2021年全國新高考Ⅰ卷第20題解法探究*

湖南科技大學數學與計算科學學院 (411100) 鄧思茂 陳佘喜

立體幾何是歷年高考的必考題型，2021年新高考數學Ⅰ卷第20題，延續歷年高考的考點和難度，主要考查學生直觀想象等核心素養，該題從三棱錐出發，考察學生對于空間點、線、面的掌握情況，同時又對空間角和立體圖形的體積都有一定的涵蓋.

一、真題展示與評析

(2021新高考全國Ⅰ卷20題)如圖1，在三棱錐中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，O為BD的中點，

圖1

(1)證明：OA⊥CD；

(2)若△OCD是邊長為1的等邊三角形，點E在棱AD上，DE=2EA，且二面角的大小為45°，求三棱的體積.

評析：該題借助三棱錐考查直線與直線垂直、直線與平面垂直、平面與平面垂直，直線的位置關系，空間二面角，立體圖形的體積等知識點.第一問考查平面與平面垂直、直線與平面垂直的性質定理，第二問欲求三棱錐的體積，實質上由已知條件容易求出底面△BCD的面積，即求三棱錐的高，然而題目給出的條件中似乎只有二面角能與高聯系起來，于是該題實際上求的是通過已知的二面角求出高.這與歷年高考求二面角有一定的變化，也是2021年新高考的創新點，但是內容變化不大，即求二面角的各種方法，常用的有定義法、三垂線法、垂面法、射影面積法，其中垂面法是我們主要用的方法，射影面積法在新版教材中沒有介紹，這需要學生在日常練習中熟悉，這也體現了新課程標準對學生要求的自主學習的理念.

二、解法探究

(1)證明：在三角形ABD中AB=AD，O為BD的中點，所以三角形ABD為等腰三角形，則AO⊥BD，而BD為平面ABD和平面BCD的交線，又平面ABD⊥平面BCD，AO平面ABD，所以AD⊥平面BCD，而CD平面BCD，由線面平行的性質定理可得OA⊥CD.

圖2

評析：在用垂面法求平面與平面所成二面角余弦值的一般步驟為，建立合適的坐標系，寫出相關點的坐標、寫出兩個平面的法向量，如果法向量不能直接看出，可以通過法向量與平面內兩相交向量垂直求得、將所得的余弦值轉化為二面角的角度，特別需要注意的是如果二面角為鈍角所得值要取絕對值、最后精確得出二面角的值.

圖3

評析：利用三垂線法求二面角的一般步驟為：在平面內選一點，向另一個平面作垂線，得到垂足、再通過垂足向交線坐垂線，得到交點，連接交點與定點、其角度就為二面角，運用此方法找二面角特別要注意定點的位置，和與底面垂直的垂足.

圖4

評析：利用射影面積法求二面角的一般步驟為，由二面角的定義找出射影三角形、其比例為二面角的余弦值，該方法是三垂線法的延伸，適用于二面角不為一個特定的角度時.

結語：2021年新高考第20題的解法具有多元靈活的特點，本文介紹的解法中解法2及解法3明顯較平常很常用的垂面法(向量法)要簡便，學生在做立幾題時要靈活選用不同的方法，不宜循規蹈矩，教師教學時也要選擇多種方法教學，由此培養學生的發散思維，以便快速、準確的解決問題.