現代音樂中的數理邏輯思維特征現象

[摘 要]

20世紀的音樂是一個探索創新、離經叛道的新音樂風格時期，音樂呈現出多元化的態勢，諸多作曲家和音樂理論家有意將數學與音樂建立緊密的聯系。自然科學衍生的數理邏輯學在新型音樂理論研究領域中有了更寬泛的發展，創作與理論研究也因數理邏輯思維的沖擊得到了加強。數理邏輯由此成為當今作曲技術理論研究重要領域之一。

[關鍵詞]現代音樂;數理邏輯;邏輯思維

[中圖分類號]J614 [文獻標識碼]A [文章編號]1007-2233（2022）10-0113-03

所謂“一千個讀者有一千個哈姆雷特”，每個人的思考角度不盡相同，在了解音樂與數學的關系以及數理邏輯的本質與音樂的聯系后，筆者欲從數理邏輯本體出發，探求其結構思維與20世紀重要音樂理論的關聯，通過演繹推算等數學研究手法，深層挖掘數理邏輯結構思維特征在當代音樂結構中的內涵。

一、數理邏輯（mathematical logic）的形成與發展

（一）數理邏輯的基本內容

數學（Mathematics）是研究數量、結構、變化以及空間等概念的一級學科，是人類對事物的抽象結構與模式進行嚴格描述的通用手段;數理邏輯又稱符號邏輯、理論邏輯，它既是數學的分支，也是邏輯學的范疇;它是用數學方法對證明和計算這兩個直觀概念問題進行符號化處理的形式系統。[1]總之，數理邏輯是精確化、數學化的形式邏輯。

數理邏輯的分支由邏輯演算、公理集合論（set theory）、模型論（model theory）、證明論（proof theory）和遞歸論（recursion theory）構成。

（二）數理邏輯的發展

數理邏輯的產生過程早在17世紀就有人提出，戈特弗里德·威廉·萊布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646年7月1日-1716年11月14日），德國著名哲學家、數學家，被譽為17世紀的亞里士多德。他曾經想創造一種“通用的科學語言”，即把推理過程利用數學公式進行計算從而得出結論，由于條件受限，他的想法并沒有實現，但是他的思想奠定了數理邏輯的發展基礎，從某種程度上講，可以說萊布尼茨是數理邏輯的先驅;[2]1847年，英國數學家布爾發表了《邏輯的數學分析》，建立了“布爾代數”，利用符號和代數的方法表示邏輯的各種概念并研究關于邏輯的問題，奠定了數理邏輯的基礎;19世紀末20世紀初，美國人皮爾斯在著作中引入了邏輯符號，逐步形成現代數理邏輯最基本的理論基礎，[3]成為一門獨立的學科。

二、現代音樂數理邏輯結構思維特征

萊布尼茨認為音樂是數學的;愛因斯坦則認為世界可以由音符構成，也可以由數學公式組成。[4]20世紀初期，美國現代作曲家巴比特（1916—2011）喜歡用數學方式從事音樂創作，他較早用序列的各種形式，如對稱、互補、倒影、不變性關系等預制音樂的結構;傳統大小調音階體系也可以被視作現代十二音自由組合后的兩類音階材料的形式。

在科技飛速發展的時代背景下，20世紀的音樂逐漸向高度邏輯化的方向演進，音樂的不同要素作為新的表現形式成為主導音樂結構的邏輯基礎，具有典型的數理邏輯結構思維的特征。除此之外，對音樂數理邏輯結構思維的研究是目前學術理論學科重要研究領域之一，它在20世紀音樂語言中占據著重要的地位，成為我們理性認識現代音樂的突破口。

因此，為了更深刻的理解數理邏輯結構思維與現代音樂的關聯，有必要建立正確的理論研究方向，筆者試圖以集合、數列、函數、證明、計算等數學概念為基礎，結合數學方法從數理邏輯結構思維的新視角對其在二十世紀音樂理論中的具體運用情況從本質上做出高度的概括并進行系統性歸納與研究，探求音樂作品中數理邏輯結構思維存在的諸多可能性。

