讓數學教學自然生成

福建省長汀一中 (366300) 付禮福

許多學生到高中后就感到數學更難學，更加抽象，知識更嚴謹，更加深奧難懂.數學給人以冷冰冰的、枯燥無味的感覺.事實上，高中數學是思維的科學，只有鉆進去了才能感受到它是冰冷的美麗.它有簡單美、對稱美、曲線美、和諧美、自然美.數學教學中，教師應展示數學自然、精彩、美麗的本來面目，讓數學來得更自然一些.只有在符合認知規律的自然生態下，學生的素養才能得到有效發展.

一、知識的產生要自然

數學來源于生活實際，又應用于生活.數學知識的產生和發展都是自然的與合理的.完美的數學符號、概念、法則、定理，是數學界長期自然、合理進化的結果.

學習的目的是運用、創新，建立知識結構框架，是學好高中數學的關鍵.數學概念、公式、法則是學好數學，解決數學問題的前提和基礎.自然合理的才容易讓人接受、理解，強塞硬灌的東西會被排斥.教學時，要注重概念的形成過程，公式的推導過程，讓學生明確學習的必要性和意義，并且要抓住知識間的內在聯系，讓抽象知識直觀化、具體化，自然而然地生成.

比如，函數的單調性是函數概念之后學習的第一個重要性質，是函數學習中第一個用數學符號語言刻畫的概念.這種由形到數的翻譯，從直觀到抽象的轉變，對高一學生來說是難點.我通過提出下列問題，讓學生思考，體驗函數單調性概念的自然生成.

問題1 怎樣用數學符號語言刻畫“y隨x的增大而增大”，“y隨x的增大而減小”這個特征？

答：當x1y2.

問題2 為什么要在給定區間內取兩個數x1、x2？

答：體現數的增大，至少要兩個值，設為x1、x2，且x1

問題3 在給定區間內僅取兩個數x1、x2能足夠說明“x增大，y也隨之增大” 這個特征嗎？

答：舉一反例y=x2，取x1=-1，x2=2，由x1

學生通過足夠的時間思考、辨析，舉反例等，對概念本質的理解更加深入，函數的單調性概念基本成型.乘勢追問：

問題4 如果在給定的某個區間內，函數的圖象從左到右一直是上升的，我們就說該函數在這個區間內是增函數.你能否敘述單調增函數的定義？

至此，函數的單調性概念算是水到渠成了，再通過應用加以鞏固、深化和提高.再如人教A版(2019)三角函數一章，三角函數的圖象和性質與函數y=Asin(ωx+φ)的圖象，之間隔了一個三角恒等變換，這給圖象學習帶來不便，不自然，應調整順序.

二、思維過程要自然

思維的產生源于問題，對問題進行觀察、分析、綜合、判斷、推理等認識活動過程就是思維，是一種習慣性的思考方式.思維要靈活、嚴密、完整、有序，思維過程要自然，合情合理，不能詭異、突然的，大跨度的跳躍會讓人莫名奇妙，就象變魔術，無法接受和理解.解決問題的一般思維程序是“審題→聯想→嘗試→反思”，明確目標，“由已知想可知”的正向推理，或“由未知想需知”的逆向思考，或“兩面夾攻”，不斷嘗試，調整思路，直至思維貫通.若思路不通或麻煩，則可嘗試把問題等價轉化，換一種形式再思考.如AB中點為M，AB=2OM，意即OA⊥OB.

教學中，必須暴露“怎么想，為什么會這樣想的”，思維自然形成的過程，包括嘗試、碰壁、再嘗試的過程，引導學生思考探索，啟發思維.老師的包辦代替會扼殺學生思維，強塞硬灌只會增加學生思維惰性.要讓學生有饑餓感，迫切感，如饑似渴的學習.讓學生限時訓練，增強緊迫感，思維才會有效果.課堂教學的過程要精心“預設”，更要關注動態“生成”.適時引導、點撥、追問、解惑.課堂上要注意師生、生生的交流互動，互教互學，互相啟發，讓思維碰撞，迸發出智慧的火花，從而“站在巨人肩膀上攀登”，實現合作共贏，共同發展.

圖1

圖2

例2 (2021新高考全國Ⅰ卷)如圖2，在三棱錐A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，O為BD的中點.

(1)證明：AO⊥CD；

(2)若△OCD是邊長為1的等邊三角形，點E在棱AD上，DE=2EA，且二面角E-BC-D的大小為45°，求三棱錐A-BCD的體積.

