含缺陷功能梯度壓電材料的動態(tài)斷裂行為分析

安 妮， 宋天舒， 趙 明

(1. 哈爾濱工程大學 航天與建筑工程學院， 哈爾濱 150001； 2. 東北電力大學 建筑工程學院， 吉林 吉林 132012)

為了滿足自適應材料的特殊要求，功能梯度材料的概念被提出，并引起了人們的廣泛關注。在很短的時間內，功能梯度材料的概念便從最初的高溫元件擴展到了壓電元件，目前功能梯度壓電材料在電子技術、通訊和控制技術中均得到了廣泛的應用。由于壓電材料屬于脆性材料，在生產或者加工過程中產生的孔洞、裂紋、夾雜等缺陷將在很大程度上影響材料的使用壽命，使得含缺陷的功能梯度壓電材料的斷裂特性的研究成為了熱點問題。因此，本文對于含復合型缺陷的功能梯度壓電材料的斷裂問題的研究具有重要意義。

目前，國內外學者針對不同材料結構、不同缺陷形式、不同載荷作用下的功能梯度材料的斷裂問題的相關研究已經(jīng)十分廣泛。按照所研究的結構形式由簡單到復雜，可細分全空間功能梯度壓電結構、半空間功能梯度壓電結構、均勻壓電材料與功能梯度壓電材料粘接結構、兩種不同的功能梯度壓電材料粘接結構、功能梯度壓電帶、由中間層為功能梯度壓電材料而上下層為均勻壓電材料組成的三明治結構等。按照缺陷形式的不同，大體上可分為孔類缺陷、裂紋缺陷、夾雜缺陷等。其中裂紋的形式研究較多的為直裂紋，還有一些學者們關注弧形裂紋、環(huán)形裂紋和便士形裂紋的擴展問題。按照載荷形式的不同，被研究較多的通常有熱載荷、電載荷、靜載荷、沖擊載荷、彈性波等。

20世紀60年代中期，Sih[1]較早研究了剪應力作用下裂紋體的應力分布問題，為此類問題的研究奠定了理論基礎。21世紀初，Wang等[2]考慮了包含動態(tài)載荷作用下的一些非共線裂紋的漸變復合材料板的響應問題，利用拉普拉斯變換和傅里葉變換技術，得出了每一層的一般解。然后，通過引入邊界條件和層界面條件來獲得整個介質的解。該方法為層合結構的分析提供了思路。Ma等[3-6]采用Schmidt方法研究了在反平面剪切波作用下三明治結構中的共線裂紋問題、利用積分變換和微分因子法求解了功能梯度涂層-基體系統(tǒng)中的內部或邊緣靜動態(tài)裂紋問題。綜合積分變換、留數(shù)理論和疊加方法，Guo等[7-8]針對功能梯度材料或功能梯度涂層結構中的垂直于表面的裂紋和共線裂紋的熱斷裂行為進行了分析。仲政等[9]對有關功能梯度材料斷裂問題的理論與數(shù)值計算方法進行了綜述。Ghafarollahi等[10]基于多極展開法，對界面附近的任意方向橢圓孔洞或裂紋對彈性波的散射問題進行了解析求解。李戎等[11]關注到含裂紋功能梯度材料的應力強度因子計算難以避免復雜的矩陣運算以及數(shù)值積分，他們對含外表面環(huán)向裂紋功能梯度材料圓筒,利用功能梯度材料圓筒與均勻材料圓筒裂尖應力的比例關系,將復雜的功能梯度材料圓筒應力強度因子求解問題轉化為簡單的應力值提取問題以及經(jīng)驗公式計算問題。

除了對穩(wěn)態(tài)斷裂問題的研究外，也有很多學者對瞬態(tài)斷裂問題展開討論。Guo等[12-13]采用Fourier和Laplace變換方法研究了含裂紋功能梯度層狀結構的瞬態(tài)斷裂行為。Bagheri[14]基于線彈性理論提出了兩個具有界面Volterra-型螺旋位錯的正交各向異性功能梯度半層在反平面瞬態(tài)載荷作用下的解析方法。以上大部分的分析均是在力電載荷、靜載荷、沖擊載荷、彈性波等的作用下展開的，而在扭轉載荷、熱載荷作用下的此類問題分析較少，Tavakoli等[15]應用分布位錯技術從理論上分析均勻各向同性層與其功能梯度材料涂層之間的多個軸對稱界面裂紋在扭轉載荷下的斷裂行為。程家幸等[16]研究了含微孔洞缺陷的壓電功能梯度材料矩形板的熱屈曲相關特性。