（一）阿倫·福特音級集合理論—集合論（set theory）

音級集合理論（Pitch-class sets theory）最初由美國音樂理論家巴比特提出，隨后美國音樂理論家阿倫·福特（Allen Forte，1926年12月23日—2014年10月16日）在巴比特的基礎上于20世紀60年代做了系統化的詮釋，提出了一套嚴密的對現代音高組織分類的標準和科學的分析方法，以數學的集合、排列組合、對稱性原理為基礎作為音樂分析音高材料的基礎，對無調性音樂做出了定量定性的理性分析，被中外音樂理論家廣泛運用。集合論是由德國數學家康托爾（Cantor，1845—1918）在19世紀70年代提出，于20世紀20年代確立了集合論在現代數學理論體系中的基礎地位，可以說，現代數學各個分支近乎所有成果都構筑在嚴格的集合理論上。[5]

集合（set）（簡稱集）是對具有某種確定性質對象全體的統稱，集合里的各個對象稱為該集合的元素（element），而音級集合理論作為現代分析無調性音樂的理論基礎，阿倫.福特以數學集合為原型，將十二音的音高用數字標記為0-11，六類基本音程標記為ic1-6，以無間隔的六位數表示音程涵量（Interval Class Vector）特征，從英文字母里也可以看出它暗含了數學向量（有大小和方向）的概念，最終將音高組織材料按照“集合名稱”“集合原型”“音程涵量”以及對應的互補集合制成三至九音的音級集合表。其音高關系具有相等性、包含性、互補性、相似性等特點，與數學集合里的互異性、無序性等特點相對應。

無序音集（unordered collection）可以作為原集合元素來統一整部音樂作品的動機材料，作曲家也通過改變集合元素的數量或內含創作多樣化的音樂作品。因此，采用數學方法對音高材料的理性分析顯得尤為重要，不難看出數理邏輯結構思維對于現代音樂的分析具有較高的參考價值。

（二）序列音樂（serialism）—數列邏輯與矩陣（Matrix）

20世紀20年代，勛伯格（Arnold Schoenberg，1874-1951）作為20世紀表現主義時期新維也納樂派的美籍奧地利作曲家、音樂理論家，他創立了序列音樂理論體系，又稱十二音音樂（twelve-tone music）體系，開創了音高組織形式的新紀元。序列音樂在根本上否定了傳統音樂的調性功能，體現出音樂具有的數列邏輯和矩陣等數理邏輯結構思維特征。

序列音樂具體內容為了避免出現重復音，主要將預制的一個有序十二音集（ordered sets）在原型、倒影、逆行以及逆行倒影四種順序變換的基礎上，通過12次移位構成的48個序列形式從表層到深層最終完成整部作品的創作過程。

序列音樂的代表人物有布列茲（Pierre Poulez，1925-）、巴比特（Milton Babbitt， 1916-）等。其中勛伯格于1923年創作的《鋼琴曲五首》運用序列化音樂的作曲技法。貝爾格創作的歌劇《沃采克》（1923）延續了序列音樂時期的特征。1945年之后更多作曲家試圖將序列音樂的手法體現在其他音樂要素上，如節奏、力度、音色等，由此進入整體序列主義音樂時期（total serialism），韋伯恩的《管弦樂變奏曲》（1940）已嘗試將節奏進行部分序列化的寫作，梅西安《時值與力度的模式》（1949）成為整體序列主義音樂的起點。[6]

（三）大衛·勒溫轉換網絡理論（Transformation Network Theory） —集合論、群論

美國音樂理論家大衛·勒溫（David Lewin，1933—2003）以數學中的集合論（Set Theory）、群論（Group Theory）為基礎，于20世紀80年代末創立了轉換網絡理論（Transformation Network Theory），其經典著作《廣義音程與轉換（Generalized Musical Interval and Transformation）》[7]出版于1987年，并于2003年再版。勒溫在傳統“調性功能理論（Theory of Tonal Functions）”基礎上，將現代音高組織視作一個轉換圖表和網絡（transformation graphs and networks）組成的系統，通過尋找內部邏輯的遞進關系，觀察動機在結構中的位移軌跡。在《劍橋西方音樂理論史》第10章“音樂理論與教學”也提及了轉換理論的觀點。[8]勒溫在理論陳述與分析過程中使用了大量的數學工具，筆者通過研習轉換理論中音高組織的思路，嘗試從音高標記、音程距離、網絡轉換三方面分析證明其具有的數理邏輯結構思維特征。

