關于惠更斯對向心加速度證明方法的思考與應用

魯 斌 馮子江

（浙江省余姚中學 浙江 寧波 315400）

在人教版高中物理教材“向心加速度”一節(jié)中［1］，編者利用加速度的定義對“向心加速度公式”進行了詳細的推導，此推導過程充分體現(xiàn)了矢量和微分的思想.在課堂教學中，還可以提供荷蘭物理學家惠更斯（Christiaan Huygens，1629-1695）當年的推導方案，啟發(fā)學生對此問題進行更加深入的思考.

1 引出推導方案

在人教版高中物理教材“向心力”這一節(jié)有這樣一段話：“運動軌跡既不是直線也不是圓周的曲線運動，可以稱為一般的曲線運動.盡管這時曲線各個位置的彎曲程度不一樣，但在研究時，可以把這條曲線分割為許多很短的小段，質點在每小段的運動都可以看作圓周運動的一部分（圖1）.這樣，在分析質點經過曲線上某位置的運動時，就可以采用圓周運動的分析方法來處理了.”

圖1 一般曲線運動的軌跡

這段文字表達了“曲率圓”的概念.反過來，我們也可以啟發(fā)學生思考：既然一般曲線運動的每一小段都看做圓周運動的一部分，那么，圓周運動的每一小段是否也是一般曲線運動的一部分呢？

2 天文學家、數學家惠更斯的工作再現(xiàn)

荷蘭物理學家、天文學家、數學家惠更斯在1673年發(fā)表的《Horologium Oscillatorium》附錄中給出了離心力的完整計算方法［2］，由此可以大致總結其對向心加速度的推導方案.

如圖2所示，如果沒有加速度，質點在短時間Δt內從A以速度v勻速運動到B，實際上質點做圓周運動，在Δt時間內從A運動到C，可以認為這是由于質點同時參與了另一個由B到C的勻加速運動而導致的，所以有

圖2 向心加速度推導示意圖

圓周運動半徑為r，由于△ABC∽△EDC有

可得a=，當Δt→0時，方向指向圓心，故將這個加速度稱為向心加速度.

3 蘋果和月亮的思考

牛頓在鄉(xiāng)下故居躲避瘟疫的時候，開始認真關注蘋果下落的問題［3］.牛頓的沉思是：月球為什么不像蘋果那樣，落到地面上來呢？經過一段時間的思考，牛頓明白了：月球不落到地面上來，是因為它在繞地球旋轉；即使是蘋果，如果它以適當的速度運動，也照樣不會落到地面上來，同樣會繞地球旋轉.月亮繞地球轉動，實際上也可以看成是種“下落”（圖3），只不過沒有落到地球上來，而是保持一定距離繞著地球轉.如果月球不是不斷地“下落”，它就會離開地球，飛到浩瀚的宇宙深處.

圖3 月球“降落”的示意圖

圓周運動也是一種“降落”，讓我們對運動有了進一步的理解.圓周運動與直線運動并不是相互獨立的，而是彼此統(tǒng)一的.在課堂中，我們可以做如下的推導.

如圖4所示，假設一人造衛(wèi)星在近地軌道做半徑為r，角速度為ω的勻速圓周運動，在t時間內從A點運動到D點，掃過的圓心角θ=ωr.則有

圖4 圓周運動實際上是一種“降落”

月球在徑向做的是“自由落體運動”.

4 運動的疊加

由于圓周運動可以看做是勻速直線運動與勻變速直線運動的疊加，在極短時間內的速度變化如圖5所示.即

圖5 單次疊加

對于勻速率圓周運動，由于疊加只引起速度方向的改變，則多次疊加過程如圖6所示.有

圖6 多次疊加

若將Δt→0，則整個速度變化的過程即為連續(xù)的（圖7）.

海淀區(qū)東片數學區(qū)域教研組根據教師的實際教學情況及需求，對各個階段的教研活動進行了細致分析與精心設計。以上教研活動各有特點和作用，各項活動相輔相成。

圖7 連續(xù)疊加

速度矢量從v1到的過程，即為圖4中從最高點A到最低點E的過程.則

5 應用

從上面的推導可以看出，在極短時間內，圓周運動與拋體運動的規(guī)律是一樣的.在相同大小的力的作用下，物體可以做圓周運動，也可以做平拋運動，他們在極短時間內，看起來是同一種運動.滿足相同的運動學規(guī)律.我們可以將此思路應用于浙江省2021年1月份選考試題壓軸題的解答［4］.

【試題】在芯片制造過程中，離子注入是其中一道重要的工序.如圖8所示是離子注入工作原理示意圖，離子經加速后沿水平方向進入速度選擇器，然后通過磁分析器，選擇出特定比荷的離子，經偏轉系統(tǒng)后注入處在水平面內的晶圓（硅片）.速度選擇器、磁分析器和偏轉系統(tǒng)中的勻強磁場的磁感應強度大小均為B，方向均垂直紙面向外；速度選擇器和偏轉系統(tǒng)中的勻強電場場強大小均為E，方向分別為豎直向上和垂直紙面向外.磁分析器截面是內外半徑分別為R1和R2的圓環(huán)，其兩端中心位置M和N處各有一個小孔；偏轉系統(tǒng)中電場和磁場的分布區(qū)域是同一邊長為L的正方體，其速度選擇器底面與晶圓所在水平面平行，間距也為L.當偏轉系統(tǒng)不加電場及磁場時，離子恰好豎直注入到晶圓上的O點（即圖中坐標原點，x軸垂直紙面向外）.整個系統(tǒng)置于真空中，不計離子重力，打在晶圓上的離子，經過電場和磁場偏轉的角度都很小.當α很小時，有sinα≈tanα≈α，cosα≈1-.求：

圖8 離子注入工作原理示意圖

（1）離子通過速度選擇器后的速度大小v和磁分析器選擇出來離子的比荷；

（2）偏轉系統(tǒng)僅加電場時離子注入晶圓的位置，用坐標（x，y）表示；

（3）偏轉系統(tǒng)僅加磁場時離子注入晶圓的位置，用坐標（x，y）表示；

解：（1）通過速度選擇器離子的速度v=，從磁分析器中心孔N射出離子的運動半徑為

由牛頓第二定律

（2）經過電場后，離子在x方向偏轉的距離

離開電場后，離子在x方向偏移的距離

（3）方法1：如圖9所示，離子進入磁場后做圓周運動的半徑

圖9 磁場偏轉示意圖

方法2：由于物體所受到的電場力和洛倫茲力的大小一樣，雖然此時一個是圓周運動，但在極短時間內，力的方向并沒有發(fā)生改變，可以當做恒力處理，故在極短時間內仍然與拋體平拋運動產生的位移變化、速度變化一致，則可直接寫出答案，即位置坐標為

評析：本題的最大難點在于磁場運算時的小量近似，由于近似過程比較陌生，學生答題的正確率并不高.可以從本文的角度進行考查，在極短時間內，曲線運動的軌跡既可以當做平拋運動來處理，又可以當做圓周運動來處理.所以，這兩者解答的結果必然是相同的.明白了這一點，只要做出第（1）、（2）小題，第（3）小題便可直接寫出答案，根據運動的獨立性，也可直接寫出第（4）小題的結果，節(jié)約了大量時間，并提高了解題的正確率.