小學生數學抽象素養(yǎng)發(fā)展的教學邏輯

秦靜

摘 要 數學抽象是數學的基本思想之一，培養(yǎng)兒童數學抽象素養(yǎng)是實現兒童品格提升和素養(yǎng)發(fā)展的邏輯進路。小學數學教學應遵循學科特點和兒童認知規(guī)律，沿著培養(yǎng)兒童數學抽象素養(yǎng)的學科路徑，充分挖掘數學課程的育人功能，采取有效的教學邏輯：借助直觀感知，促進學生抽象數學意識的萌發(fā);經歷數學活動，夯實學生數學抽象素養(yǎng)的根基;遵循規(guī)律，舒展數學抽象素養(yǎng)的枝葉，讓育人為本的學科教育理念落地生根。

關? 鍵? 詞 數學抽象素養(yǎng) 直觀感知 經歷過程 遵循規(guī)律

引用格式 秦靜.小學生數學抽象素養(yǎng)發(fā)展的教學邏輯[J].教學與管理，2022（11）：39-42.

史寧中教授認為，“會用數學的眼光觀察世界，會用數學的思維思考世界，會用數學的語言表達世界”是基礎教育階段數學教育的終極目標，是每一個學段都應該關注的數學教育目標。數學抽象是數學的基本思想，通過數學教育可以發(fā)展學生的抽象思維能力，促進學生數學抽象素養(yǎng)的生成。

小學數學教學應當正確把握數學的基本特征，遵循兒童的認知規(guī)律，充分挖掘課程內容本身所具有的促進兒童抽象思維能力發(fā)展的育人功能，采取有效的教學邏輯策略，實現兒童的品格提升和素養(yǎng)發(fā)展，落實育人為本的學科教育理念。

一、直觀感知——以兒童立場埋下數學抽象素養(yǎng)的種子

兒童的思維特點是以具體形象思維為主，逐步向抽象邏輯思維過度，其思維的發(fā)展很大程度上依賴直觀和感性經驗。加強直觀教學，化靜態(tài)的數學知識為動態(tài)的數學活動，強化觀察感知，豐富感性體驗，才能更好地幫助兒童形成表象，促進數學抽象意識的萌發(fā)。

1.設置情境，觸及內核，夯實抽象思維基礎

費賴登塔爾認為，數學教育不能采用向學生硬性嵌入抽象概念的方式進行，良好的數學情境是數學概念教學的前提。設置富有趣味性和思考性的現實情境，讓學生在可感可知的數學活動中，實現對具體材料的感知和識別，發(fā)現隱藏在具體情境或感性材料背后的數學屬性，激活認知關聯，為分類、抽象、歸納、概括概念和規(guī)律夯實抽象思維基礎。

例如，教學“認識百分數”時，對于學生來說，百分數意義是比較抽象的概念。因此，筆者在教學中化靜為動，將靜態(tài)的文本素材設置為動態(tài)的現實生活情境：以學校籃球隊教練王老師要對學校籃球隊參加的三場比賽的投籃情況進行分析，由此提出問題：可以怎樣比較這三場比賽的投籃情況？活動情境提供了三場比賽的數據信息，圍繞問題，學生根據自己的思考和判斷進行交流討論，呈現個性化的比較分析方法，在交流碰撞中大家統一了思想：由于三場比賽的投籃次數并不相同，先算出每場比賽投中次數占投籃次數的幾分之幾，再轉化成分母是100的分數更方便比較。

比較中，學生結合具體情境獲得了百分數意義的體驗，感悟了百分數的本源之理，為之后的抽象、歸納、概括百分數意義提供了充分的思維基礎。

2.操作啟思，內化體驗，感悟數學內在本質

操作是兒童獲得數學直觀體驗的有效途徑。心理學研究表明，通過學生親身操作探索，更能把已知的真理變成自己的真知。數學教學中，要加強動手操作，促進知識的內化體驗，感悟數學的內部本質，用豐富的直觀體驗支撐起學生的抽象思維發(fā)生，實現直觀到抽象的思維跨越。

例如，教學“兩位數加兩位數（不進位）”時，出示45+31。教學前，先組織學生試算，很多學生一口就報出了答案，但當教師問這里的5加1、4加3各表示什么呢？為什么可以這樣算呢？學生就不知道了。為此，筆者在教學中強化了學生對學具的操作，讓學生重新經歷擺小棒的過程，獲得捆和捆相加、根和根相加的直觀體驗，再讓學生在計數器上撥一撥，初步獲得“相同數位上的數相加”的方法感悟，在逐步抽象的物化操作中引導學生體會4和3相加就是把4個十和3個十相加，5和1相加，就是把5個一和1個一相加的道理。教學豎式計算時，充分勾連擺小棒和撥數珠的操作感悟，幫助學生從數學層面抽象出加法的計算法則和方法。

