一道2022年高考模考題的解法探究

江蘇省啟東市第一中學 (226200) 曹榮榮

二元條件最值問題可以很好的考查考生對高中數學不等式主干知識的掌握情況，及考生的數學運算能力和推理論證能力，因此在各類考試中備受命題者的青睞.

題目(2021年學年第一學期高三“山水聯盟”開學聯考試題第8題)已知實數x,y滿足x2-2xy-3y2=1，則x2+y2的最小值為( ).

這是一道二元條件最值問題，主要考查利用基本不等式、重要不等式、三角換元法求最值，考查了考生的邏輯思維能力和運算求解能力，以下對這道試題進行多解探究，以期起到引導作用.

評注：將已知條件式子分解因式，再進行二元換元，分別表示出x和y，代入x2+y2，再運用重要不等式a2+b2≥2ab和不等式基本性質得出x2+y2的最小值.本解法比較基礎，運用的是不等式中的主干知識，運算量比較少，體現了化歸與轉化思想中蘊含的復雜問題簡單化的原則，有利于引導學生在不等式計算中把握運算規則.

評注：本解法運用了判別式法，把待求式和已知式作商，再齊次化后換元，由判別式大于等于0，結合s>0，解不等式可得出s的最小值，從而得出x2+y2的最小值.本解法中蘊含了方程思想，有一定的思維層次，遷移了方程有實根與判別式符號的關系的知識，具有一定的運算量，有利于培養學生的運算求解能力和演繹推理能力.

評注：本解法由待求式聯想到三角函數平方關系式sin2α+cos2α=1，代入已知式子，進行三角換元，分離變量，最后運用輔助角公式得出分母的最大值，從而得出x2+y2的最小值.本解法通過三角換元，進行的三角恒等變換，培養學生的三角運算能力，提升數學運算的數學學科核心素養.

教師在平時的習題教學中，可以試著引導學生習題進行多解探究，通過比較多種解法優劣做到優化解題思路，使得解題活動變得有趣，提升學生的解題能力，培養學生的數學探究能力，促進學生提升數學學科核心素養.