基于簡化素養 解決簡算不“簡”的問題
——從一道小學數學學科能力檢測題談起

宋元春

（廣東省順德市德勝學校小學部）

數學意義上的簡化可看作“數學神奇”的一個主要方面，它會通過運用轉化、變換、推理、分析、統籌、預測等方法，讓人們把生活中一些復雜的問題或現象變得更加簡單。正是由于“簡化”的數學方法具有實用性和廣泛性，使得它能夠處理包括空間和運動、幾率和概率、統計學和社會科學、藝術和文學、邏輯學和哲學、倫理學和戰爭、音樂和建筑、食物和醫藥、倫琴射線和晶體、遺傳和繼承等領域中的很多問題。

下面是2018年某地小學數學學科能力檢測中的一道題：請你用合理的方法計算350×18和600÷25。

測試結果顯示，只有少部分學生運用了“合理”的方法進行計算，大部分學生采用了列算式的方法計算。題目中沒提出簡便計算要求，學生就不用簡便方法計算，怎么辦？

顯然，這道題除了采用列算式的方法外，還可以采用簡便計算的方法，即：

1．350×18=350×（2×9）=350×2×9=700×9=6300

2．600÷25=（600×4）÷（25×4）=2400÷100=24

不可否認，運用列算式的方法確實能正確計算出上述兩道題目的結果，而且“合理”指的是合乎道理或事理，對于不同的學生而言，“合理”的意義不盡相同。所以，用列算式方法解決以上兩道題目，毫無疑問是正確的。

但同時，上述兩道題目又具有明顯的簡算特征，即先轉換成與整十、整百、整千相關聯的數再進行計算，這樣明顯可以更加簡便。問題恰恰在于此，在題目沒有明確簡算要求的情況下，大部分學生并沒有選擇簡便算法，而是選擇了更為通用的列算式方法。這是為什么呢？對這一問題進一步思考，我們可以提出兩個問題：一是學生是否形成了簡算的意識？二是學生是否掌握了簡算的方法？

結合這兩個問題，我在實踐中探索了如何在數學課堂中培養學生簡化素養的策略。

一、注重培養簡化意識

北京師范大學彭聃齡教授在《普通心理學》一書中認為，心理學界對“意識”概念的理解分廣義和狹義兩種。廣義的是指大腦對客觀世界的反應，這表現了心理學脫胎于哲學的一種特殊的學術現象，而狹義的則是指人們對外界和自身的覺察與關注程度，現代心理學中對意識的論述則主要是指狹義的意識概念。

簡化意識是指學生對簡化的覺察與關注程度。覺察，指發現、察覺或覺知；關注，指關心、重視。在數學教學中，教師要通過具體數學知識內容的教學，引領學生感悟數學的簡化特性，體會簡化在解決實際問題中的簡單、方便、好用，使學生對數學簡化特性形成深刻的認知，建立積極的情感與態度。

小學數學中有很多這樣的例子，如計算1+2+3+……+100，按照常規算法，需花費不少時間。但如果采用高斯的方法進行首尾相加，則只需套用101×50就可以了；再如，計算，按照常規算法，需先將這些分數通分，轉換成同分母分數再計算，如果轉換思維，采用圖1的圖式簡算思路，則直接用就可解決。又如，計算形狀不規則平面圖形的面積時，我們只需把它轉換成一些基本的平面圖形，如長方形、平行四邊形、三角形、梯形等就可以化繁為簡進行計算。

圖1 圖式簡算

另外，轉化思想在數學學習中的廣泛使用也能讓學生充分體驗到數學簡化的價值。如在圖形的測量中，平行四邊形的面積計算可以轉化成長方形的面積計算、三角形的面積計算可以轉化成平行四邊形的面積計算、梯形的面積計算可以轉化成三角形的面積計算、圓的面積計算可以轉化成長方形的面積計算等。在數的運算中，異分母分數加減法可以轉化成同分母分數加減法，分數除法可以轉化成分數乘法，除數是小數的除法可以轉化成除數是整數的除法等。如同搭建房子需從下往上逐層建設一般，數學體系也是基于數學對象的“抽象—推理—建模—抽象……”過程而不斷完善與擴展。