1.音高體系的標記

以《新格羅夫音樂與音樂家辭典》對無調性音樂分析的標記方式為主：[9]x，y，z標記音高或音級、x-y-z標記有序音高或音級、【xyz】標記同一集合、{x，y，z}表示一個音組[10]，它是數學集合論中集合標記的基本內容，也作為后調性音樂動機發展的基本材料。

2.音高空間（pitch space）與音級空間（pitch-class space）的距離計算

勒溫在廣義音程體系中提到兩音在音高或音級空間（《后調性音樂導論》[12]一書中提及）內的距離計算，暗含了數學平面向量中矢量與標量的特征。其中函數關系（簡稱int）是計算距離的基本公式，s到t的距離i用函數表示為int（s，t）=i。對于有序音程距離的計算而言，i具有著矢量性，即數值代表大小、正負代表方向，而無序音程距離的i具有標量性，只需代表大小，即取音程距離的絕對值即可。

音高音程（pitch intervals）是在不同八度下音高空間內所有音高之間的距離，它的有序性強調音樂旋律的輪廓特征，距離計算結果的正負代表了旋律上行或下行的走向性，因此計算有序音高音程距離如：int（C3，E3）=4，int（D4，B2）=-（12*2-9）=-15。無序音高距離只需取絕對值即可。

音級（pitch class）作為等同音高的統稱，音級音程（pitch-class intervals）是音級空間內所有音級之間的距離，同時涉及八度等同（octave equivalent）、12模（mol12，任何音級都可以用0-11之間的數字表示）等概念性術語。[13]因此，在計算相隔N個八度內的音級空間（十二音內）的有序音程距離時，結果必定在正負12以內，如：int（F，G）=2， int（C，B）=-11。無序音級的音程距離則取最短距離的絕對值即可（i=0-6，“0”=12、“1”=11、“2”=10、“3”=9、“4”=8、“5”=7、“6”=6）。

3.轉換網絡

宏觀的轉換網絡是在微觀上集合的發展基礎上，通過移位、倒影的形式在距離中形成的網絡體系。勒溫通過微觀與宏觀結合的層面實現音樂的轉換，也體現了在數理邏輯結構思維下的音樂在空間、時間雙重維度中的結構關系。

（四）新里曼主義理論（Neo-Riemannian theory）—函數，幾何圖表原理

新里曼理論由美國音樂理論家大衛·列文（David Lewin）于20世紀80年代提出，以大衛·列文轉換網絡理論、里曼功能理論為基礎，后經Richard Cohn等人進一步完善而最終形成的音高組織理論，用于無調性音樂作品分析中。它運用三和弦及其三度關系轉換，采用代數、函數等數學方法詮釋音樂的數理邏輯結構思維特征。

（五）巴托克軸心體系-幾何對稱性

貝拉·巴托克（Bela Bartok，1881—1945）是20世紀新民族主義時期偉大的匈牙利作曲家，他堅持個人主義，在傳統調性基礎上引申出具有數學幾何對稱性的“軸心體系”理論，為音樂理論與分析學科創造了寶貴的財富。前蘇聯著名理論家尤·霍洛波夫致力于軸心體系的研究并對其進行了高度概括[14]：在五度循環圈上建立以主、屬、下屬音為基礎，分別在相隔小三度音程上以相同方式再次循環形成的S（下屬音軸）、T（主音軸）、D（屬音軸）共三個功能軸，最終得到完整的十二音列，以C為基音的軸心體系圖如下[15]：