通過操作，將抽象的數的運算轉化為直觀的物化動作，讓學生在動態(tài)抽象的層面上充分感悟計算的方法和算理，形成兩位數加兩位數計算方法的動作表象，一方面夯實了計算的思維過程，另一方面厘清了方法背后的內涵，促進了法則的歸納抽象和理解運用。

3.技術支撐，展開想象，助推抽象思維萌發(fā)

信息技術與學科教學融合后，形象生動的多媒體演示可以演繹數學抽象的想象空間，賦予靜態(tài)的數學知識以動態(tài)的發(fā)展過程，激發(fā)學生展開直觀想象和學習興趣，催生學生更深層次的數學思考，助推數學抽象思維的萌發(fā)。

例如，教學“認識圓柱和圓錐”，在“我會做圓柱”的活動中，教師給出一個長方形，讓學生做出一個圓柱，在學生一頭霧水之際，教師提示從想象、運動的角度展開思考，學生嘗試操作后，教師運用多媒體技術進一步進行生動直觀的動態(tài)演示，長方形沿著長或寬旋轉一周所形成的運動軌跡，清晰直觀地展現在學生的眼前，所形成的兩種不同的圓柱體呼之欲出，學生自然地進入對圓柱的深度思考。

可見，多媒體信息技術激發(fā)了學生對空間形式和空間關系的想象，在助推深度抽象思維萌發(fā)的同時，也喚醒了學生對數學之美的遐想與熱愛。

二、經歷過程——以理性思考夯實數學抽象素養(yǎng)的根基

數學抽象是一個去“背景”尋“本質”的思維過程，只有讓兒童充分經歷由“現實具體”到“理性抽象”的數學化過程，經歷不同層次的數學抽象，建立符號意識、建構數學模型、聚焦理性思考，才能逐步形成數學抽象的思維模式，提升數學抽象思維的品質。

1.著意抽象表征，形成符號意識

建立符號意識有助于學生理解符號的使用是數學表達和進行數學思考的主要形式。教學中，教師要著意鼓勵學生對現實情境中的數學問題進行抽象表征，堅持長期滲透，形成符號意識。

例如，一年級學生要解決這樣的一個問題：“日落西山晚霞紅，我把小雞趕進籠，一半小雞進了籠，5只小雞在吃蟲，還有5只圍著我，嘰嘰喳喳鬧轟轟。”請你算一算，共有幾只小雞？這是一個富有兒童情趣的現實情境，對于一年級的學生來說，要從具有豐富背景的現實問題中抽象出數量關系，顯然是比較困難的。于是，筆者在指導學生讀懂題意后，鼓勵他們用簡潔的符號畫出問題中的情境，受到直觀圖示的啟發(fā)，學生很快厘清了思路，找到了解決問題的方法。在組織學生交流思考結論的時候，筆者特意引導學生展開討論：為什么畫圖以后，大家能很快地找到解決問題的方法。學生們紛紛發(fā)表意見：“看著圖好理解，一下子就能看出答案。”

個性化的符號表示能夠更加直觀清楚地表示出復雜情境中的數量關系。堅持在教學中讓學生經歷“具體事物—個性化的符號表示—數學地表示”的抽象過程，筆者發(fā)現學生的思維就會逐步地烙上“數學”的烙印，自覺地運用數學表征去分析和解決問題。

2.設計進階活動，激發(fā)邏輯思維

兒童數學抽象素養(yǎng)的發(fā)展離不開數學邏輯，需要在數學活動中融合生成。比格斯曾說“小學兒童數學能力習得的速度，比我們想象的慢得多，他們要通過實際活動才能掌握具體概念，進而學習抽象。”因此，教師要為學生設計層層遞進的數學學習活動，在數學抽象的不斷進階中，激發(fā)學生的邏輯思維，推進學生的數學理性思考。

