高中數學直觀想象能力的培養

摘要：立體幾何是高中數學的重點內容，棱錐的內切球和外接球問題又是立體幾何的難點之一，掌握有關內切球和外接球問題的基本求解策略是解決這類問題的關鍵.

關鍵詞：直觀想象；內切球；外接球；核心素養

1 問題的提出

幾何與代數本是數學中最古老的內容，高中數學新課程標準中除原有的雙基要求外，思維能力的培養細分到了空間想象、直覺猜想、歸納抽象、符號表示、運算求解、演繹證明、體系構建等［1］.其中以直觀想象替代原有的空間想象，涉及范圍更加廣泛，需要對圖形進行描述、分析、理解，從而解決數學問題.立體幾何中棱錐的切接球（如果一個棱錐的所有頂點都在同一個球面上，那么這個球叫做棱錐的外接球，球體與棱錐的每個面都相切的球是棱錐的內切球）問題，能夠發展學生的直觀想象能力，但是在學習中，因知識點比較抽象，學生把握不住問題的本質，難以解決.因此在教學中要給學生介紹一些基礎的模型知識，培養學生類比思想和空間圖形平面化的能力來突破立體幾何中的這個難點.

2 正三棱錐的內切球與外接球半徑

設正三棱錐P-ABC，側棱長為a，底面邊長為b，則外接球的半徑R=a22a2－13b2，內切球半徑為r=b3a2－b234a2－b2+3b.

（1）求正三棱錐的外接球半徑

已知正三棱錐P-ABC，底面三角形ABC的邊長為b，側棱長為a，PF⊥面ABC，F為垂足，求其外接球半徑R.

第一步：先求出底面外接圓的半徑.F為三角形ABC外接圓圓心，BF=23×32b=33b.

第二步：利用勾股定理求出棱錐的高.如圖1，PF=PB2－BF2=a2－13b2，OF=PF－PO=a2－13b2－R.

第三步：利用Rt△BOF的勾股定理求出球的半徑.由OB2=OF2+BF2，得R=a22a2－13b2.

（2）求正三棱錐的內切球半徑

已知三棱錐P-ABC為正三棱錐，底面三角形ABC的邊長為b，側棱長為a，求其內切球半徑r.

第一步：如圖2，取AB中點D，連接PD，CD.設點E，H分別為球與平面APD和平面ACD的切點，圓O為截面圓.

第二步：DH=13×32b=36b，PD=a2－b24，三棱錐的高PH=PD2－DH2=a2－13b2，PO=PH－r.

第三步：由△OPE和△DPH相似，得OEDH=POPD，解出r=b3a2－b234a2－b2+3b.

3 培養學生類比的數學思想

在研究正三棱錐內切球的半徑時，可類比三角形內切圓半徑的求解思路：面積分割，三角形的內切圓圓心到三條邊的距離相等，所以三角形的面積等于以三條邊長為底，高為內切圓的半徑的三個三角形面積之和.因此，三棱錐的內切球半徑（內切球的球心到三棱錐四個面的距離都相等）的求解思路：體積分割，三棱錐的體積等于以三棱錐的四個面為底面，內切球的半徑為高的四個小三棱錐的體積之和.教學時可利用GeoGebra軟件給學生展示（如圖3）分割法求內切球半徑的動態過程［2］.

推廣到一般：如果多面體有一個內切球，假設內切球的半徑為r，多面體n個面的面積分別為S1，S2，S3，……，Sn，連接球心與各個頂點，把多面體分割成n個棱錐，這n個棱錐的高都是r，那么多面體的體積V=13S1+S2+S3+……+Sn5r.

同樣地，研究三棱錐外接球半徑時，也可以聯想三角形外接圓半徑的求法.在初中我們先是研究直角三角形外接圓的半徑，然后研究鈍角三角形、銳角三角形的外接圓半徑，都可以通過構造直角三角形來解決.類比這一解題思路，我們研究三棱錐外接球的半徑時，也可以通過構造直角三角形來解決［3］.

如圖4，底面三角形ABC為直角三角形，球心為O，OH⊥平面ABC，H為垂足，設△ABC的外接圓半徑為r，則（2R）2=AC2+PA2，或R2=h2+r2，OH=h.

例1已知三棱錐P-ABC的四個頂點都在球O的球面上，若PA=AB=2，AC=1，∠BAC=120°，且PA⊥平面ABC，求球O的表面積.

解析：如圖5，由余弦定理得到BC=7，由正弦定理得到△ABC外接圓半徑r=12×7sin120°=213.則由（2R）2=PA2+（2r）2，得R=303.

所以球O的表面積為S=4πR2=40π3.

這類問題主要是構造直角三角形，由球心向三棱錐某個面作垂線，垂足為相應三角形外接圓的圓心.外接圓半徑可以通過正弦定理2r=asin A=bsin B=csin C得到，然后利用勾股定理求解.

4 用模型解決立體幾何問題

利用長方體或者正方體模型來解題，學生的直觀感受更加強烈，能夠很快分析出球的球心.長方體、正方體模型也是學生學習立體幾何的基礎.

如圖6-1與圖6-3都是由三個直角三角形和一個等邊三角形構成的三棱錐模型，圖6-2是由四個直角三角形構成的三棱錐模型，圖6-4是正四面體.長方體模型中最常見的是對棱相等的三棱錐模型，長、寬、高分別為a，b，c的長方體的外接球半徑為R=a2+b2+c22.

例2已知四面體ABCD的三組對棱分別相等，AB=CD=x，AD=BC=y，AC=BD=z，求該四面體的外接球半徑R.

解析：構造長方體，如圖7.設長方體的長、寬、高分別是a，b，c，則有

a2+b2=x2，

b2+c2=y2，

a2+c2=z2.

所以R=a2+b2+c22=24x2+y2+z2.

5 結論

總之，立體幾何的學習是由淺入深、循序漸進的過程.在這一過程中，要結合概念和定義進行解題訓練，體會從感知到操作確認、思辨論證、度量計算的過程，提高學生的直觀想象能力.

參考文獻：

[1]史寧中.高中數學課程標準修訂中的關鍵問題[J].數學教育學報，2018（1）：8-10.

[2]任自朝，趙軒.基于高考評價體系的數學科考試內容改革實施路徑[J].中國考試，2019（12）：27-31.

[3]楊春元.多面體外接球問題的“模式化”解題策略[J].中學數學，2018（19）：80-81.