例析數學解題中挖掘隱含信息的幾種途徑

廣東省惠州市第一中學 (516007) 陳 義 方志平

所謂隱含信息就是指題目沒有直說卻隱藏在文字、式子或圖形等信息中.這些信息常常巧妙地隱藏在題設的背后，不易被發現.隱含條件是解題思路中關鍵的因素，往往因沒抓住而使解題一籌莫展，甚至很容易把解題思路引向歧途．因此解題者要善于尋找題目中的“蛛絲馬跡”，從多角度，多方向，多層次去挖掘隱含條件，順藤摸瓜，捕捉隱藏信息，往往可以迅速為解題提供關鍵線索，收到事半功倍之效．本文舉例說明數學解題中挖掘隱含信息的幾種途徑，供參考.

1.從題目給出的條件中挖掘隱含信息

評注：本題中x、y∈R是存在的實數，即條件中關于x,y的二元二次方程組是有解的，于是消去y后得到關于x的一元二次方程的根的判別式△≥0，這是一個隱含條件，其次x2+y2≥0 是另外一個隱含條件.這二者若不能挖掘出來，是不可能求出正確結果的.

2.從題目涉及的概念中挖掘隱含信息

例3 等差數列{an}中，a1=1,an=31，若公差d為正整數，則項數n的不同取值有種.

評注：由本題條件容易求出項數n的不同取值，問題是學生忽視等差數列的定義，此概念隱藏著數列至少有3項.可見這個隱蔽性若沒有挖掘，會直接導致本題求解出錯.因此，數學解題時從題目牽涉的概念中挖掘隱含信息是值得我們關注的.

3.從題目所求的結論中挖掘隱含信息

例5 下列命題中為真命題的序號是.

例6 設方程x2+ax+b-2=0(a,b∈R),在(-∞,-2]∪[2,+∞)上有實根,求a2+b2的最小值.

評注：從本題條件中想通過參變分離，直接用x來表示a2+b2是很難做到的；構造二次函數求解也是十分困難的.于是逆向思考，從結論著手挖掘隱藏信息，由a2+b2聯想到點(a,b)與原點(0,0)之間距離的平方，于是所求結論轉化為點與線之間的距離問題.

4.從題目涉及的圖形中挖掘隱含信息

例7 如圖1，已知三棱錐A-BCO,OA,OB,OC兩兩垂直，且長度分別為3,4,5.長為2的線段MN的一個端點M在棱OA上運動，另一個端點N在△BCO內及邊界運動，則線段MN的中點P的軌跡與三棱錐的面所圍成的幾何體中較小的體積為.

圖1

評注：本題圖形隱含著P點是一個直角三角形斜邊的中點，且是動態的，OP長總是線段MN長度的一半，于是挖掘出點P的軌跡是球面的一部分.

圖2

評注：本題條件與結論似乎沒有什么直接聯系.由于條件涉及三個角,且條件經變形得cos2α+cos2β+cos2γ=1,這是長方體中我們比較熟悉的一個結論,于是聯想構造一個棱長分別為a,b,c的長方體輔助解題，在這個長方體中隱藏著可用a,b,c表示tanα,tanβ,tanγ.數學解題時有些隱含條件需要根據題目的結構特征，要求學生以直覺思維和發散思維為基礎，運用遷移、類比、聯想、轉化、猜想等方法，從獨創、新穎、多變的角度來挖掘隱含條件.

5.從題目的解答過程中挖掘隱含信息

評注：本題條件中是看不到隱含信息的，但在解答過程中隱藏信息就暴露出來了，即由tanα+tanβ=-4a<0，tanα·tanβ=3a+1>0,發現tanα,tanβ是關于x的一元二次方程x2+4ax+3a+1=0的兩個負根.

評注：本題求出兩組ab的值，暗示我們到要驗證.其中一組ab=1不合題意，這個隱藏信息是在解題過程中挖掘出來的.多解問題是數學解題很普通的常識，最容易忽視檢驗，正是它不起眼，會導致解題出錯.

由此可見，挖掘隱含信息是數學解題中的一把雙刃劍，隱含信息雖然嚴重干擾和阻礙了數學解題，但只要能夠有效地挖掘并合理的利用，就能發揮其積極作用.挖掘隱含信息是溝通“知”與“求”關系的紐帶，是架起“問”與“答”之間的橋梁.因此，挖掘和利用好隱含信息是順利求解數學題的關鍵要素.