí)，在人成長的過程中，失敗的教訓(xùn)與成功的經(jīng)驗(yàn)是同等重要的。

那么，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生應(yīng)怎樣進(jìn)行獨(dú)立思考呢？第一，在遇到不懂或困難的問題時(shí)，要堅(jiān)持獨(dú)立思考，不輕易問人。我們不能一遇到不會的東西就馬上去問別人，而是應(yīng)該自己先認(rèn)真地思考，依靠自己的努力解決問題，收獲會更多，印象會更加深刻。當(dāng)然，對自己經(jīng)過很大努力仍不能解決的問題，也要虛心請教別人，這樣學(xué)習(xí)效率會更高。張廣厚先生說：“我主張不要輕易問人……問人的效果與自己獨(dú)立思考的效果不一樣。我自己是不輕易問人的，對問題我總是一天、二天、三天靠自己鉆研，要培養(yǎng)這種精神。”盧嘉錫先生也提倡獨(dú)立思考，他認(rèn)為有些問題經(jīng)過自己再三思考還不能解決，需請教（別人）時(shí)，也不要把問題“問透”，請人在關(guān)鍵地方點(diǎn)一下，然后自己去思考，雖然這樣費(fèi)力些，但收獲會更大。第二，做數(shù)學(xué)題時(shí)，不要輕易地去看別人的解答或參考答案，否則，就失去了做題的訓(xùn)練價(jià)值。北京大學(xué)數(shù)學(xué)系曾編寫了一本《數(shù)學(xué)分析習(xí)題集》，沒有任何參考答案，且鄭重聲明，禁止任何單位和個(gè)人出版該習(xí)題集的習(xí)題解答。

（五）精讀教材

加強(qiáng)數(shù)學(xué)閱讀訓(xùn)練，學(xué)會精讀教材也是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的重要條件。數(shù)學(xué)應(yīng)用是數(shù)學(xué)的重要組成部分，解數(shù)學(xué)應(yīng)用題的關(guān)鍵就是要從具體實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型（建模），建模的前提是要讀懂題意。因此，學(xué)生要學(xué)好數(shù)學(xué)還得先學(xué)好語文，加強(qiáng)數(shù)學(xué)閱讀訓(xùn)練。一方面，學(xué)生要梳理教材中數(shù)學(xué)知識之間的邏輯關(guān)系，理解數(shù)學(xué)概念，并在解題的過程中認(rèn)真讀題，理解題意，尋找隱含條件，明晰題目意圖;另一方面，學(xué)生對數(shù)學(xué)教材的閱讀不應(yīng)只停留在數(shù)學(xué)課文上，例題、練習(xí)、習(xí)題等也不能忽視。學(xué)生在閱讀過程中應(yīng)能提煉出數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想方法、解題技巧等。

總之，學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的前提是要弄清楚數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)內(nèi)涵與特點(diǎn)，要明白數(shù)學(xué)是什么，數(shù)學(xué)學(xué)什么，數(shù)學(xué)怎樣學(xué)，這樣才能有正確的方向，才能少走彎路。

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