分析：(1)逆向思考方便，要證線線垂直，只需證線面垂直，那么證哪條線與哪個平面垂直好呢？觀察圖形，結合已知，易知應去證AO⊥平面BCD，轉化為只要證AO垂直于兩個垂直平面的交線BD，而這易得，從而問題得證.

圖3

三、解法思路要自然

教師的作用是啟思導學，“授人以漁”，進行激勵、喚醒、引領.學習數學離不開解題，解題的目的是鞏固和加深對數學知識的理解，提高思維能力.在解決問題過程中，要引導學生多角度、多方位、多層次的思考，尋找解決的線索或路徑，并注意整理思路，使“條理清楚，邏輯嚴密，步步有據，思路清晰，規范簡潔”.

教學是師生的共同活動，“教學做合一”，教學生學，在做中教，在做中學，在做中感悟.“做”是核心，在做中融會貫通，靈活運用.解題思路要自然而然地展開，把復雜的東西簡單化，難理解的東西通俗化，弄懂“為什么這樣想”，找到更適合學生的自然解法，從而實現模仿到創新.

例3 (2016全國Ⅰ卷理)已知函數f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點.

(1)求a的取值范圍；(2)設x1，x2是f(x)的兩個零點，證明：x1+x2<2.

(1)解法1：(對參數分類討論)f′(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).

(i)設a=0，則f(x)=(x-2)ex，f(x)只有一個零點x=2，不符合題意．

(ii)設a>0，則當x∈(-∞,1)時，f′(x)<0；當x∈(1,+∞)時，f′(x)>0．所以f(x)在(-∞,1)單調遞減，在(1,+∞)單調遞增．又f(1)=-e<0，f(2)=a>0，當x→-∞時，f(x)→+∞，此時f(x)存在兩個零點，符合題意．

圖4

(2)證法1：由解法1知f(x)在(-∞,1)單調遞減，在(1,+∞)單調遞增，由(1)結果不妨設x1<1f(2-x2)，∵f(x1)=f(x2)，即證f(x2)>f(2-x2)．設h(x)=f(x)-f(2-x),x>1，則問題等價于證h(x)>0．∵h(x)=(x-2)ex+xe2-x，∴h′(x)=(x-1)(ex-e2-x).∴當x>1時，ex-e2-x>0，h′(x)>0，h(x)在(1,+∞)單調遞增，h(x)>h(1)=0，從而原問題得證．

四、問題變式要自然

教學不僅是傳授學生知識，更重要的是培養學生的思維能力，進行思想引領.在課堂教學中，應抓住思維訓練這條主線，進行變式教學，通過問題驅動，激發學生去思考、創新.變式就是改變問題的條件或結論，變換問題的形式或內容，一般化或特殊化，得到新問題，激勵學生進行重新思考，會從“變”的現象中發現“不變”的本質或規律，加深對知識的理解，培養學生的應變能力，切實從題海中走出來，實現真正的減負與增效.

變式要有針對性，要適度讓學生參與.可以通過一些過渡性的語言，比如“還能求什么呢”“如果把這些條件稍微改一下，還能得到這個結果嗎”，變式自然地生成，讓學生清楚的認識到教師是怎樣進行變式的，培養思維的靈活性、發散性，提高思維能力.

例4 已知數列{an}中，a1=1，且an+1=an+2n，求數列{an}的通項an.

目的是讓學生掌握累加法求數列的通項，條件改為下面時呢？

變式1 已知數列{an}中，a1=1，且an+1=an+2，求數列{an}的通項an.

就是用公式法求數列的通項，條件改為下面時呢？

變式2 已知數列{an}中，a1=1，且an+1=3an+2，求數列{an}的通項an.

就是要會用構造法求數列的通項，條件改為下面時呢？

變式3 已知數列{an}中，a1=1，且an+1=3an+2n，求數列{an}的通項an.

這也是用構造法求通項，還有別的方法嗎？

法3：已知兩邊同加2n+1，變為an+1+2n+1=3(an+2n)形式，化為等比數列，再做.

總之數學教學應抓住一切機會和環節，努力創造更自然、更合理、更有效的數學教學，確實提高學生思維的主動性、深刻性和流暢性.在教學過程中，不失時機地滲透思想教育，使學生在學習時有勇于嘗試探索，敢拼敢闖的精神；懂得取其精華，去其糟粕，批判地繼承；會辯證地分析問題，不唯師，不唯書，不迷信盲從，學會理性思維，靈活創新運用所學.