在實際工程中，壓電材料的應用場合越來越復雜，一些學者開始轉向研究功能梯度材料的混合加載問題以及壓電壓磁材料的力-電-熱-磁多場耦合問題。Pathak[17]用擴展有限元法模擬了裂紋的不連續(xù)性，分析了在機械載荷和熱載荷混合加載環(huán)境下的裂紋相互作用問題。Fang等[18-19]利用波函數(shù)展開法和鏡像法研究了圓孔對反平面剪切波的散射問題。孫建亮等[20]利用Fourier變換方法對功能梯度壓電壓磁體中單個直裂紋的反平面剪切問題進行了詳細的理論研究。用同樣的方法，Bagheri等[21]研究了夾在兩個磁電彈性層之間的功能梯度正交各向異性層的動應力集中問題。張超群等[22]利用傳遞矩陣法和Bloch定理,分析了界面損傷和損傷耦合對第一帶隙特性的影響。夏振庭等[23]基于變分漸近法模擬了金屬芯壓電壓磁纖維/聚合物基復合材料的有效時變,非線性和多物理場響應。趙星等[24]針對非理想界面功能梯度壓電/壓磁雙材料中SH界面波的傳播問題。Milan等[25-27]把處理力-電場中瞬態(tài)斷裂問題的方法引入到求解力-電-磁多場耦合結構的瞬態(tài)斷裂問題中。

可以看出，現(xiàn)有文獻大部分關注FGPMs中單一缺陷的動應力集中問題、或單純考慮對稱缺陷問題，而研究多個缺陷相互作用問題的文獻又大部分關注的是單一的彈性場，不涉及力電耦合問題。因此，為了研究含非對稱復合型缺陷的FGPMs粘接結構在剪切波作用下的力學特性，本文將用于求解均勻壓電材料斷裂問題的方法引入到FGPMs的求解中，為含復雜缺陷功能梯度材料的多場耦合斷裂問題提供方法和參考。

1 問題描述

本文考慮的雙相功能梯度壓電材料結構如圖1所示。x軸的下方和上方分別為兩種不同梯度的壓電材料，材料性質分別沿y方向呈指數(shù)形式變化。將這兩種材料沿著x軸粘接，在粘接面上存在一個半徑為R0的圓形孔洞和長度為A的界面裂紋。假設一束時間諧和的力電波沿與x軸正半軸成α0角度入射到含缺陷的介質中，本文所要解決的問題是如何求解此類非均勻材料中復合型缺陷的動應力集中問題。

圖1 功能梯度壓電材料中由孔邊激發(fā)的界面裂紋模型

1.1 控制方程

假設此粘接結構的彈性常數(shù)、壓電系數(shù)、介電常數(shù)和密度在界面上同，分別為c440，e150，κ110和ρ0，介質I和介質II的非均勻參數(shù)分別為βI和βII。材料參數(shù)滿足如下關系

(c44(y),e15(y),κ11(y),ρ(y))=

(c440,e150,κ110,ρ0)e2βy

(1)

對于此反平面問題，僅存在出平面位移和平面內電場，力電場表達式可以定義為[28]

F*(x,y,t)=F(x,y)e-iωt

(2)

式中，ω為入射波的圓頻率。由于所有場變量均具有相同的時間因子e-iωt，故在后續(xù)的推導中將忽略此項，僅考慮場變量F(x,y)即可。

功能梯度材料的壓電方程分量形式如下

(3)

在忽略體力和自由電荷的情況下，由彈性位移和電位勢φ兩個物理量表示的控制方程為

(4)

可以看出，控制方程中的位移和電位勢φ耦合在一起，這將使得方程的求解非常復雜，因此，考慮引入一個合適的解耦函數(shù)來解決此問題，其滿足如下關系

φ=φ-(e150/κ110)

(5)

將式(5)代入到控制方程(4)中可使和φ分別滿足

(6a)

(6b)

1.2 電彈場的構造

本文考慮所研究問題的穩(wěn)態(tài)解，令=0e-iωt，代入到式(6b)中可將位移滿足的方程轉換為

(7)

其中k為波數(shù)，滿足關系k=ω/cSH。若式(7)的解的形式為=e-βyu(x,y)，則u(x,y) 應滿足方程

?2u+K2u=0

(8)

i=

r=

f=

(9)

上標i，r和f分別代表入射、反射和折射。α2為折射角。式(9)相應的散射位移場和電位勢場分別為

is=

rs=

fs=

(10)

(11)

其中

由于孔內僅存在電場，并無位移場，結合?2φc=0可知孔內的電位勢場φc(is,rs,fs)形式如下

(12)

