借助幾何直觀 發展數學語言

摘 要：數學語言是數學思維的載體之一，發展學生的數學語言就是發展學生的數學思維能力。在教學中，教師可以借助幾何直觀，通過創設直觀情境，啟發數學語言;積累直觀經驗，形成數學語言;借助直觀圖形，錘煉數學語言;建構直觀模型，轉換數學語言等策略，提升學生的數學語言水平，最終實現學生數學思維的深度發展。

關鍵詞：小學數學;幾何直觀;數學語言

作者簡介：何蓮琴（1979—），女，江蘇省蘇州市吳江區黎里小學。

數學教育家史寧中教授說過，數學教學的最終目標，是要讓學習者會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界。在小學階段，學生能通過學習幾何知識建構數學語言模型，學生可以圍繞幾何直觀描述和分析問題，從概念到模型，把復雜的數學問題變得形象直觀、清晰易懂。幾何直觀不僅能有效幫助學生探尋解決問題的思路，預估結果，還能幫助學生形成自己的數學語言和發展數學思維。

一、創設直觀情境，啟發數學語言

小學數學新課程標準明確指出，數學教學要緊密聯系學生的生活實際，要根據學生的生活，創設生活化的數學語言。由于小學生的思維水平和問題分析能力還處于初級階段，其數學學習還需要直觀手段的支撐[1]。特別是低年級段的學生，他們看著抽象的文字表達，很難調動自身內在的思維能力和邏輯推理能力去解決問題。小學低年級學生的數學語言應該是生動、形象和直觀的，因此教師要基于學情，站在學生的角度，代入學生的思維，引導學生參與數學學習，讓學生逐步形成自己豐富而有個性的數學語言。

例如經典的“雞兔同籠”問題：籠子里一共有8只雞和兔，從下面數有22只腳，那么雞和兔各有多少只？由于此類題目描述比較簡潔，數量關系又比較隱晦，對于小學低年級學生來說難度比較大。那如何讓低年級學生順利完成解答呢？這就需要教師創設直觀的教學情境，把抽象的數學描述形象化。首先，教師提醒學生回想生活中雞和兔的樣子：雞有1個頭，2只腳;兔子有1個頭，4只腳。這時有學生提出：“我們可以畫圖表示，用圓形‘○’表示雞的頭，用兩條線段表示雞的2只腳。”（如圖1）在這位同學的啟發下，有學生馬上說：“我們可以先畫8只這樣的雞，算出腳的數量：8×2=16（只）。”8只雞對應16只腳，跟題目描述的22只腳，還少了6只，不符合題意，該怎么辦呢？另一位學生接著說：“我們把少的腳添上！”教師追問：“那應該怎么添呢？”學生說：“每只雞有2只腳，每只兔有4只腳，只需要在每只雞上添加2只腳。”于是，學生紛紛動筆在畫出的雞上再添加2條線段，表示2只腳。此時學生的思維都活躍起來了，搶著說：“因為相差6只腳，需要再像這樣添加三次腳，把3只雞變成兔子。”（如圖2）由此，學生利用幾何直觀清晰地求出了兔有3只，雞有5只。

在上述教學環節中，教師通過創設直觀形象，讓學生進入教學情境，使學生很順利地利用直觀圖像，豐富自己的表象認識，并用自己的數學語言描述出數學問題的本質，從而順利地解決問題。

二、積累直觀經驗，形成數學語言

英國數學家格里菲斯曾說過，直觀的幾何圖形更容易被學生掌握和接受。對于小學生而言，幾何直觀就像是他們學習數學的一根拐杖，又像是學習數學的一個支架，讓學生在幾何學習的過程中獲得思維的提升，對其起始階段的數學學習有著非常重要的作用。因此，在教學中，教師首先要引導學生形成畫圖直覺，并借助所畫的直觀圖進行數量關系的對比、分析、概括，找到解決問題的突破口;而學生在畫圖、分析圖形信息和數量關系的過程中，能積累幾何活動經驗，鍛煉用幾何直觀圖形表達內在數量關系的圖形化語言能力，提升數學理解力[2]。

