基于黃土二次拋物線準則的鄧肯-張模型修正

何盛東，關曉迪，張明飛，魏歡歡，馬 迪

(1.鄭州航空工業管理學院 土木建筑學院，河南 鄭州 450046; 2.西安理工大學 土木建筑工程學院，陜西 西安 710048; 3.楊凌職業技術學院 建筑工程學院，陜西 咸陽 712100; 4.西安交通工程學院 土木工程學院，陜西 西安 710300)

1 引 言

土的本構關系是反映土的力學性狀的數學表達式，也稱為土的本構模型[1]。為簡化和突出土的變形強度特性，建立較為實用的本構模型一直是土力學的核心問題[2]。由于土的多相性、結構性及破碎性等特點，使得不同土的本構關系差別較大。目前，在工程中應用較為廣泛的本構模型主要包括彈塑性本構模型和非線性彈性本構模型兩大類[3]。這兩類模型各有優點，前者能較好地反映土的本質特性，如壓硬性和剪縮性等，后者則是模型中參數容易確定，工程應用較為方便。其中基于Mohr-Coulomb強度準則的鄧肯-張雙曲線模型[4]正是非線性彈性本構模型的代表，該模型是一種建立在增量廣義虎克定律基礎上的非線性彈性模型[5]。該模型具有數學表達式相對簡單，模型參數物理意義較為明確，參數容易確定以及在數值分析中應用較為方便的特點[6]，因而在工程實踐中獲得廣泛應用。

許多學者針對不同的土性，積極地改進了鄧肯-張雙曲線模型[7-8]。謝曉華、沈珠江[9]給出了考慮小主應力增量影響的切線模型公式，對常規三軸試驗的計算參數進行了平面應變修正。馮衛星等[10]通過對在實際工點選取的土樣進行常規三軸試驗，得到了北京地區細砂土的鄧肯-張模型參數。王立忠等[11]考慮了黏土的結構損傷，引入損傷比的概念，對鄧肯-張模型進行了修正。沈廣軍[12]通過開展粗粒土三軸剪切試驗，提出了準確反映體積變形與軸向變形間關系的經驗公式，對鄧肯-張E-μ模型進行修正。胡亞元等[13]研究了纖維對淤泥固化土工程性質及鄧肯-張模型參數的影響，建立了淤泥固化土的鄧肯-張E-μ模型。上述研究均促進了鄧肯-張本構模型的發展與完善。然而卻鮮見考慮土體的抗拉強度及內摩擦角隨圍壓的增大而減小的特性在鄧肯-張本構模型中的研究與應用。基于此，本文將二次拋物線準則引入鄧肯-張本構模型中，基于二次拋物線準則重新確定了土的強度(σ1-σ3)f與破壞應力比Rf，并且確定了新的切線變形模量Ei和切線泊松比vt，從而建立了基于二次拋物線準則的鄧肯-張本構模型，為鄧肯-張本構模型在黃土邊坡的穩定性分析中，合理考慮黃土的抗拉強度及內摩擦角隨圍壓的增大而減小的特性提供了一種新方法。

2 黃土二次拋物線準則的建立

王衍匯、倪萬魁等[14-16]通過取洛川黃土塬深度約為2.0 m～3.0 m的Q3原狀黃土，對原狀黃土進行單軸拉伸、單軸壓縮及三軸剪切試驗，基于試驗數據擬合出原狀黃土的二次拋物線準則公式，如圖1所示。

圖1 二次拋物線型強度破壞線的建立

在σ-τ平面內，設擬合出的二次拋物線型強度線與σ軸交點橫坐標為σt，則二次拋物線型強度線表達式為：

τ2=λ(σ+σt)

(1)

式中：τ為土體的抗剪強度，σ為法向應力，λ為待定正常數，σt為抗拉強度。

待定正常數λ隨著黃土含水率w的增大而逐漸減小，二者大致成負指數函數關系，如圖2所示。則可通過內插取值確定指定含水率下待定正常數，其中待定正常數λ與含水率w的關系表示為：

λ=336.4e-0.11w

(2)

式中：w為原狀黃土含水率。

圖2 待定正常數與土體含水率的關系曲線

3 鄧肯-張本構模型的修正

3.1鄧肯-張模型的建立及修正思路

康納(Kondner)通過開展大規模土體的三軸試驗，提出了采用雙曲線擬合土的三軸試驗曲線方法，其表達式為：

(3)

式中：σ1和σ3分別為軸向應力和圍壓，a、b為試驗常數。

鄧肯(Duncan)在廣義的增量虎克定律的基礎上[17]，提出了應用廣泛的增量彈性模型，即鄧肯-張(Duncan-Chang)雙曲線模型。

在常規三軸壓縮試驗中εa=ε1，則式(3)可寫為：

(4)

式中：ε1為軸向應變。

且dσ2=dσ3=0，則切線變形模量Et為：

(5)

在三軸試驗的起始點，軸向應變ε1=0，切線變形模量Et=Ei，則初始變形模量Et為：

(6)

可見a為初始變形模量Et的倒數。

式(4)中軸向應變取ε1→∞，則極限偏差應力(σ1-σ3)ult為：

(7)

