基于硅透鏡與光子晶體的逆古斯漢欣位移監測系統及其溫度特性研究

湯大衛　梁斌明　季景

摘要：基于硅介質柱型光子晶體，采用時域有限差分方法（FDTD），探究高斯光束在光子晶體界面的逆古斯漢欣（GH）位移。通過在光子晶體下表面添加硅透鏡，研究高斯光束的入射角度、硅透鏡的曲率半徑以及溫度對光子晶體逆 GH 位移的影響。研究結果表明，發生最大逆 GH 位移的角度大于幾何理想全反射角。添加焦點位于光子晶體表面中心的硅透鏡可以使逆 GH 位移顯著增強，且當硅透鏡的曲率半徑為170時，逆 GH 位移增大為不加透鏡時的1.7倍。研究不同入射角度下溫度對光子晶體的逆 GH位移的影響發現，當高斯光束的入射角為26o時，逆 GH 位移隨著溫度的變化最大且線性度較好，便于溫度監測。

關鍵詞：光子晶體;逆古斯漢欣位移;硅透鏡

中圖分類號： O 438 文獻標志碼： A

Study on the inverse Goos-Hanchen shift monitoring systembased on silicon lens and photonic crystal andits temperature characteristics

TANG Dawei，LIANG Binming，JI Jing

（School of Optical-Electrical and Computer Engineering， University of Shanghai forScience and Technology， Shanghai 200093， China）

Abstract： Based on the silicon dielectric cylindrical photonic crystal， the finite-difference time- domain （FDTD） method is used to investigate the inverse Goos-Hanchen （GH） shift of Gaussian beam at the photonic crystal interface. By adding a silicon lens on the lower surface of the photonic crystal， the influence of the incident angle of Gaussian beam， the curvature radius of the silicon lens and the temperature on the inverse GH shift of the photonic crystal is studied.The results show that the maximum inverse GH shift angle is larger than the geometric ideal total reflection angle. The addition? of? a? silicon? lens? with? the? focus? in? the? center? of the? photonic? crystal? surface? cansignificantly enhance the inverse GH shift. When the curvature radius of the silicon lens is 170， the inverse? GH? shift? increases? by 1.7 times? as? much? as? that? without? the? lens. The? influence? of temperature on the inverse GH shift of photonic crystal at different incident angles is studied. It is found that when the incident angle of Gaussian beam is 26 degrees， the inverse GH shift has a wide range? of variation? with? temperature，? and? the? linearity? of variation? curve? is? better，? which? is convenient for temperature monitoring.

Keywords： photonic crystal;inverse Goos-Hanchen shift;silicon lens

引言

光束在兩種介質分界面發生全反射時，實際的反射光束相對于理論幾何光學反射光束會產生一段微小的位移，該位移就被稱作古斯漢欣（GH）位移。1947年，Goos和Hanchen兩位研究者[1]利用光的多次反射實驗證實了光束在兩界面處發生全反射時，反射點和入射點之間發生的相位突變會導致界面上出現縱向位移。入射光線由光密介質穿射透入光疏介質時，會沿兩物質分界面方向傳播一定的距離，實際上該光線相當于振幅呈指數遞減的倏逝波，倏逝波在接近全反射或者達到全反射時達到最大振幅。1948年，Artmann[2]通過穩態相位法對 GH位移做出了理論解釋：實際的入射光束并不是理想的平面波，可以看作是一系列波矢方向有輕微差異的單色平面波的疊加，在發生全反射時，不同波矢方向的分量產生的位移都不一樣，最后這些反射平面波的分量疊加形成實際的反射光束，反射光相對于入射光會出現一個縱向的微小位移。介電常數"和磁導率是決定電磁波在物質中傳播的基本特征量，1968年，Veselago[3]在他的研究中提出：當電磁波在"和都為負值的左手材料中傳播時，會發生逆 GH位移現象和反常多普勒效應。隨著負折射率材料的發現以及光子晶體的廣泛應用[4-14]，學者們逐漸深入研究這兩個方向的 GH 位移。2003年， Felbacq等[15]探討了 GH 位移在光子晶體禁帶上的情況;Shadrivov等[16]研究了負折射率材料上的 GH 位移。2006年， He 等[17]對二維光子晶體界面的逆 GH位移進行了探究，并基于時域有限差分法（FDTD）對反射光的逆 GH位移進行了研究。2015年， Luo 等[18]在紅外波段的棱鏡?波導耦合系統結構上研究了溫度對 GH位移的影響，為溫度調制器的靈敏性設計提供幫助。2016年，陸志仁課題組[19] 研究了近零折射率材料中 GH 位移的影響因素，研究表明，波長對 GH位移有非常大的影響，溫度對 GH 位移影響較小。2017年， Jiang 等[20]對 TE 和 TM 偏振光入射光子晶體時反射光的 GH 位移進行研究，研究發現 TE偏振光的反射光的 GH 位移為負，而 TM 光的 GH 位移為正。2020年，曹振洲等[21]研究了不同波長的偏振光在狄拉克半金屬（DSM）上的 GH位移，并提出：通過電調諧 DSM 的費米能量，可以改變介電函數和 GH 位移;反之， GH 位移可以用來檢測能量。

