質量偏心對火箭彈振動特性影響的分析

楊宜

（中國直升機設計研究所，江西景德鎮 333001）

0.引言

火箭彈在高速運動過程中，通常需要通過彈體自旋來維持飛行姿態，火箭彈自旋可帶來的優點很多，如減少由質量偏心、推力偏心、氣動偏心等非對稱因素對飛行性能的影響，這也是自旋飛行方式廣泛應用于各種戰斗飛行器的重要原因。如由美國洛克威爾國際公司為美國陸軍研制的AGM-114反坦克導彈，中國航天科技集團公司第七研究院研究的“地地戰術打擊武器系統”的代表WS系列多管火箭武器系統。但因為加工精度、安裝等問題，彈體不可避免會存在質量偏心問題，在火箭彈不做旋轉運動飛行時，因質量偏心引起的運動穩定性問題可不做考慮。但對于本文研究的自旋火箭彈而言，因為火箭彈的自身旋轉和質量偏心，會形成一個作用于彈體橫向的周期往復載荷，進而引起彈身的振動，若此時的彈體旋轉角速度與自身的固有頻率相近，則會引起彈體與旋轉頻率的共振，進而造成進一步的嚴重后果[1]，而隨著彈體的長徑比變大，彈體橫向形變對彈道性能的影響便不能被忽略[2]。此時火箭彈的橫向彎曲變形增加了彈體的有效氣動阻力面積，改變了氣動載荷的分布，使得彈體的壓心前移、穩定性變差，進而使彈體偏離預期軌道，影響射程和密集度[3-4]。且當動壓超過一定閾值時，會導致彈體直接失穩乃至發生顫振[5-6]。

1.模型簡化

假設彈體的質心的位置狀態不變，且桿件可繞質心處作繞彈軸的旋轉運動，并只取質心到彈頭的一段彈長進行分析。得到最終的簡化模型如圖1所示，在彈頭處受氣動阻力-f，且具有向彈體后方的慣性載荷-ma，同時彈身還具有旋轉角速ω。

圖1 出口階段火箭彈理論分析模型

2.振動方程

為便于理論建模分析，需對彈體作以下假設，如圖2～圖4所示，彈體的橫截面積A、單位長彈體質量為ρmA、彈體各截面質心坐標yG，偏心距為ε(x)，又考慮到彈體在軸向還有端部氣動載荷和軸向均布載荷，可用N(x)表示彈體在任意x截面處的軸向受力[7-8]。

圖2 彈體的質心分布與與截面受力圖

圖3 彈體任一截面的質心位置

圖4 軸壓下彈體的截面受力分析

此時彈體偏心振動方程如下：

上式即為旋轉彈體受軸向壓力的動力學方程，式子的左端第一項表示彈體線質量密度對橫向撓度的影響；第二項則表示彈體所受軸向壓力的影響；第三項表示彈體自身剛度值的影響；式子的右端表示旋轉彈體因質量偏心而產生的離心載荷。

3.方程求解

3.1 振型方程求解

在分析離散系統的動響應過程中，我們常利用主振型的正交性使微分方程解耦，從而將多自由度系統的動響應分析轉化為多個單自由度系統的模態響應問題。在求解各模態的動響應后再進行疊加，就可以得到原系統的響應，這種模態分析方法也稱主振型疊加法[9]。令彈體偏心振動方程式等于零，即可得受軸向壓力時桿的橫向振動方程為：

3.2 邊界條件

由邊界條件可知：

對于彎曲剛度為EI，軸向載荷為N(x)，線質量密度分布為ρmA的彈體，在分布的離心慣性載荷-ρmAω2ε(x)sin(ωt)作用下，彈體的振動微分方程為：

桿的各階振型Xi(x)滿足下列方程：

由上小節證明得知，在邊界條件下振型函數應滿足正交關系，于是方程的解可以表示為振型函數的無窮級數，即：

3.3 lagrange方程推導振動微分方程

將qi(t)看做系統的廣義坐標，用lagrange方程推導廣義坐標下的運動微分方程，此時桿上各點的速度表示為：

系統動能表達式：

彈體彎曲勢能表達式：

彈體因軸向力做功勢能表達式：

此時系統總勢能總勢能表達式：

設彈體的虛位移為：

則載荷 -ρmω2ε(x)sin(ωt)在虛位移上做的功為 ：

式中的廣義力的定義如下：

將廣義力Qi、動能Ek以及勢能Ep的表達式帶入lagrange方程得最終微分方程表達式：

式中：

4.結論

取ζi=pi/ω，代入彈體參數（表1）后，對響應表達式y(x,t)進行繪圖可得。

表1 彈體計算參數

由圖5、圖6可知彈體的的每一階振型對于整體的響應都有貢獻，且當彈體的旋轉角速度與與受壓彈體某一階頻率相近時，該階對整體的響應貢獻最大。彈體的頻率pi與旋轉角速度的比值?i越大時，此時第i階的振型對整體響應的貢獻越小，所以對于彈體振動表達式一般取前4階即可。

圖5 響應表達式值與頻率角速度比ζi

圖6 時間-幅值