圓錐曲線的定義在解題中的應用

上海師范大學附屬外國語中學 (201615) 程莉芳 董海濤

解析幾何是溝通代數與幾何的重要載體，是培養學生數形結合意識的重要素材.圓錐曲線性質與結論眾多，題型靈活多變，且題目計算繁瑣，因此在求解有關圓錐曲線問題時，筆者認為必須重視圓錐曲線的定義在解題中的應用.本文精選幾例，以期引起大家對圓錐曲線數學定義教學的重視.

一、借助圓錐曲線的定義判斷動點軌跡的形狀

例1 已知復數z1=x+2+yi,z2=x-2+yi(x,y∈R)，且|z1|+|z2|=6，則動點P(x,y)的軌跡為.

二、聯想圓錐曲線的定義探求動點軌跡的方程

圖1

評注：當題目中涉及到動點、定點(特別是關于坐標原點對稱的兩個定點)時，首先聯想圓錐曲線的定義，然后結合題目中動點滿足的具體條件進行相應的轉化，尋找動點與定點的距離和(差)的關系，最后將等量關系解析化，得出距離和(差)的關系式，軌跡形狀就清楚了.

變式已知△ABC的兩個頂點分別為A(-5,0)、B(5,0)，△ABC的內心在直線x=3上移動，求第三個頂點C的軌跡方程.

圖2

三、利用圓錐曲線的定義轉化求最值

例3 在拋物線y2=4x上找一點M，使點M到點F(1,0)和點A(3,2)兩點的距離之和最小，并求這個最小值.

解析：如圖3，不難發現定點F(1,0)為拋物線的焦點，可利用拋物線的定義，轉化為點M到準線和點A(3,2)的距離之和最小，因為三點共線時距離之和最小，問題即轉化為求點A(3,2)到準線的距離.可得dmin=|AA′|=4.

圖3

例4 定長為4的線段AB的端點A,B在拋物線x2=y上移動，求線段AB的中點C到x軸距離的最小值.

圖4

在平面幾何中我們知道，平面中到兩個定點A,B距離之和最小的點應在線段AB上，而到兩個定點A,B距離之差最大、最小的點應在線段AB的延長線(或AB的反向延長線上).若要在圓錐曲線上求一個點，使其到兩個定點的距離之和(差)有最值，但線段與圓錐曲線卻沒有交點時，如何利用圓錐曲線的定義進行巧妙的轉化呢？

圖5

評注：以上幾例有關距離的最值問題是圓錐曲線中的典型問題，求解這類題目時，應根據圓錐曲線定義的幾何特征，首先作出符合題目要求的圖形，結合平面幾何相關知識，借助圓錐曲線的定義，尋找動點滿足的等量關系式，最后將等量關系式解析化.一般的，只要動點與其中一個焦點有關聯，則應優先考慮圓錐曲線的定義.

四、借助定義確定切點位置

圖6

解：由橢圓定義易得C△MF1F2=2a+2c,而ME=MG,F2G=F2F，F1E=F1F，所以F1M+ME+F1F2+F2F=2a+2c，即F1E+F1F=2(a+c)，所以F1F=a+c，即點F與點A重合.所以，圓O在x軸上的切點為點A.

圖7

總之，圓錐曲線的定義是分析、研究、解決圓錐曲線問題的重要依據與手段，是圓錐曲線幾何性質、定理的“起源”.正確對待定義、認真學好定義、恰當合理的運用定義，不但能夠提高學生的解題能力，更有助于培養學生形成良好的數學思維習慣和數學素養，進而可以培養學生的創新精神.