或

(8)

可見b為極限偏差應力的倒數。

在雙曲線應力應變關系中，定義破壞應力比Rf為：

(9)

聯立式(8)、式(9)，可得：

(10)

將式(4)變換形式，可得：

(11)

將式(11)代入式(5)，可得：

(12)

將式(6)、式(10)代入式(12)，可得：

(13)

為了在鄧肯-張本構模型中研究與應用土體的抗拉強度及內摩擦角隨圍壓的增大而減小的特性，將黃土二次拋物線準則引入鄧肯-張本構模型中，修正了土的強度與破壞應力比，推導了基于二次拋物線準則的切線變形模量及切線泊松比的解析解。

3.2基于二次拋物線準則的切線變形模量

在σ-τ平面內，二次拋物線型強度包線如圖1所示，其中應力莫爾圓與強度包線相切于點p(σp,τp)，則點p滿足式(14)，即：

(14)

若通過土體某點的兩個滑移面間夾角為2θ，則有：

(15)

對式(15)進行三角變換，可得：

(16)

由圖1中應力莫爾圓與強度包線間的幾何關系，得到主應力σ1、σ3可表示為：

(17)

將式(14)、式(15)和式(16)代入式(17)，可得：

(18)

(19)

聯立式(18)、式(19)，可得二次拋物線準則的主應力表達式為：

(20)

對式(20)進行變換，可得：

(21)

將式(21)化簡整理，可得：

(22)

由式(22)經計算得基于二次拋物線準則的土的強度(σ1-σ3)f可表示為：

(23)

則基于原狀黃土二次拋物線型強度準則的破壞應力比Rf可表示為：

(24)

式中：λ為待定正常數，σt為抗拉強度。

通過對土的試驗研究發現：lg(Ei/Pa)與lg(σ3/Pa)近似成直線函數關系，即：

(25)

式中：K，n為試驗常數，Pa為大氣壓。

將式(23)、式(25)代入式(13)，可得基于原狀黃土二次拋物線準則的切線變形模量Et為：

(26)

通過上述分析可以發現：基于二次拋物線準則的切線變形模量Et公式中包括5個材料常數，即K、n、λ、σt和Rf。

3.3基于二次拋物線準則的切線泊松比

鄧肯等人在試驗研究成果的基礎上，假定常規三軸壓縮試驗中土體的軸向應變與側向應變間存在雙曲線關系，即：

(27)

對式(27)進行變換可得：

(28)

從式(28)可看出，三軸試驗中-ε3/ε1與-ε3近似為直線函數關系，從而可確定直線的截距f和斜率D。當-ε3→0時，則有：

(-ε3/ε1)-ε3→0=f=Vi

(29)

式中：Vi為土的初始泊松比。

試驗表明：土的初始泊松比Vi與圍壓σ3有關，將初始泊松比Vi與σ3/Pa繪制在單對數坐標系中如圖3所示，可得：

Vi=f=G-Flg(σ3/Pa)

(30)

式中：G、F為試驗常數。

圖3 初始泊松比與圍壓的函數關系

對式(28)進行微分，經計算得切線泊松比Vt可表示為：

(31)

將式(6)、式(10)、式(11)和式(30)代入式(31)，可得基于原狀黃土二次拋物線型強度準則的切線泊松比Vt為：

(32)

通過上述分析可以發現：基于二次拋物線準則的切線泊松比Vt中，共引入8個材料常數，分別為K、n、λ、σt、Rf、G、F和D。

4 結 論

基于Mohr-Coulomb強度準則的鄧肯-張本構模型引入了8個材料參數，分別為K、n、Rf、φ、c、G、F、D，無法合理地考慮黃土的抗拉強度及內摩擦角隨圍壓的增大而減小的特性。本文通過在鄧肯-張本構模型中引入二次拋物線準則，對基于Mohr-Coulomb強度準則的鄧肯-張本構模型進行修正，建立了基于二次拋物線準則的鄧肯-張本構模型。該模型引入了K、n、Rf、λ、σt、G、F、D共8個材料參數，與基于Mohr-Coulomb強度準則建立的鄧肯-張本構模型具有相同數量的材料參數，但是修正后的鄧肯-張本構模型可較準確地反映黃土的抗拉與抗剪強度特性。

(1)基于原狀黃土的二次拋物線準則修正了土的強度(σ1-σ3)f與破壞應力比Rf，推導了基于二次拋物線準則的切線變形模量Et，修正后的切線變形模量合理地考慮了黃土的抗拉和抗剪強度特性。

(2)通過修正的切線變形模量Et，推導了基于原狀黃土二次拋物線準則的切線泊松比vt，修正后的切線變形模量vt合理地考慮了黃土的抗拉和抗剪強度特性。

基于原狀黃土二次拋物線準則的鄧肯-張本構模型不僅可以合理地考慮黃土的抗拉強度及內摩擦角隨圍壓的增大而減小的特性，擴大了鄧肯-張本構模型的適用范圍，也便于評價黃土的抗拉強度及內摩擦角隨圍壓的增大而減小的特性對黃土邊坡穩定性的影響及作用。