例如有這樣一道判斷題：1米的和3米的一樣長。這題對于學過分數乘法的小學六年級學生來說不難，而且很容易理解;但是對于只學過分數意義的低年級學生來說就有一定的難度，這時教師就需要借助畫圖的方法來幫助學生理解。首先教師讓學生在紙上畫出1米的，由于剛學過分數的意義和單位“1”，這一步驟難度不大。在繪畫過程中，學生能清楚地認識到，一條線段表示1米長，也就是單位“1”，再把它平均分成4份，其中的3份，就是1米的，也就是米（如圖3）。接著教師讓學生畫3米的，這時一部分學生會受圖3的干擾，畫一條線段表示3米，再平均分成4份，其中1份就表示，但是具體是多少米呢？學生就開始犯難了，發現這樣畫圖根本無法解決問題。此時，教師就可以讓學生思考如何畫圖更有助于解答這一數學問題。于是有學生提出，3米就是3個1米，可以把3個1米“疊”起來（如圖4），然后每個1米再平均分成4份，總共有3個米，合起來就是米。這樣的教學方式能讓學生積累直觀經驗，便于他們在以后的學習中畫出更易于解題的幾何直觀圖。

幾何直觀作為一種數學語言表達方式，它能幫助學生理解題意，提升學生解題思維的敏捷性和簡潔性。在上述教學環節中，學生可以通過畫圖的失敗經驗明白，不是根據題意不加思索地畫圖就能直接解題的，而是要通過思考找到正確的畫圖方式。這樣，學生才能逐步積累直觀經驗，在優化作圖的過程中發展自己的數學思維，形成圖形語言表達能力，掌握幾何直觀。

三、借助直觀圖形，錘煉數學語言

幾何直觀中“直觀”的含義是指運用形象的實物、圖形、符號等來描述一件事情，分析一個問題，并簡單直接地解決問題。教師在教學中應遵循直觀原則，引導學生用實物、圖形、符號等形式來描述、分析、理解問題，讓復雜的題目變得簡單明了，發現題目中的隱藏信息。學生在這一過程中抽絲剝繭，用形象的數學語言優化解題方法，運用圖形、符號化的數學語言彰顯思維層次。

（一）借助直觀操作，強化數學語言

康德指出，人類具有一種先驗直觀能力。在小學數學教學中，教師要充分發掘數學學科中的直觀資源，運用直觀化的手段、方法和策略，深化學生的數學理解。

例如，在教學蘇教版小學數學三年級上冊中“長方形和正方形的認識”一課時，教師先通過課件出示長方形和正方形的平面圖，然后讓學生觀察這兩個圖形各有什么特點。由于教師呈現在黑板或課件上的是平面圖形，學生只能看，不能動手比較，因此學生此時用數學語言流利地表達長方形和正方形的特點是有一定難度的。這時，教師讓學生準備長方形和正方形的紙片，并自己動手量一量。教師先引導學生：“長方形兩條較長的邊長度相等，兩條較短的邊長度也相等。那么正方形的邊有什么特點呢？”這時學生拿出尺子進行測量，并且匯報：“老師，我認為正方形的4條邊長度都相等。”接著研究長方形和正方形的角的特點，教師讓學生仔細觀察長方形的4個角，并追問有什么發現。有學生會猜測這4個角是相等的。教師繼續提問：“怎樣驗證這4個角是相等的？”接著，便讓學生用重疊法輕松驗證長方形和正方形的4個角大小相等，且都是直角。最終，學生能自己組織數學語言，總結出長方形和正方形的形狀特點。

在以上教學環節中，教師通過創設直觀的教學情境，鼓勵學生動手操作，同時適時地引導和追問，加深學生對知識的理解，這樣學生的思維能力和數學語言同時得到了發展。

（二）借助直觀圖形，提煉數學語言

數學家研究發現，思維過程更傾向依據直觀形象的成分，而不是依據文字或符號表示的定義定理。一個概念的定義能清晰地揭示該概念的內涵，但不能呈現概念的可見對象。因此，理解和掌握概念需要實在直觀的支撐。

例如，在蘇教版小學數學“整數除以分數”一課中，有這樣一道例題。將4個同樣大的橙子分給小朋友：（1）每人分2個，可以分給幾個人？每人分1個呢？（2）每人分個，可以分給幾個人？（3）每人分個，可以分給幾個人？第一問比較簡單，第二問是本課的重點。對此，教師首先讓學生根據第二問列式：4÷，接著讓學生嘗試計算出結果，有的學生將轉化成0.5進行計算，有的學生則畫圖進行解釋。一個橙子可以分給2個小朋友，那么4個橙子就可以分給8個小朋友，便得到4÷=4×2=8（個）（如圖5）。此時，教師讓學生對比兩種方法的優缺點，很多學生會覺得這兩種方法不分伯仲。接著教師再讓學生完成第三問，列式：4÷，這時有的學生再將轉化成小數來計算，發現難以得出正確結果，于是學生都選擇畫圖解答，最后統一列式：4÷= 4×3=12（個）。由此學生能感受到畫圖法的優點，感受到幾何直觀帶來的解題便利。學生借助直觀圖形不僅找到了問題解決方法，并且在思考過程中，用自己的數學語言提煉出分數除法的計算方法，實現了從生活語言到數學語言的自然過渡。