例如，教學“和的奇偶性”一課，筆者設計了三個層次的數學活動：

活動一：判斷下面算式的和是奇數還是偶數，1+2、1+2+3、1+2+3+4、1+2+3+4+…+98+99

活動二：探索兩個數的和的奇偶性。要求：任意選擇2個不為0的自然數，求出它們的和，再判斷和是奇數還是偶數，并嘗試解釋奇偶性背后的數學原理。

活動三：探索幾個數的和的奇偶性。要求：任意選擇幾個不為0的自然數，寫成連加的算式，判斷它們的和是奇數還是偶數，并嘗試表達你所發(fā)現的規(guī)律。

三個層次的數學活動層層進階、邏輯推進，活動一從具體的數學問題出發(fā)，激活學生對和的奇偶性的內在探究動機;活動二和活動三遵循由簡單到復雜、由特殊到一般的科學探究原則，組織學生開展自主探究活動，活動二在讓學生初步探索規(guī)律的同時追問奇偶性背后的本源，為活動三的推理埋下了種子，學生便在頭腦中主動展開對三個數、四個數相加的和的奇偶性的聯想。再通過活動三的進一步探究，一一列舉4個數相加、5個數相加、6個數相加……的情況，經過“枚舉歸納”發(fā)現：偶數的增加不影響和的奇偶性，和的奇偶性與算式中奇數的個數密切相關，由此進行合情推理，概括歸納出規(guī)律。整個教學過程，學生從特殊想起，進而探究發(fā)現一般化結論，達到了質的學習，不僅涵養(yǎng)了學生的數學眼光，也激發(fā)了他們運用數學思維去解釋世界的數學自覺。

3.建構數學模型，學會數學表達

數學模型的本質要義是從復雜的現實問題或情境中抽象出具有普適意義的數學模型，進而運用模型解決實際問題。教學中，教師一方面要引導學生從具體到抽象建立數學化的模型;另一方面還要指導學生運用數學模型解決實際問題，培育他們用數學的語言表達世界的意識。

例如：“間隔排列”是蘇教版《數學》三年級上冊的“綜合與實踐”活動，教材以小兔子在草坪上做游戲的情境作為現實題材，引導學生探索草坪上的小兔和蘑菇、木樁和籬笆、夾子和手帕的排列規(guī)律，進而將兩種物體用數學圖形符號□和○進行表征，引導學生結合一一對應的思想從具體到一般、從有限到無限抽象概括出間隔排列的三種模型。教材止于此，但模型的建構還需繼續(xù)。教學時，筆者進一步引導學生推廣運用模型，學生根據模型規(guī)律在頭腦中搜索與此相關的生活情境并解釋應用。比如，教室里桌子和椅子的排列、黑板報花邊紅花與黃花的排列、同學們做課間操站隊、把一根木料鋸成幾段……

可見，從“建構模型”到“模型推廣”的過程，是制造了一個屬于學生自己的認知“匣子”，在橫向上感悟了知識的生長，在縱向上領悟了知識背后的數學思想，在維度上勾連數學與生活的聯系，在厚度上發(fā)展用數學表達世界的眼光。

三、遵循規(guī)律——以整體視野舒展數學抽象素養(yǎng)的枝葉

數學抽象素養(yǎng)是學生數學發(fā)展必需的關鍵能力，也是一個人未來發(fā)展的必備品格，影響著學生一生的學習和生活。學生的數學抽象素養(yǎng)不是簡單經歷幾次抽象過程就能夠形成的，需要遵循兒童的認知規(guī)律，以整體發(fā)展的視野體現在數學學習的各個階段，最終讓學生形成用數學的眼光觀察世界的關鍵能力。

1.整體把握學段要求，促進兒童數學抽象素養(yǎng)的螺旋式發(fā)展

小學數學教材內容的編排，充分考慮了學生的思維特點和認知水平，遵循“由淺入深、循序漸進、適當分段、螺旋上升”的原則。教師要認真領會數學課程標準的學段目標要求，研讀教材，整體把握不同學段學生抽象思維發(fā)展的水平，促進學生數學抽象素養(yǎng)的螺旋上升式發(fā)展。

比如，立體圖形認識。一年級認識立體圖形主要是直觀感悟立體圖形的特征，采用歸納的方式建立立體圖形的表象，能通過實物和模型辨認長方體、正方體、圓柱和球等簡單幾何體，到了五六年級再次認識這些立體圖形時，就要引導學生從數學的角度對具體對象進行觀察操作、分析比較，進一步歸納抽象出圖形的特征，以及圖形與圖形之間的關系。

從整體的視角考量教材，不難發(fā)現，“數與代數”“空間和幾何”“統計與概率”“綜合與實踐”這四個板塊的課程內容不論是同一學段還是不同學段的數學抽象認知水平和抽象思維程度都遵循了由淺入深、循序漸進的原則，學生數感的發(fā)展、空間觀念的形成、統計與運用的意識、問題解決策略的建立都應在長期的數學學習活動中逐步滲透，慢慢內化為數學核心素養(yǎng)。