接下來，以入射波為例，將式(9)～(12)代入式(3)相應的極坐標方程中可得出剪應力和電位移的表達式

φ=φi+φis=

(13)

(14)

(15)

(16)

2 Green函數(shù)

在本小節(jié)中，采用Green函數(shù)方法來求解邊界值問題。對于本文模型，所構造的Green函數(shù)為一個具有半圓形缺口的功能梯度壓電介質彈性半空間在其表面任意一點r0作用時間諧和的出平面力電線源載荷時位移函數(shù)和電場函數(shù)的基本解，分別表示為

(17)

(18)

式中：G代表位移Green函數(shù)；Gφ代表電位勢Green函數(shù)。由Sommerfeld輻射條件可知，孔內電位勢應為有限值，故：

(19)

把式(17)～(19)代入式(3)的極坐標形式可以得到剪應力和電位移為

(20)

(21)

(22)

式中，κ0為真空(或空氣)介電常數(shù)。由于在界面處，上半空間與下半空間的邊界應力方向相反，故作用的線源激勵方向也應相反，由此可知

(23)

3 邊界條件與未知系數(shù)的確定

3.1 邊界條件

圓孔邊界面和裂紋面應滿足電導通邊界條件和應力自由邊界條件，界面處應滿足彈性位移連續(xù)、剪應力連續(xù)、電位移連續(xù)、電位勢連續(xù)邊界條件，即：

(24)

(25)

3.2 未知系數(shù)的確定

將式(12)～(16)代入到邊界條件(25)中可得出求解入射波散射場未知系數(shù)的無窮代數(shù)方程組

(26)

其中

cos[n(θ-α0])

inεncos[n(θ-α0)]

cos[n(θ-α0)]

將式(17)～(22)代入到邊界條件(25)中可得出求解和Green函數(shù)未知系數(shù)的無窮代數(shù)方程組

(27)

其中

接下來，利用三角函數(shù)的周期正交性消除變量θ，將式(26)、(27)的兩邊同乘exp(-imθ)并在(-π,π)上積分，即：

(28)

(29)

4 積分方程與動應力強度因子

根據(jù)裂紋切割和界面契合的思想，可以構造出接近于真實裂紋的裂紋力學模型，如圖2所示。

圖2 上下半無限功能梯度壓電介質的切割與契合

具體構造過程如下:

首先將雙相功能梯度壓電介質于界面處(x-軸)切割開，則切割面上的位移為

(Ι)(r,θ)=(i)(r,θ)+(is)(r,θ)+(r)(r,θ)+(rs)(r,θ)

(ΙΙ)(r,θ)=(f)(r,θ)+(fs)(r,θ)

(30)

剪應力為

(31)

式中

(32)

Ι(r,θ)+(f1)(r,θ)+(τI)(r,θ)=ΙΙ(r,θ)+(f2)(r,θ)+(τII)(r,θ)θ=0,r≥R0;θ=π,r≥R0+A

(33)

式中

將式(32)代入式(33)中便得到所求問題的積分方程

(34)

這里引入孔邊徑向裂紋的動應力強度因子公式

(35)

將式(34)中的被積函數(shù)做如下代換

(36)

則可知在裂尖處，即r0→R0+A時

(37)

這樣代換后得到的積分方程將直接包含kIII，在理論計算中一般會定義一個無量綱動應力強度因子

(38)

5 數(shù)值算例

作為算例，本節(jié)給出了動應力強度因子(dynamic stress intensity factor, DSIF)隨非均勻參數(shù)、入射波數(shù)、入射角以及缺陷幾何尺寸的變化規(guī)律。為了驗證理論方法的正確性，首先將本文模型退化成直裂紋，針對垂直入射的情況，與Guo等研究進行對比，結果如圖3所示。可以看到兩條曲線基本吻合，最大誤差出現(xiàn)在kA=1.6處，誤差值為1.21%，由于誤差小于3%故可以認為采用本文方法求解功能梯度材料中復合型缺陷的斷裂問題是有效的。接下來，為了說明孔的散射對裂紋尖端應力場的影響繪制了圖4；圖5～圖7用于反映材料非均勻性和波數(shù)對DSIF的影響；圖8用于分析缺陷幾何尺寸對結果的影響；圖9用于表明入射角度對DSIF的影響。