本文利用高斯光束的發散效應，在負折射光子晶體下表面放置硅凸透鏡，著重探究不同高斯光束的入射角度、硅透鏡的曲率半徑以及環境溫度對光子晶體逆 GH位移的影響。陸志仁等[19]對光子晶體的 GH 位移研究中，環境溫度對 GH 位移的影響較小，而本文研究的光子晶體結構中，環境溫度對光子晶體的逆 GH位移的影響較大。據此可以在光子晶體實驗中實時探測光子晶體器件溫度變化，為相關光子晶體實驗中研究溫度影響提供方便。本文采用與光子晶體同樣介質的硅透鏡，易于集成，減小了采用分立透鏡對焦的誤差影響，更便于實際加工。

1 仿真設計

本文是以空氣作為基底，硅介質柱型作為二維光子晶體的平板結構。其中，硅的折射率n =3：5，R =2r = b · a，其中晶格常數a =775 nm ，b為相對波導寬度（范圍為0～1），介質柱的形狀為圓形。本文采用波長 =1550 nm 附近波段的近紅外光線，圖1為b =0：39時光子晶體第一能帶的等頻圖，圖中顯示了當入射光歸一化頻率在0.4622～0.5555范圍內時，等頻線由內向外，頻率逐漸減小，表明電磁波的群速度與其波矢方向相反，此時等效折射率為負值。當入射光線的歸一化頻率！0= a==0.518時，波矢 k = k + k + k ，kx =0，ky =0，kz =1.4336，即k =1.4336。根據公式neff = k =（2π）= ka=（2π！0）=0.4404，光子晶體的等效折射率約為?0.44。

本文基于時域有限差分法（ FDTD），通過Rsoft光路仿真軟件模擬探測不同 TE 偏振態下的光束在光子晶體表面反射形成的 GH位移，高斯光束的光場分布如圖2（a）所示，若入射光與法線夾角為，探測器角度也為，黑色箭頭所示為理想幾何反射光，通過探測器可以測量實際反射光（藍色箭頭）偏移的大小和方向，從而得出 GH 位移的大小和方向。由斯涅爾定律：

式（1）中 n1=1 ， n2=?0：44，2 =90?，得出其全反射角為1=26：1?。

根據陸志仁等[19]的研究， GH 位移主要發生在全反射角附近，在23°～32°之間調節入射角，模擬得到不同的 GH位移隨的變化如圖2（b）所示。由圖2（a）可知，實際反射光線與理想反射光位置發生偏差，且實際反射光的光束中心始終在理想反射光的左側，表明高斯光束在光子晶體表面發生了逆 GH位移。圖2（b）所示為不同入射角下逆 GH位移的大小，當入射角增大時，逆 GH位移數值先增大后減小，當 =30?時（比理想全反射角1大3.9o），逆 GH 位移最大為?4：409a 。

根據高斯光束的發散效應，高斯光束在傳播時存在一定角度的發散角，則位于光子晶體表面光束的等相位面不是平面，導致系統的逆 GH位移較小。為減小雜散光對反射光的影響，研究發現，在光源與光子晶體之間放置硅透鏡結構時，高斯光束經過透鏡變換后，光束的束腰會處于透鏡焦平面處，此時高斯光束的等相位面為平面，高斯光束等同于平行光束，意味著只有一個角度的入射光。如圖3（a）所示，添加一定曲率半徑的對稱硅凸透鏡于光子晶體下表面處，為了減小高斯光束對逆 GH 的影響，嚴格控制入射光源中心、透鏡中心、光子晶體表面中心位于同一條直線上。

透鏡的焦平面與光子晶體相交于光子晶體表面中心點 O，如圖3（a）所示，此時透鏡中心與入射面中心的距離等于透鏡焦距大小，光束在焦平面處的等相位面為平面。由于本文所述光子晶體中入射光源與光子晶體表面的垂直距離為40a ，高斯光束的寬度為18a ，所以選取的硅透鏡焦距被限制，即曲率半徑只能在一定范圍變化，根據凸透鏡的焦距公式