2.充分尊重個性差異，鼓勵兒童數學抽象素養(yǎng)的個性化發(fā)展

數學課程標準強化了學科教育的核心素養(yǎng)導向，鼓勵學生的個性化發(fā)展。教師要充分尊重學生抽象思維水平發(fā)展的個性差異，以發(fā)展的理念建構數學學習過程，讓每一位學生都能獲得數學學習的自信，激發(fā)熱愛數學的積極情感。

例如，蘇教版《數學》四年級“運算律”單元的學習，由于學生認知水平和抽象能力的差異，教學中雖然為學生設計了生動可感的具體情境，組織學生經歷了觀察、猜想、驗證、類比、概括、表征的模型建構過程。但是筆者發(fā)現，學生對規(guī)律的內涵理解程度和水平卻存在顯著的差異，有的學生能夠準確地理解和領悟，靈活運用規(guī)律模型去解釋和解決生活中的實際問題，而有的學生只是記住規(guī)律的表面形式，依葫蘆畫瓢，對規(guī)律本質的理解表現為較低的水平。類似于20×（40+8）=25×40+8或25×（40+8）=25×40×25×8的現象層出不窮。面對這樣的情況，教師不能操之過急，而應正確對待他們認知理解水平上的差異，一方面通過聯系生活實際設計不同層次的數學活動引導學生逐步感悟，另一方面要針對不同的學生設計個性化的階段性目標任務，經歷整數、小數和分數這三個不同層級的運用和推廣，逐步實現運算律的意義建構，讓不同的學生獲得不同水平的抽象思維發(fā)展。

3.積極嘗試學科融合，實現兒童數學抽象素養(yǎng)的整體性發(fā)展

“綜合與實踐”是數學課程內容的重要組成部分，它是以問題為載體、以學生自主參與為主的數學活動，學生需要從復雜的背景中抽象出數學問題，綜合運用已有的各學科知識和經驗來解決問題。因此，“綜合與實踐”為積極嘗試學科融合，實現數學抽象素養(yǎng)的整體發(fā)展提供了平臺。

比如，蘇教版《數學》五年級下冊“蒜葉的生長”，以學生日常生活中常見的大蒜生長過程為活動背景，以此引發(fā)學生思考和探究的興趣，確定研究主題：大蒜的生長研究。圍繞研究主題首先組織學生討論分析可能影響蒜葉生長的因素，確定實驗方法和步驟。然后，小組分工合作，觀察記錄蒜葉和根須的生長情況。最后，組織學生收集整理數據，制成折線統計圖，指導數據分析，得出初步的研究結論，并讓學生寫成一份研究小報告。

整個活動，學生經歷了“收集數據—整理數據—得出結論—形成研究報告”的全過程，實現了數學與科學、數學與語文的自然融合：基于科學設計實驗，收集數據;運用數學研究數據，形成結論;借助語文形成報告，表達推廣。其中蘊含了不同學科范疇內的知識建構、不同意識層次的思維碰撞、不同學科領域的抽象融合，有力地促進了學生抽象素養(yǎng)的生成和核心素養(yǎng)的發(fā)展。

綜上所述，數學抽象素養(yǎng)是數學課程的核心素養(yǎng)，它對學生未來的學習發(fā)展和生活工作有著積極而深遠的影響。培養(yǎng)兒童的數學抽象素養(yǎng)能夠促進兒童理性精神的樹立，提升指向兒童未來發(fā)展的必備品格和關鍵能力。數學抽象素養(yǎng)的培育應該貫穿于數學教育活動的全過程，通過數學學習，讓學生最終獲得“會用數學的眼光觀察世界;會用數學的思維思考世界;會用數學的語言表達世界”的能力。

參考文獻

[1] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012：2-7.

[2] 史寧中.注重“過程”中的教育——《義務教育教學課程標準》修訂的若干思考[J].人民教育，2012（07）：32-37.

[3] 史寧中.數學思想概論（第一輯）：數量與數量關系的抽象[M].長春：東北師范大學出版社，2008：1-3.

[4] 朱智賢.兒童心理學[M].北京：人民教育出版社，2003：81-84.

[5] 孔凡哲.義務教育階段的數學抽象素養(yǎng)及其培養(yǎng)[J].湖北教育：教育教學，2020（09）：20-23.

[6] 陳詳彬.小學生數學抽象素養(yǎng)培養(yǎng)的途徑與策略[J].小學數學教育，2020（23）：4-8.

[7] 楊明媚.抽象·推理·建模——小學數學思想和方法的教學研究[M].南京：南京大學出版社，2019：163-164.