機械波多解問題中的解法“套路”

寧夏 龔 杰 馬文學

機械振動在介質中傳播，形成了機械波。由于波源在介質中的起振方向和傳播方向的不確定，就導致波動問題的多解性。分析多解問題的方法有很多，筆者就此類問題給出一種“套路”式的解法，僅供參考。

一、波動問題多解的分類

1.周期性

(1)振動時間間隔Δt與周期T的關系不明確造成多解問題

在x軸上取一個質點，其在t時刻的振動情況與它在t+nT，(n=1,2,3…)時刻的振動情況(位移、速度、加速度等)相同，這就是機械波的時間周期性。波的時間周期性表明，波在傳播過程中，經過整數倍周期時，其波形圖線相同。因此當振動時間間隔Δt遠大于周期T時，某一時刻的波形必然多次出現，這就是振動時間間隔Δt與周期T的關系不明確造成多解問題的原因。

(2)傳播距離Δx與波長λ的關系不明確造成多解問題

圖1

2.雙向性

通常在坐標軸上，波可沿正、負兩個方向傳播。若沿正方向與負方向傳播的時間之和等于周期的整數倍，則沿正或負方向傳播對應的波形圖相同，如圖2中的實線是一列正弦波在某一時刻的波形圖，經過Δt時間后(Δt

圖2

3.波形的隱含性

波動問題中，在波的傳播方向上，如果兩個質點間的距離不確定，或者題目中只給出完整波形的一部分，又或者只給出幾個特殊點的振動情況，而其余信息均處于隱含狀態，波形就有多種情況，形成波動多解的問題。

圖3

二、波的多解問題的“套路”解法

1.根據初末兩時刻的波形圖確定傳播距離與波長(傳播時間與周期)的關系通式。一般采用從特殊到一般的思維方法，即找出一個周期內滿足條件的關系Δt或Δx。

若此關系為時間：

可得有關周期的通式：

若此關系為距離：

可得有關波長的通式：

【例1】上文圖2中的實線是一列正弦波在某一時刻的波形曲線。經過0.5 s后，其波形圖如圖中虛線所示。

(1)如果波是向左傳播的，周期多大？波速多大？

(2)如果波是向右傳播的，周期多大？波速多大？

【分析】根據題圖可知該波的波長λ=0.24 m，這列波經過0.5 s后的波形圖從實線變成了虛線，可以根據0.5 s內波形圖確定傳播時間與周期(距離與波長)的關系通式進行求解。

解法一：由波形圖可根據傳播時間與周期的關系進行求解

(1)若波向左傳播：則

將Δt=0.5 s帶入周期的通式可得：

又λ=0.24 m，則

(2)若波向右傳播：則

將Δt=0.5 s帶入周期的通式可得：

又λ=0.24 m，則

解法二：由波形圖可根據傳播距離與波長的關系進行求解

(1)若波向左傳播：則

又λ=0.24 m，則

v=0.12(4n+1) m/s，(n=0，1，2，3…)

(2)若波向右傳播：則

又λ=0.24 m，則

v=0.12(4n+3) m/s，(n=0，1，2，3…)

2.若在波動問題中，沒有給出波形圖，只給出波形上幾個特殊點及與質點相關的振動方程或振動圖像。此時可用逆向思維，根據一個未標注橫軸和縱軸的波形加以題設條件得出大致波形圖，在波形圖上找到符合題設條件的特殊點，然后根據波形圖確定傳播距離與波長(傳播時間與周期)的關系通式進行求解。

( )

A.如果波沿x軸正方向傳播，則波長的最大值為2 m

B.如果波沿x軸正方向傳播，則波速的最大值為1 m/s

D.t=4.5 s時刻，Q點離開平衡位置的位移為4 cm

現給出任一波形圖，如圖4所示，在圖中a、b、c可能是P點所在的位置，圖中1、2、3、4、5、6可能是Q點所在的位置。若波沿x軸正方向傳播，根據Q點振動方程可知，下一時刻其振動方向由平衡位置向y軸正方向振動，此時Q點的位置則可能是1、3、5。根據P、Q間距離與波長的關系可得：

圖4

若波沿x軸負方向傳播，根據Q點振動方程可知，下一時刻其振動方向由平衡位置向y軸正方向振動，此時Q點的位置則可能是2、4、6。根據P、Q間距離與波長的關系可得：

【答案】BC

【例3】一列簡諧橫波沿x軸傳播，已知x軸上x1=1 m和x2=7 m處質點振動圖像分別如圖5、圖6所示，則此列波的傳播速率可能是

圖5

圖6

( )

A.7 m/s B.2 m/s C.1.2 m/s D.1 m/s

【解析】現給出任一波形圖，如圖7所示，在t=0時，圖中1、2、3、4、5、6可能是x1=1 m質點所在的位置，圖中a、b、c可能是x2=7 m處質點所在的位置。若波正在沿x軸正方向傳播，根據x1=1 m振動圖像可知，其離開平衡位置向y軸負方向振動，則此時2、4、6可能是x1=1 m處質點的位置。根據x1=1 m和x2=7 m間距離與波長的關系可得：

圖7

又T=4 s，則

若波正在沿x軸負方向傳播，根據x1=1 m振動圖像知其離開平衡位置向y軸負方向振動，則此時1、3、5可能是x1=1 m處質點的位置。根據x1=1 m和x2=7 m間距離與波長的關系可得：

又T=4 s，則

若波沿x軸正方向傳播，當n=0時，v=2 m/s，若波沿x軸負方向傳播，當n=1時，v=1.2 m/s，綜上分析答案為BC。

【答案】BC

三、結束語

從以上的討論可以發現，對于機械波圖像中多解性問題的解法是一種“套路”式的解法，總結起來就是：利用題設條件的波形圖，或者根據題設條件構建出波形圖，根據波形圖找到符合題設條件的特殊點，然后確定傳播距離與波長(傳播時間與周期)的關系通式進行求解。本文中幾道典型例題中構建的距離與波長(傳播時間與周期)的關系只是四分之一或者四分之三的關系，實際還有大量機械波多解問題中距離與波長(傳播時間與周期)的關系更復雜，這類試題我們可采用類似的“套路”具體問題具體分析即可。