立體幾何中二面角問題的解法例析

摘要：立體幾何是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重難點(diǎn)，對學(xué)生的抽象思維有一定的要求，綜合性較強(qiáng)，其中求解二面角的問題是最常考查的問題之一.此類型問題主要考查學(xué)生對二面角定義的掌握程度和二面角大小的計(jì)算.求解二面角問題的方法主要有向量法、定義法、垂面法等，本文中結(jié)合例題介紹了三種求解二面角問題的常規(guī)方法，為提高學(xué)生解題能力提供助力.

關(guān)鍵詞：立體幾何；二面角；平面角；解法

1 向量法

向量法，是指將待求的兩個(gè)平面放入直角坐標(biāo)系中，通過向量的知識（例如向量的夾角公式等）進(jìn)行求解的方法，是求解二面角問題最有效的方法之一.利用向量法求解，避免了添加輔助線作二面角的平面角的麻煩，有效降低題目難度.利用向量法解題的主要步驟：①根據(jù)題設(shè)找出三條相互垂直的直線建立空間直角坐標(biāo)系，這是正確求解的關(guān)鍵之一；②將待求的兩個(gè)平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)及每個(gè)面的法向量表示出來；③計(jì)算向量的坐標(biāo)，并利用向量的夾角公式計(jì)算，最后還需注意判斷二面角的平面角和兩個(gè)法向量的夾角之間的關(guān)系，結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是鈍角還是銳角［1］.

例1直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，已知AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，BC，BB1，A1D的中點(diǎn)分別是E，M，N，求二面角A-MA1-N的正弦值.

分析：本題的直四棱柱中只能找到兩條相互垂直的直線，所以連接DE，此時(shí)DE⊥AD，DE⊥DD1，建系，如圖1，然后分別找出平面AMA1的法向量n=3，1，0和平面DMA1的法向量m=2，0，－1，最后利用sin2α+cos2α=1計(jì)算即可.

解析：以點(diǎn)D為原點(diǎn)，以DA，DE，DD1分別為x軸、y軸、z軸建立如圖1所示的空間直角坐標(biāo)系，故D0，0，0，A2，0，0，A12，0，4，M（1，3，2）.則A1A=0，0，－4，A1M=－1，3，－2，A1D=（－2，0，－4）.

設(shè)平面AMA1的法向量為n=x1，y1，z1.

由n5A1A=0，

n5A1M=0，得－4z1=0，

－x1+3y1－2z1=0.

令x1=3，解得n=（3，1，0）.

設(shè)平面DMA1的法向量為m=（x2，y2，z2）.

由m5A1D=0，

m5A1M=0，得－2x2－4z2=0，

－x2+3y2－2z2=0.

令x2=2，解得m=2，0，－1.

因此，cos〈n，m〉=n5mn5m=155.

綜上所述，二面角A-MA1-N的正弦值為sin〈n，m〉=1－1552=105.

拓展：如圖2所示，△BCD與△MCD都是邊長等于2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB=23.

（1）求直線AM與平面BCD所成的角的大?。?/p>

（2）求平面ACM與平面BCD所成的二面角的正弦值.

參考答案：（1）45°；（2）255.

2 定義法

定義法是指利用二面角的定義進(jìn)行求解的一種方法.從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形就叫做二面角.一般利用二面角的平面角度量二角面，二面角的平面角是多少度，就說這個(gè)二面角是多少度（平面角的取值范圍是0°≤θ≤180°）.二面角的定義也是求解二面角問題的有效手段，關(guān)鍵在于正確找出二面角的平面角.利用定義法解題的主要步驟：①根據(jù)題意作輔助線，準(zhǔn)確找出二面角的平面角；②根據(jù)題設(shè)條件證明上述角是二面角的平面角；③根據(jù)題意利用余弦定理等公式計(jì)算求解.簡要概括為“一作、二證、三計(jì)算”.

例2在四面體ABCD中，AC=AB=1，CD=BD=2，AD=2.5，BC=1.5，求二面角A-BC-D的余弦值.

分析：如圖3所示，設(shè)E為BC的中點(diǎn).選擇輔助線AE，DE，然后利用二面角的定義確定角A-BC-D的平面角為∠AED，再分別計(jì)算線段AE，DE的長度，利用余弦定理進(jìn)行求解.

解析：設(shè)線段BC的中點(diǎn)是E，連接AE，DE.

由AC=AB=1，CD=BD=2，可得

AE⊥BC，DE⊥BC.

所以∠AED是二面角A-BC-D的平面角.

由題意可得AE=74，DE=554.

所以，由余弦定理可得cos∠AED=AE2+DE2－AD22AE5DE=742+5542－2.522×74×554=－19385385.

所以，二面角A-BC-D的余弦值為－19385385.

拓展：如圖4，在四棱錐P-ABCD中，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，求二面角B-PC-D的大小.

提示：如圖5所示，作HB⊥PC連HD.可證，△PBC與△PDC全等，則∠BHD為二面角B-PC-D的平面角.（答案為2π3）.

3 垂面法

求解二面角問題的常用方法還包括垂面法.垂面法，就是指作一個(gè)與二面角的棱垂直的平面，該垂面與二面角兩半平面相交得到交線所成的角為二面角的平面角.適用于銳二面角或直角二面角問題.利用垂面法解題的主要步驟：①根據(jù)題意作出與棱垂直的平面；②結(jié)合實(shí)際問題找出二面角的平面角；③證明上述平面角為二面角的平面角并求出其大?。?］.

例3在平面角等于60° 的二面角α-l-β中有一點(diǎn)P，點(diǎn)P到α，β的垂線段長分別為PC=3 cm，PD=5 cm，求點(diǎn)P到棱l的距離.

分析：如圖6所示，本題所選擇的垂面為平面PCD，進(jìn)而確定二面角α-l-β的平面角為∠CED=60°，最后根據(jù)l⊥平面PCED，得l⊥PE，PE即為點(diǎn)P到棱l的距離.

解析：設(shè)過P，C，D三點(diǎn)的平面分別交平面α，β于CE，DE.易證l⊥平面PCD.

∴l(xiāng)⊥DE，l⊥CE.

∴∠CED即為二面角α-l-β的平面角.

∴∠CED=60°，∠CPD=120°.

由余弦定理，可知CD=7.

∵l⊥平面PCED，

∴l(xiāng)⊥PE.

∴PE即為點(diǎn)P到棱l的距離.

又∵P，C，E，D四點(diǎn)共圓，∠PCE=90°，

∴PE是該圓的直徑.

根據(jù)正弦定理，可得PE=CDsin 120°=1433.

拓展：如圖7所示，在四面體P-ABC中，PA=BC=6，AB=8，PB=AC=10，PC=234，F(xiàn)是線段PC上一點(diǎn)，BF=153417，點(diǎn)E在線段AC上，且EF⊥PC.

（1）求證：PC⊥平面BEF；

（2）求二面角C-BE-F的大小.

提示：（2）如圖7所示，∠FEC是二面角C-BE-F的平面角，tan∠FEC=cot∠PCA=ABAP=106=53.

求解二面角問題是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，在全國各地高考數(shù)學(xué)試卷中也經(jīng)常出現(xiàn)，求解二面角的方法中，筆者認(rèn)為最簡單且最普遍適用的方法莫過于向量法，只要合理建系，正確計(jì)算求解即可.

參考文獻(xiàn)：

［1］劉傳景.深度學(xué)習(xí) 探究本質(zhì)——一道立體幾何二面角求解方法賞析[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2021（6）：47-51.

［2］吳志榮.立體幾何中的二面角問題[J].高中數(shù)理化，2019（8）：14.