式中： f 為透鏡的焦距; r1、r2為鏡兩球面折射面的半徑。由于硅的折射率n =3：5， r2=?r1= r（r為硅透鏡的曲率半徑），得出 f = r=5。

為了更好地探究透鏡對逆 GH位移的影響，根據光子晶體結構對硅透鏡曲率半徑的限制，選取透鏡的曲率半徑為150～190之間，當高斯光束的入射角 =30?時，研究不同曲率半徑透鏡的逆 GH位移，如圖3（b）所示。由圖可知當硅透鏡的曲率半徑為150時，光子晶體的逆 GH位移為?6：246a ，隨著曲率半徑的增大，逆 GH位移逐漸增大，當曲率半徑為170時，逆 GH位移最大為?7：505a ;繼續增加曲率半徑，光子晶體的逆 GH位移隨著曲率半徑的增加而不斷減小，在曲率半徑為190時達到最小值，為?5：721a ，位移數值減小了1：784a 。因此后續模擬仿真均在曲率半徑為170的硅透鏡下進行。

當硅透鏡的曲率半徑為170，取不同入射角為23°～32°，在不同角度下仿真得到的逆 GH位移如圖3（c）所示。從圖3（c）中可知，在23°～30°這段角度區間，逆 GH位移數值隨著角度的增加而增大，當入射角 =30?時，高斯光束在光子晶體表面滿足全反射條件;當入射角繼續增加，逆 GH 位移逐漸減小。逆 GH 位移最大為?7：505a ，而圖2（b）中不添加透鏡時逆 GH位移最大為?4：409a ，可見硅透鏡使光子晶體的逆GH 位移增大為原位移的1.7倍。

由陸志仁等[19]的研究可知，當硅周圍環境的溫度改變時，硅本身的折射率會發生變化，在一定的工作溫度范圍內，硅的折射率與溫度之間的關系為

式中： n 為硅的折射率;為硅的熱光系數（ =1.86×10?4℃）;?T為溫度變化量。

由式（3）可知硅的折射率會隨著溫度的升高而增加，由于本文是基于硅介質柱構成的光子晶體，因此整個光子晶體的等效折射率也會受到溫度影響（上述研究均在室溫20℃下進行）。在不同溫度下研究光子晶體的等效折射率以及光子晶體的理想全反射角隨溫度的變化情況，如圖4（a）所示，當溫度增加時，光子晶體的等效折射率增加，溫度為0℃時等效折射率為?0.459，140℃時等效折射率增加到?0.381;由于光子晶體的等效折射率小于零，其理想全反射角隨著等效折射率增大而減小，當溫度從0℃增加到140℃時，理想全反射角由27.32o減小到22.4o，這意味著系統發生最大逆 GH位移的角度逐漸減小。

由圖1（b）可知高斯光束的入射角度對逆 GH 位移的影響較大，當波長=1：9305a 時， 在22o～30o之間調節高斯光束的入射角，進而研究光子晶體的逆 GH位移與溫度的變化關系。如圖4（b）所示，通過仿真發現，相同溫度條件下，隨著入射角的增大直至滿足全反射條件的入射角時，逆 GH位移不斷增大。但隨著溫度大于80℃，為28o時已經達到相應等效折射率對應的全反射條件，因此為30o時逆 GH位移反而減小。當入射角 =28?時，逆GH位移在0～100℃區間內逐漸增加（增加了2.305a），當溫度為100℃時，其理想全反射角為2=23.6?，滿足全反射條件，所以溫度從100℃繼續增加，逆 GH位移保持不變。當入射角=30?時也是同樣原因，因此為28o和30o時，曲線偏離了線性。

上述仿真模擬結果表明：光子晶體工作溫度對逆 GH位移的影響程度與高斯光束的入射角度有關。當入射角 =30?且溫度高于60℃時，光束始終滿足全反射條件，其逆 GH位移不受溫度影響;當入射角 =28?且溫度高于100℃時，系統的逆 GH位移保持不變;當入射角為22o～26o時，逆 GH位移隨著溫度的增加而增大。其中入射角 =26?時，其逆 GH 位移受溫度影響范圍最大且線性度較好。圖4（b）中藍色點劃線為 =26?時的擬合線，其方程表達式為： y =?0：02601x ?3：70733a ，擬合優度為0.98469，實際仿真中溫度從0℃到140℃時逆 GH位移增加了3.64a。

2 結論

本文基于 FDTD 探究高斯光束在硅介質柱型光子晶體界面的逆 GH位移。研究表明，在負折射率光子晶體下表面添加一定曲率半徑的硅透鏡且焦點與光子晶體表面中心重合時，光子晶體的逆 GH位移顯著增加。探究不同入射角度下溫度對逆 GH位移的影響發現，當 =26?時逆 GH 位移的變化范圍最大且線性度較好。本研究可以在光子晶體實驗中實時探測光子晶體器件溫度變化，從而為相關光子晶體實驗進行溫度影響研究提供方便。

參考文獻：

[1] GOOS F， H?NCHEN H. Ein neuer und fundamentalerversuchzurtotalreflexion[J]. Annalen? derPhysik， 1947， 436（7/8）：333–346.