從這個意義上說，數學即可視為簡化的產物，數學知識本身自帶簡化屬性。法國思想家狄德羅說：“在（數學中）美的各個屬性之中，首先要推崇的大概就是簡單性了。結果的意思及其意義馬上就會被讀者掌握，而這一點本身可能就使得人們覺得這個結果多么漂亮。”這就要求教師在平時教學中不能僅僅停留在對知識技能的理解與掌握上，還應以此為基礎及時滲透數學思想方法，引導學生感悟數學簡化特性的方便與好用，引領學生用數學簡化的眼光理解問題、用數學簡化的方法解決問題，真正讓數學簡化意識融入學生的思想，讓數學簡化方法融入學生的認知，讓數學簡化魅力融入學生的情感，使學生對數學簡化的覺察與關注成為一種習慣。

二、牢固掌握簡化方法

如果說簡化意識的培育是學生簡化素養形成的前提，那么簡化方法的掌握就是學生簡化素養形成的保障。《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“運算能力主要是指能夠根據法則和運算律正確地進行運算的能力。培養運算能力有助于學生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。”由此可知，培養學生簡化素養，引領學生掌握簡化方法，形成良好運算能力，需幫助學生做好以下兩個方面的學習。

（一）理解和掌握小學數學運算法則和運算律

完成運算，得出結果的方法、程序或途徑，通常叫做運算方法或計算方法。把運算方法所要求的操作程序和要點用相對準確、規范且比較容易理解的文本語言表述出來，或者將當前運算歸結為學生早先已經掌握的相關運算，就是運算法則。關于小學數學的運算法則，東北師范大學史寧中教授指出：“在混合運算中，關于運算次序有兩個基本法則，包括有括號，先計算括號中的算式；沒有括號，先乘除后加減。”由于這兩個法則在整個小學階段整數、小數和分數運算中都是適用的，通常大部分學生掌握得都比較好，在此不再贅述。

運算律是通過對一些等式的觀察、比較和分析而抽象、概括出來的運算規律。小學階段的運算律，主要包括交換律（加法及乘法）、結合律（加法及乘法）與分配律（乘法對加法或乘法對減法）。

1．交換律

交換律是一個和二元運算及函數有關的性質。而若交換律對于特定二元運算下的一對元素成立，則稱這兩個元素為在此運算下是“可交換”的。可見，交換律的核心在于“可交換”。“可交換”一詞被使用于如下3個相關的概念中。一是在集合S上的一元和二元運算*中被稱之為“可交換”的：若x*y=y*x（?x，y∈S），一個不滿足上述性質的運算則稱之為“不可交換”的。二是若稱x在*下和y“可交換”，即表示：x*y=y*x。三是一元和二元函數f：A×A→B被稱之為“可交換”的，若f（x，y）=f（y，x）（?x，y∈A）。交換律在數學研究、數學證明中的廣泛應用，證明了其在整個數學體系中的基礎地位。如在群論和集合論中，若其中的運算域滿足交換律，則這樣的代數結構被稱做是“可交換”的。如上所述，“可交換”及“廣泛應用”可視為交換律的基本特征。

2．結合律

在數學中，結合律是二元運算下可以具備的一個性質，指在一個包含有2個以上的可結合“算子”的表示式，只要“算子”的位置沒有改變，其運算的順序就不會對運算結果有影響。即重新排列表示式中的括號并不會改變其值。其定義是：形式上，一個在集合S上的二元運算*被稱之為“可結合”的，若其滿足（x*y）*z=x*（y*z）（?x，y，z∈S）。運算的順序并不會影響到表示式的值，且可證明這在含有“任意”多個運算的表示式之下也依然是成立的。

由此發現，交換律和運算律的相同之處是：運算順序發生改變但結果不變。而這恰恰也是它們的本質屬性，即“可交換”與“可結合”的前提條件是“運算值不變”。同時，交換律和結合律也有明顯的不同，即交換律中“算子”（加數或因數）的位置可以改變但結合律中“算子”（加數或因數）的位置不允許發生改變。

3．分配律

分配律是離散信號卷積和運算最常用的幾個基本運算規則之一，離散序列卷和運算滿足分配律，即兩個序列先行相加運算再與第3個序列做卷積和運算，其結果等于這兩個序列分別與第3個序列先做卷積和運算，然后二者再相加，即：