學生的數學語言可以是課堂上回答問題時說理的語言，也可以是潛在的符號化圖示語言。因此，教師在教學實踐中要引導學生學會用直觀思維去看圖、讀圖、想圖和畫圖，借助直觀圖形呈現抽象的數學原理并理解其中的道理，讓學生在探究過程中不斷錘煉自己的數學語言表達，最終使口頭語言表達和直觀圖示語言達成和諧統一。

四、建構直觀模型，轉換數學語言

數學語言一般有三種形式：一是自然數學語言，如一筐土豆重35千克;二是數學符號語言，如一筐土豆a元，3筐土豆3a元;三是圖形語言，如線段圖，1段線段表示每筐土豆a元，3段則表示3筐土豆3a元。基于三種數學語言的特點，教師要根據不同層次學生的學習情況對這三種語言進行有機整合和互譯，不斷鍛煉學生轉化數學語言的能力。

（一）具體生活模型，靈活語言轉化

蘇教版小學數學六年級下冊課本在圓柱表面積和體積的知識點后有這樣一道練習題：有一個半圓形的水果大棚，需要用白色的塑料薄膜覆蓋，大棚長20米，半徑3米，覆蓋這個大棚大約要用多少平方米的塑料薄膜？大棚內的體積大約是多少？不少學生看到這樣的文字信息后，思維就停留在水果大棚上了，感覺這是生活現象，跟數學有什么關系？不善于用數學的眼光去審視生活問題的最基本的體現就是不會把外在的文字語言轉化成特定的數學語言，不能透過外在描述看到問題的本質，無法建立問題的直觀模型。這時候，教師需要引導學生用幾何直觀圖畫出這個水果大棚，再對照圖片讓學生說一說塑料薄膜覆蓋在圖上的什么位置。經過教師的引導，學生認真觀察、思考后會發現，原來求塑料薄膜的面積就是求圓柱表面積的一半;求水果大棚的體積就是在求這個半圓柱的體積。這樣，通過建構直觀模型，學生就能用精準的數學語言將應用題轉化成求圓柱表面積和體積的數學問題。

（二）抽象幾何模型，豐富語言轉化

有這樣一道數學題：三個正方形橫著拼接成一個周長40分米的大長方形，求拼成的長方形的面積。對于小學低年級的學生來說，解答這種只提供文字信息的題目有一定困難，這時教師就需要讓學生將自然數學語言轉換為圖形語言，讓學生根據題意畫出直觀圖形。有學生通過數邊長的方法計算長方形的寬，即長方形的周長是由8條正方形的邊長圍出來的，寬便為40÷8=5（分米），由此算出長15分米，面積的問題也就迎刃而解;有學生則通過觀察圖形，發現長方形的長是寬的3倍，長和寬的和是40÷2=20（分米），如此一來，這個問題便可以轉化為一個和倍問題，通過畫圖根據和倍問題的解題方式解決。對比兩種解答方式，我們可以發現學生思維層次的差別，第一層次的學生能根據文字描述畫出對應圖形，發現其中隱藏的信息并加以處理，解決問題;第二層次的學生能將圖形語言進一步深加工，建立和倍問題模型。

如果說幾何直觀是一種學習意識，那么利用幾何直觀進一步建立數學模型是學習者應該具備的能力。教師要讓學生將抽象的文字描述轉換成直觀的圖形語言，再將文字與直觀圖形語言相結合，進一步建立數學模型，使學生的數學語言得到更全面的發展，學會從本質上解決問題，從而提升學生解決問題的思維層次[3]。

結語

語言是反映人類心理、情感、思維的外在表現。在小學數學教學中，教師要利用幾何直觀讓學生的形象思維躍然紙上，讓學生的抽象思維生根發芽，讓學生的數學語言積極生長。教師要善于深入主題，挖掘教材，拓展資源，用幾何直觀架構起各種數學語言互通的橋梁。學生在從幾何直觀走向數學語言的路上，能收獲描述、分析和解決問題的能力，并把這些能力內化成自己的學習能力、學習動力和學習習慣，最終實現學科素養的提升。

[參考文獻]

中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準[S].北京：北京師范大學出版社，2011：2-8.

程金晶.巧用“畫圖”學數學[J].江蘇教育，2019（7）：68-69.

余文森，劉冬巖.有效教學的基本策略[M].福州：福建教育出版社，2013：3-10.