[2] ARTMANN K. Berechnungder? seitenversetzung destotalreflektiertenstrahles[J]. Annalen der Physik， 1948，437（1/2）：87–102.

[3] VESELAGO V G. The electrodynamics of substanceswith simultaneously negative values of ε and μ[J]. So- viet Physics Uspekhi， 1968， 10（4）：509–514.

[4]劉少斌 ， 朱傳喜 ， 袁乃昌.等離子體光子晶體的FDTD 分析[J].物理學報， 2005， 54（6）：2804–2808.

[5] CHEN Y L， FANG Y T. Imaging inside photonic crys-tal slab using negative refraction[J]. Lasers in Engineer- ing， 2014， 16（3/4）：325–332.

[6] ALIPOUR-BANAEI H， SEIF-DARGAHI H. Photoniccrystal based 1-bit full-adder optical circuit by using ring? resonators? in? a? nonlinear? structure[J]. Photonics and Nanostructures - Fundamentals and Applications， 2017， 24：29–34.

[7] KE X Z， WANG S S. Design of photonic crystal fibercapable of? carrying? multiple? orbital? angular?? mo- mentum modes transmission[J]. Optics and Photonics Journal， 2020， 10（4）：49–63.

[8] PASTUR L A， SLAVIN V V， YANOVSKII A V. Onballistic transport in channels with negative refraction of particles[J]. Low Temperature Physics， 2018， 44（7）：711–717.

[9]牛金科， 梁斌明， 莊松林， 等.二維光子晶體雙重亞波長成像[J].光電工程， 2019， 46（8）：66–72.

[10] XIA M D， TIAN X X， QU S B. A microwave absorb-ing material with soft magnetic nanoparticles based on negative refraction loss characteristics[J]. The? Interna- tional Journal of Electrical Engineering & Education， 2019， 56（4）：305–314.

[11]高倫， 梁斌明， 王婷， 等.光子晶體負折射效應的電光偏轉器[J].光電工程， 2016， 43（5）：77–81.

[12] LU G Z， ZHAO R Q， YIN H C， et al. Selective absorp-tion of photonic crystal with graphene[J]. Plasmonics，2020， 15（2）：475–479.

[13] LAN S F， KANG L， SCHOEN D T， et al. Backwardphase-matching for nonlinear optical generation in neg- ative-index materials[J]. Nature Materials， 2015， 14（8）：807–811.

[14]胡金兵， 陳家璧， 莊松林.不同材料逆古斯漢欣位移機理的對比研究[J].上海理工大學學報， 2016， 38（3）：271–275.

[15] FELBACQ? D，? MOREAU? A，? SMA?LI? R. Goos-H?nchen effect in the gaps of photonic crystals[J]. Op- tics Letters， 2003， 28（18）：1633–1635.

[16] SHADRIVOV I V， ZHAROV A A， KIVSHAR Y S.GiantGoos-H?nchen effect at the reflection from left- handed? metamaterials[J]. Applied? Physics? Letters， 2003， 83（13）：2713–2715.

[17] HE J L， YI J， HE S L. Giant negative Goos-H?nchenshifts for a photonic crystal with a negative effective in- dex[J]. Optics Express， 2006， 14（7）：3024–3029.

[18] TANG T T， LUO L， LIU W L， et al. Thermo-opticGoos-H?ncheneffect? in? silicon-on-insulator?? wave- guide[J]. Applied Physics B， 2015， 120（3）：497–504.

[19]陸志仁， 梁斌明， 丁俊偉， 等.近零折射率材料的古斯漢欣位移的特性研究[J].物理學報， 2016， 65（15）：154208.

[20] JIANG Q， CHEN J B， LIANG B M， et al. Direct meas-urement of the negative Goos-H?nchen shift of single reflection in a two-dimensional photonic crystal with negative? refractive? index[J]. Optics? Letters， 2017， 42（7）：1213–1216.

[21]曹振洲， 肖之偉， 王國飛.狄拉克半金屬中電調諧古斯-漢欣位移（英文）[J].中南民族大學學報：自然科學版， 2020， 39（3）：277–282.

（編輯：張磊）