給定集合S上的兩個二元運算×和+，若對任意S中的a，b，c有c×（a+b）=（c×a）+（c×b），則稱運算×對運算+滿足左分配律。若對任意S中的a，b，c有（a+b）×c=（a×c）+（b×c），則稱運算×對運算+滿足右分配律。

借助系統論和集合論的內容來開闊視野，使我們對乘法分配律的理解更加深刻，即乘法分配律可看作為3個“序列（數）”之間的“卷和運算（乘法和加法）”，它不僅滿足乘法對加法的左（右）分配律，同時乘法對減法的左（右）分配律也是成立的。需要指出的是，除法對加法及減法只滿足右分配律，其對加、減法的左分配律是不成立的。

（二）尋求合理簡潔解決問題的運算途徑

學生在掌握運算法則和運算律的前提下，如何尋求合理簡潔的運算途徑來解決問題？靈活運用所學知識（即運算法則和運算律）就是實現巧算與簡算的關鍵。靈活性是重要的數學思維品質之一，是指善于根據客觀實際情況的變化而及時改變原來的工作計劃或解決問題的思路與方案。思維的靈活性表現為：不囿于過時的方案，而善于根據實際情況的變化靈活地改變原有方案，采用新的方法、途徑去解決問題。具體從以下三個角度來進行分析。

1．建立良好的簡算結構

美國著名教育家布魯納曾指出：“掌握一個學科的結構是理解該學科的一種方式，使許多其他相關的事物有意義。簡而言之，學習結構就是學習事物相關性……舉一個數學例子，代數是在方程式中排列已知和未知內容的一種方式，從而使未知變成已知。”這涉及三個基本法則：交換律、分配律和結合律。學生一旦掌握了這三個基本法則所體現的理念，他就能認識到“新”方程式其實并不難理解。

培養靈活簡算能力、形成簡化素養，教師先要引導學生建立應用運算律進行簡便計算的基本結構，即交換律、結合律、乘法分配律、減法的性質、除法的性質、除法的右分配律、商不變的性質等。然后，要使學生對簡算結構的“標準正例”（與簡算結構形式上完全相同）或“非標準正例”（與簡算結構相比形式上有變化，但實質相同）能做出清晰的認知，進而準確判斷計算中能否簡算，該利用何種結構簡算。例如，計算25×39×4，這屬于交換律的“標準正例”，所以可直接利用運算律進行簡算，即25×39×4=25×4×39=100×39=3900；再如，計算350×18，這不屬于交換律的“標準正例”，無法直接簡算，但是如果把18拆分成2×9，即350×18=350×（2×9）；此時，便可參照簡算結構中的結合律進行簡算，即350×18=350×（2×9）=350×2×9=700×9=6300。

2．基于結構進行狀態轉換

按照以往教學經驗，參照前面引用的兩個例題（350×18及600÷25）可知，學生在面對簡算的“非標準正例”時，相較于“標準正例”要困難得多，這就需要培養學生具備“狀態轉換”的能力。

現代認知心理學認為，問題解決就是在問題空間中搜尋解決路徑，即“算子”（與前文中的“算子”意義不同），也就是問題由“初始狀態”向“目標狀態”轉變的過程。找尋“算子”的時間越短、問題解決的“中間狀態”越少，即可視為問題解決的能力越強。結合簡算教學，這一理論也很有指導意義，如計算600÷25，首先要對問題深刻理解，即這是一道整數除法的計算題，不屬于簡算的“標準正例”，無法直接簡算；其次，要進行“狀態轉換”，即是否可以通過數的拆解或組合形成某種簡算結構，進而嘗試變化為（600×4）÷（25×4）=600÷25，符合“標準正例”（商不變的性質），可以簡算；最后，要實施簡便計算，使問題得以解決，即600÷25=（600×4）÷（25×4）=2400÷100=24。

由此可以看出，培養學生“數的湊整”意識對于簡算是格外重要的。我們要意識到，在小學數學數的運算中，整十、整百、整千、整萬的數總能使計算變得更加簡單。因此，教師要在平時的運算教學中，適時滲透“數的湊整”意識。例如，72與28的和是100，250與4的積是1000，1．25與8的積是10,1．37與0．37的差是1，101可以看成100+1，98可以看成100-2，等等；要引導學生通過“狀態轉換”，盡可能地把數或式轉換成整十、整百、整千、整萬的數，進而實施簡便計算，提升簡化素養。