圖3 本文退化模型與已出版文獻[30]模型的對比

圖4 缺陷總長度相等情況下本文結果與已出版文獻[30]結果的對比

圖5 功能梯度壓電材料和均勻壓電材料的對比

圖6 DSIF隨βI/βII和kR0的變化規(guī)律

圖7 DSIF隨kR0和β(βI=βII=β)的變化規(guī)律

圖4給出的是當本文模型中裂紋和圓孔的總長度和文獻[30]中的直裂紋長度相等時的對比結果。可以看出，隨著孔半徑的增加(與此同時裂紋長度的減小)，裂紋尖端的DSIF越來越小，且孔徑相對于裂紋的尺寸越大，DSIF值下降的越明顯。這說明，為了簡化計算而將復合型缺陷等效為直裂紋進行分析是不準確的，這種等效計算無法反映裂尖應力場的真實情況。

圖5給出的是波數(shù)kR0=0.5和kR0=1.0兩種情況下功能梯度壓電材料與均勻壓電材料的裂尖場DSIF對比結果。當非均勻參數(shù)值取圖中數(shù)值的情況下：低頻入射(kR0=0.5)情況下，功能梯度壓電材料的動應力強度因子峰值比均勻壓電材料高約34%；中頻入射(kR0=1.0)情況下，兩曲線峰值相差不大且走勢接近。由此可知，當其他參數(shù)相同時，材料的非均勻性對裂尖應力場的影響在低頻載荷作用下更明顯。

圖6給出的是不同波數(shù)情況下DSIF隨材料I與材料II的非均勻參數(shù)比值的變化規(guī)律。按照當前參數(shù)的取值，可以看出，在中高頻段DSIFs隨βI/βII的增加而減小，且DSIF與βI/βII幾乎成比例變化；在低頻段，隨著βI/βII的增加，DSIF先是緩慢增大，增大到材料I的非均勻參數(shù)為料II的非均勻參數(shù)的2倍時才呈現(xiàn)大幅度減小趨勢。且kR0=1.0所對應的曲線一直比其他兩條曲線高，說明對于FGPMs，中頻段的動態(tài)特性分析更為重要。

圖7給出的是兩種材料梯度特性相同情況下的DSIF隨波數(shù)和非均勻參數(shù)的變化規(guī)律。可以看出，均勻材料的DSIF峰值并不是最大的，當梯度參數(shù)值減小為負值時，DSIF的峰值要遠比均勻材料的情況大很多。這說明材料的非均勻性并不總是增加裂紋尖端處的應力集中，適當?shù)倪x取梯度參數(shù)反而可以降低結構破壞的可能性。

圖8給出的是當裂紋長度與孔徑的比取不同值時，DSIF隨波數(shù)kR0的變化規(guī)律。可以看出當A/R0=1.0時曲線的峰值最大，且各曲線峰值基本位于中低頻段，低頻和高頻作用下DSIF數(shù)值均較小。這說明當復合缺陷中孔半徑與裂紋長度相近時孔的散射作用將加劇裂紋尖端的應力集中。

圖8 DSIF隨kR0和A/R0的變化規(guī)律

圖9給出的是低、中、高頻情況下DSIF隨入射角度和上半空間非均勻參數(shù)的變化規(guī)律。顯然，三幅圖的峰值均對應βII取較大值的情況。低頻和中頻入射時，無論彈性波以何角度入射，DSIF均隨βII的增大而增大；而高頻入射時，入射角度為90°～135°時的規(guī)律正好與此相反。低頻入射時的最危險入射角度在120°左右；中、高頻入射時的最危險入射角度在60°左右。整體來看，隨著SH波的入射角度的增加，頻率越高，裂紋尖端的DSIF減小的越明顯，這是由復合缺陷不對稱導致的。

(a) kR0=0.5

6 結 論

本文針對反平面剪切波作用下含復合缺陷功能梯度壓電材料的斷裂問題，提出了一種基于Green函數(shù)的理論計算方法。通過引入解耦函數(shù)將電場和彈性場分離，推導出由界面和圓孔導致的反射波、折射波和散射波的具體形式，根據(jù)界面邊界條件并結合裂紋切割和契合技術得到直接包含動應力強度因子的積分方程。對于實際工程中普遍存在的由缺陷導致的功能梯度壓電元件失效問題，采用本文方法可以獲得動應力強度因子的理論表達式，從而便于后續(xù)對裂紋擴展以及材料斷裂等問題的研究。最后，通過數(shù)值算例詳細分析了缺陷的幾何特征、波數(shù)、入射角以及材料的梯度參數(shù)等對計算結果的影響。結果表明，基于Green函數(shù)方法在進行含復合缺陷功能梯度壓電材料的反平面動態(tài)響應分析時具有較高的求解精度。