Milosevic不等式的兩個加強不等式

上海市市西中學 (200040) 龐良緒

設a,b,c,R,r,s,Δ分別為△ABC的三邊長、外接圓半徑，內切圓半徑，半周長與面積，∑表示循環求和.文[1]介紹了由D.M.Milosevic提出的如下不等式：

文[3]給出了不等式(1)的一個再加強與逆向.即在△ABC中，有

將不等式(1)中的正弦類比為余弦，文[4]提出了不等式(1)的一個類比.即在△ABC中，有

文[5]給出了不等式(2)的一個證明與加強.文[6]給出了Milosevic不等式的兩個類似結論.

結論1 在△ABC中，有

本文給出(3)式與(4)式的加強結論.

定理1 在△ABC中，有

為證明不等式(5)與不等式(6)，先給出兩個引理.

引理1[7]在△ABC中，有

引理2[8]在△ABC中，有

利用引理2，有

由引理1、引理2等號成立的條件知，當且僅當△ABC為正三角形時，不等式(5)兩側等號成立.

由引理1、引理2等號成立的條件知，當且僅當△ABC為正三角形時成立，不等式(6)兩側等號.