如上圖所示，以C為基音，F為下屬音，G為屬音形成的三個不同的功能軸為：[FK（]C[FK）]-F#、[FK（]Eb[FK）]-A 為主音軸（tonic-achse）;[FK（]G[FK）]-Db、[FK（]Bb[FK）]-E 為屬音軸（domination-achse）; [FK（]F[FK）]-B、[FK（]D[FK）]-Ab為下屬音軸（sub domination-achse）;同功能軸上的四個音構成減七和弦的形式揭示了四個不同調性的功能含義，其中各功能軸內包含的位于音軸正負端的兩對三全音音程，可彼此替代而不改變本身的功能。

巴托克在《第二小提琴協奏曲》中運用了“軸心體系”對調性進行了整體布局并完成寫作。整曲以B調開始，在此基礎上建立的三個調性功能為E（下屬調， E-bB、G-bD）、#F（屬調，#F-C、A-bE）、B（主調，B-F、D-bA），結構及調性布局如下：

不難看出，巴托克在此變奏曲中調性布局也是呈對稱的關系，也為軸心體系理論做出了最好的詮釋。

利用數學幾何圖形更加直觀看出巴托克對和聲功能體系及調性關系的抽象理解，將音軸上具有對稱性的三全音視作不同于傳統調性意義上的最近的調關系，等同于傳統大小調體系中的平行大小調關系（C=#F=a）。不僅如此，通過從各功能軸的四個音中任意挑選其中一個（正負音級均可）作為三大功能的代表連接構成完滿終止，如C 大調的“F-G-C” 也同時代表了“S-D-T”的完滿終止。

結 語

通過上述對現代音樂數理邏輯結構思維特征的闡述，可以看出20世紀音樂所體現的理論分析方法與數理邏輯結構思維緊密相連，以理性的視角重新看待現代音樂不僅有助于解決音樂中偏抽象的理論難題，還可以幫助我們更為直觀定量的分析音樂語言，進而促使音樂分析領域自身的進步和發展，恰如朱利安·霍頓所言：“音樂分析，用理性的理論體系來解釋作品本身的技術結構，它不僅與現代主義及其權力結構相結合，還與以理性為中心的主體性相結合，這種主觀批判性是進入后現代主義的決定性特征。”

數理邏輯正在走向更為科學的道路，在當代音樂理論分析中占有無比重要的地位，現代音樂與數理邏輯的融合將會抵達一個新的高峰。

注釋：

[1]

王宜榮.巧用“相似論”讓學生感悟解決數學問題的魅力[J].數理化學習，2013（04）：95.

[2]崔文芊，王紹源.論萊布尼茨的數理邏輯成就及成因[J].江西社會科學，2013，33（06）：32—36.

[3]汪 超.節奏中的數列現象與音樂聽覺的數理邏輯思維中[D].中國音樂學院，2012.

[4]楊 鵬.淺談如何提高學生對初中數學的認識[J].學周刊，2013（27）：120—121.

[5]王立冬，齊淑華，奉黎靜，林屏峰，劉延濤，劉 滿.高等數學基礎教程[M].北京：北京科學出版社，2016：9.

[6]崔 瑩.后現代音樂及其美學問題研究[D].上海音樂學院，2010.

[7]甘芳萌.大衛·勒溫“轉換網絡”理論研究[D].上海音樂學院，2013.

[8]托馬斯·克里斯坦森.劍橋西方音樂理論發展史[M].任達敏譯.上海：上海音樂出版社，2011：259.

[9]同[7].

[10]Dave Headlam：Atonality，4， The New Grove Dictionary of Music and Musicians，2001.

[11]王藝播.至繁至簡——論《后調性音樂導論》（第三版）[J].當代音樂，2017（15）：16—18.

[12][13][美]約瑟夫·內森·施特勞斯.后調性理論導論（第三版）[M].齊 妍譯.北京：人民音樂出版社，2014.

[14][15]朱 楣.“軸心體系”與“斐波拉契數列與黃金分割”理論實踐在巴托克《雙鋼琴與打擊樂奏鳴曲》第一樂章的深層控制作用[J].音樂藝術（上海音樂學院學報），2015（03）：132—138.

（責任編輯：張洪全）