3．適時提供反例進行比較

把握事物的本質，僅僅從正例（“標準正例”與“非標準正例”）入手肯定是不夠的，還需要適時提供一些反例，引導學生進行比較，以達到對事物的內涵及外延更深層次的理解。在小學數學“數的運算”內容中，往往會看到一些形似簡算結構實質卻無法簡算的計算題。例如，750÷25×4，出于“數的湊整意識”，很多學生可能馬上想到25×4=100，所以進行簡算：750÷25×4=750÷（25×4），顯然這種思路是錯誤的。

如何克服這種思維的局限性？提供正、反例進行比較，在此可視為一種有效的嘗試，即出示750÷25÷4與750÷25×4，引導學生進行比較。通過分析不難得出，750÷25÷4符合簡算結構（即除法的性質）可以簡算，即750÷25÷4=750÷（25×4）。而750÷25×4不符合簡算結構，只能按照運算順序進行計算。

這也啟示我們，思維的靈活、計算的快捷固然是對“數的運算”的追求，但對簡算的實質理解從某種程度上來說更為重要，即“可不可以這樣做”“為什么可以這樣做”比“怎樣做”更重要，它關乎著運算的方向與運算結果的對錯。

三、注重簡化素養的滲透方式

在小學數學教學中解決簡算不“簡”的問題，教師除了要注重培養簡化意識，幫助學生牢固掌握簡化方法之外，還應注重簡化素養的滲透方式。

（一）注重化歸思想的滲透

培養學生的數學思維，應被看成數學教育的根本目標之一，其途徑在于以思想方法的分析促進知識技能的教學。我認為，在數的簡算教學中應突出化歸的思想方法，即事物基于規則，由某種狀態轉變成另一狀態。課堂教學中，要注意引導學生將算式由“變化結構”轉變成“標準結構”，將問題由“初始狀態”不斷逼近“目標狀態”，進而找到方法去解決問題。例如，48×25可以轉化成12×4×25、6×8×25及40×25+8×25，101×56可以轉化成100×56+56，等等。從這個意義上說，培養學生的簡算能力，實質上就是培養學生的問題轉換能力。

（二）注重優化意識的滲透

在“數的運算”教學中，運算方法的多樣化和優化一直是頗受關注的話題。多樣化，即倡導學生對知識的主觀建構，尊重學生對知識的主觀理解；優化，即尊重知識的客觀意義，還原知識的真實面目。在具體教學中，我們應努力做到二者的必要平衡與統一，即鼓勵算法的多樣化，但也要做好必要的優化。例如，計算98+375，我們可有多種計算方法：90+8+375、95+3+375、100-2+375、98+300+75、98+372+3、98+2+373等。這些計算方法都是正確的（即符合數的分解與組成規則），但顯然100-2+375與98+2+373兩種算法更能體現數學的簡化特性，即把復雜的問題變得簡單，把簡單的問題變得更簡單。所以，多樣化之后的比較和優化就很有必要。

（三）注重元認知能力的滲透

根據美國心理學家弗拉維爾的觀點，元認知就是對認知的認知，具體地說，是個人對自己認知過程的認識和調節這些過程的能力以及對思維和學習活動的認知和控制。簡而言之，元認知就是對自己認知過程和認知結果的監控與調節。

結合簡算教學，培養學生的元認知能力就顯得十分重要，這是因為，在解決較復雜的數學運算問題過程中，學生往往不能很快找出合理、簡潔的運算路徑，而需要不斷往返地進行猜想、嘗試、調整。對于具有一定元認知能力的學生而言，其在此過程顯然游刃有余、得心應手，可以快速在不同思維環節靈活轉換，從而更快、更好地解決問題。

對于教師而言，我們不應僅僅停留在“求得問題的解答”這一層面，而應引導學生進一步思考：解決問題時我們用了什么方法？這種方法合理嗎？是否還有更簡潔的方法？促使學生對認知過程和認知結果實施評估和監控，在解決問題的同時提升元認知能力。

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出：“養成在日常生活和實踐中一般性思考問題的習慣，把握事物的本質，以簡馭繁。”可見，數學的簡化特性不僅給人們的工作和生活帶來了方便，也對社會和科學各領域快速發展起到了一定的助推作用。因此，引領學生在學習數學過程中感悟數學簡化之美、體會數學簡化的價值、培育良好的數學簡化素養，非常重要。